Foglio di Esercizi 5 (con Risposte) – 6 novembre 2015

Matematica per Farmacia, a.a. 2015/16
Foglio di Esercizi 5 (con Risposte) – 6 novembre 2015
Esercizio 1 (dal libro di Villani - Gentili). Per stabilire l’età di un reperto di sostanza organica, di origine
animale o vegetale, si misura la concentrazione di carbonio
14C
(quindi il rapporto tra la quantità di
questo isotopo e la quantità totale di carbonio presente nella sostanza).
Il metodo si basa sui due fatti seguenti, avvalorati da numerose ricerche sperimentali e considerazioni
teoriche:
• La concentrazione di 14C è rimasta invariata dalle epoche piú remote fino ad oggi, dipendendo da
una reazione nucleare che avviene continuamente nell’alta atmosfera e causata da raggi cosmici.
• Poiché dopo la morte dell’organismo non non si verifica piú nessun apporto di
14C,
si ha che,
mentre la quantità di carbonio presente nella sostanza in esame rimane sostanzialmente inalterata
nel tempo, la quantità di 14C diminuisce progressivamente a causa del decadimento radioattivo.
Sapendo che il tempo di dimezzamento del carbonio 14C presente in una sostanza è di circa 5730 anni,
determinare approssimativamente l’età di due reperti per i quali la concentrazione di 14C risulta pari al
12%, rispettivamente allo 0, 2% di quella degli analoghi organismi viventi.
Risposte: Dobbiamo capire quanti tempi di dimezzamento sono passati. Dopo un tempo di dimezzamento la quantità, dimezzandosi, risulta moltiplicata per 1/2 = 50 %, quindi dopo n tempi di dimezzamento, risulta moltiplicata per (1/2)n . Vogliamo che risulti (1/2)n = 12 % = 12/100 ⇔ 2n =
100/12 ⇔ log(2n ) = log(100/12) ⇔ n log 2 = log(100/12) ⇔ n =
log(100/12)
log 2
' 3, 06 quindi sono
passati circa 3 tempi di dimezzamento, quindi 3 · 5730 ' 17000 anