Potenza istantanea in regime sinusoidale

Transcript

i
generatore
sinusoidale
+
v
–
rete lineare
passiva
v(t ) = V cos (ωt + θ v )
i (t ) = I cos (ωt + θ i )
La potenza istantanea è:
p (t ) = v(t ) ⋅ i (t ) = V ⋅ I cos (ωt + θ v )cos (ωt + θ i )
1
1
= V ⋅ I cos (θ v − θ i ) + V ⋅ I cos (2ωt + θ v + θ i )
2
2
Teoria dei Circuiti
Prof. Luca Perregrini
Potenza in regime sinusoidale, pag. 1
1
1
p (t ) = V ⋅ I cos (θ v − θ i ) + V ⋅ I cos (2ωt + θ v + θ i )
2
2
p
1
V ⋅I
2
0
Tê2
1
V ⋅ I cos (θ v − θ i )
2
T
t
La potenza istantanea è periodica con periodo T/2
Teoria dei Circuiti
1
1
p (t ) = V ⋅ I cos (θ v − θ i ) + V ⋅ I cos (2ωt + θ v + θ i )
2
2
p
1
V ⋅I
2
Tê2
0
p > 0 potenza assorbita
Teoria dei Circuiti
1
V ⋅ I cos (θ v − θ i )
2
T
t
p < 0 potenza erogata
Potenza media
Nello studio di molti fenomeni (assorbimento della luce da
parte dell’occhio umano, misura dell’energia assorbita da
un utente, riscaldamento a microonde, ecc.) non conta il
valore che la potenza assume istante per istante, ma
piuttosto il valore medio della potenza nel tempo:
1
P=
T
Teoria dei Circuiti
∫
T
0
p(t ) dt
Potenza media
1
P=
T
∫
T
0
poiché
1
1

 V ⋅ I cos (θ v − θ i ) + V ⋅ I cos (2ωt + θ v + θ i ) dt
2
2

1
T
∫
T
0
1
1
V ⋅ I cos (θ v − θ i ) dt = V ⋅ I cos (θ v − θ i )
2
2
1 T1
V ⋅ I cos (2ωt + θ v + θ i ) dt = 0
∫
T 0 2
si ha
1
P = V ⋅ I cos (θ v − θ i )
2
Teoria dei Circuiti
Potenza media
Considerando i fasori di tensione (V = V∠θv) e corrente
(I = I∠θi) si ha:
1
1
*
V ⋅ I = V ⋅ I ∠(θ v − θ i )
2
2
1
= V ⋅ I (cos (θ v − θ i ) + j sin (θ v − θ i ) )
2
da cui
{
}
1
1
*
P = Re V ⋅ I = V ⋅ I cos (θ v − θ i )
2
2
Teoria dei Circuiti
Potenza media
Se θv = θi (tensione e corrente in fase → carico resistivo)
si ha:
1
1
1
1
2
P = V ⋅ I cos (θ v − θ i ) = V ⋅ I = R ⋅ I = R⋅ | I |2
2
2
2
2
Se θv – θi = ± 90 (tensione e corrente in quadratura →
carico reattivo) si ha:
1
P = V ⋅ I cos (θ v − θ i ) = 0
2
Teoria dei Circuiti
Potenza media assorbita da un carico
I
VTh
ZTh
+
–
+
V
–
ZTh = RTh + j XTh
ZL
ZL = RL + j XL
La potenza media assorbita dal carico ZL è:
P=
{
}
{
}
1
1
1
R
Re V ⋅ I * = Re Z L ⋅ I ⋅ I * = Re{Z L }| I |2 = L | I |2
2
2
2
2
RL
VTh
=
2 Z Th + Z L
Teoria dei Circuiti
2
| VTh |2 RL / 2
=
( RTh + RL ) 2 + ( X Th + X L ) 2
Massimo trasferimento di potenza media
Per quale valore di ZL si ha il massimo trasferimento di
potenza media?
| VTh |2 RL / 2
P=
( RTh + RL ) 2 + ( X Th + X L ) 2
∂P
| VTh |2 RL ( X Th + X L )
=−
∂X L
( RTh + RL ) 2 + ( X Th + X L ) 2
[
[
]
2
=0
]
∂P | VTh |2 ( RTh + RL ) 2 + ( X Th + X L ) − 2 RL ( RTh + RL )
=
=0
2
∂RL
2 ( RTh + RL ) 2 + ( X Th + X L ) 2
[
]
RL = RTh
Teoria dei Circuiti
XL = –XTh
Massimo trasferimento di potenza media
In regime sinusoidale, il massimo trasferimento
di potenza media si ha quando
RL = RTh, XL = –XTh ⇒ ZL = Z*Th
e la potenza media fornita al carico è
Pmax
| VTh |
=
8 RTh
2
Quando ZL = Z*Th si dice che il
carico è adattato al generatore
Teoria dei Circuiti
Valori efficaci
Il valore efficace di una corrente (tensione)
periodica è la corrente (tensione) costante
in grado di fornire ad un resistore la stessa
potenza della corrente (tensione) periodica
I cos (ωt+θi)
Ieff
+
+
V cos (ωt+θv)
R
–
–
Teoria dei Circuiti
Veff
R
Valore efficace della corrente
Si ha:
1 T
1
2
P = ∫ R ⋅ i (t ) dt =
T 0
T
∫
T
0
R ⋅ I cos (ωt + θ i ) dt
2
2
1 T
1
2 1 + cos(2ωt + 2θ i )
= ∫ R⋅I
dt = R ⋅ I 2
T 0
2
2
ma anche:
2
P = R ⋅ I eff
e quindi:
I eff
Teoria dei Circuiti
I
=
2
Valore efficace della tensione
Si ha:
2
1
=
T
ma anche:
T
∫
T
0
V 2 1 + cos(2ωt + 2θ v )
1V2
dt =
R
2 R
2
Veff2
P=
R
e quindi:
Veff
Teoria dei Circuiti
2
1 v (t )
1 V
P= ∫
dt = ∫
cos 2 (ωt + θ v ) dt
T 0 R
T 0 R
T
V
=
2
Potenza media e valori efficaci
1
P = V ⋅ I cos(θ v − θ i )
2
V
I
=
⋅
cos(θ v − θ i )
2 2
= Veff ⋅ I eff cos(θ v − θ i )
Teoria dei Circuiti
Potenza apparente e fattore di potenza
P = Veff ⋅ I eff cos(θ v − θ i ) = S cos(θ v − θ i )
S = Veff·Ieff è detta potenza apparente e si misura
in VA (voltampere)
pf = P/S = cos(θv–θi) è il fattore di potenza
Teoria dei Circuiti
Fasori efficaci
Definendo i fasori efficaci:
Veff
V
=
= Veff ∠θ v
2
I eff
I
=
= I eff ∠θ i
2
si ha:
V Veff Veff
Z= =
=
∠(θ v − θ i )
I I eff
I eff
Teoria dei Circuiti
Fattore di potenza
Il fattore di potenza è il coseno dello sfasamento
tra la tensione e la corrente e coincide con il
coseno dell’argomento dell’impedenza:
V V∠θ v V
Z= =
= ∠(θ v − θ i )
I
I∠θ i
I
• carico resistivo ⇒ θv–θi = 0 ⇒ pf = 1
La potenza media coincide con la potenza apparente
• carico reattivo ⇒ θv–θi = ±90° ⇒ pf = 0
La potenza media è nulla
Teoria dei Circuiti
Potenza complessa
La potenza complessa è:
1
1
*
S = V ⋅ I = V ⋅ I (cos (θ v − θ i ) + j sin (θ v − θ i ) )
2
2
= Veff ⋅ I *eff = Veff ⋅ I eff (cos (θ v − θ i ) + j sin (θ v − θ i ) )
I
Poiché V = Z·I e Veff = Z·Ieff si ha:
2
1
1|V|
| Veff |
2
2
S = Z⋅ | I | = Z⋅ | I eff | =
=
*
*
2
Z
2 Z
Teoria dei Circuiti
2
+
V
–
Z
Potenza complessa
Poiché Z = R +j X si ha:
S = ( R + jX )⋅ | I eff | = P + jQ
2
Vale anche:
S = Veff ⋅ I eff (cos (θ v − θ i ) + j sin (θ v − θ i ) )
e quindi:
P = Veff ⋅ I eff cos (θ v − θ i )
Q = Veff ⋅ I eff sin (θ v − θ i )
Teoria dei Circuiti
potenza reale o attiva
potenza reattiva
Potenza complessa
P = Veff·Ieff cos(θv–θi) è la potenza media fornita al carico.
Questa è l’unica potenza utile ed è anche la potenza che
il carico realmente dissipa. Si misura in Watt (W).
Q = Veff·Ieff sin(θv–θi) misura lo scambio di energia fra il
generatore e la parte reattiva del carico. Si misura in
volt-ampere reattivi (VAR).
Q = 0 per carichi resistivi
Q < 0 per carichi capacitivi (θv < θi)
Q > 0 per carichi induttivi (θv > θi)
Teoria dei Circuiti
Potenza complessa: riassunto
1
*
S = V ⋅ I = P + jQ = Veff ⋅ I eff ∠(θ v − θ i )
2
potenza
complessa
S =| S |= Veff ⋅ I eff = P + Q
potenza
apparente
2
2
P = Re{S} = S cos (θ v − θ i )
potenza
reale o attiva
Q = Im{S} = S sin (θ v − θ i )
potenza
reattiva
fattore di
potenza
P
= cos (θ v − θ i )
S
Teoria dei Circuiti
Triangolo delle potenze
Im
Im
S
Z
Q
θv–θi
P
Teoria dei Circuiti
X
θv–θi
R
Re
Re
Triangolo delle potenze
Im
Im
S
Q
θv–θi
P
P
θv–θi
Re
S
Carico induttivo Q > 0
Teoria dei Circuiti
Re
Q
Carico capacitivo Q < 0
Conservazione della potenza complessa
In un circuito, la potenza complessa, la potenza
reale e la potenza reattiva si conservano
Se il circuito include N elementi, con la convenzione
degli utilizzatori si ha:
N
∑S
n =1
n
=0
N
∑P
n
N
∑Q
=0
n
n =1
=0
n =1
In generale, la legge di conservazione non vale per le
N
N
potenze apparenti:
∑ S = ∑| S |
n
n =1
Teoria dei Circuiti
n
≠0
n =1
Rifasamento
Molti carichi domestici e industriali
sono di tipo induttivo. Essi hanno
quindi un fattore di potenza pf > 0.
+ IL
R
Im
θ1
IL
V
S1
Q1
θ1
P
Teoria dei Circuiti
V
L
c
a
r
i
c
o
i
n
d
u
t
t
i
v
o
–
Re
Rifasamento
I
Il fattore di potenza può essere
massimizzato introducendo una
capacità in parallelo al carico.
Im
IC
QC
θ1 θ2
V
S1
S2
I
IL
IC
θ1 θ2
P
Teoria dei Circuiti
+ IL
R
IC
V
C
Q1
L
Q2
–
Re
Rifasamento
Per il carico induttivo originale si ha:
P = S1cosθ1
Q1 = S1sinθ1 = P tgθ1
Per aumentare il fattore di potenza da cosθ1 a cosθ2 senza alterare
la potenza reale (P = S2cosθ2) si deve avere
Q2 = S2sinθ2 = P tgθ2
Im
da cui
QC = Q1 – Q2 = P (tgθ1 – tgθ2)
Ricordando che QC =
V2
eff/XC =
ωCV2
QC
eff
Q
P ( tgθ1 − tgθ 2 )
C = C2 =
ωVeff
ωVeff2
si ottiene
S1
S2
θ1 θ2
P
Teoria dei Circuiti
Q1
Q2
Re
Rifasamento
Il rifasamento riduce l’ampiezza della
corrente in ingresso al carico (|I| < |IL|)
a parità di potenza reale assorbita.
IC
θ1 θ2
V
I
+ IL
R
IC
V
C
L
I
IL
Teoria dei Circuiti
IC
–

Potenza istantanea in regime sinusoidale

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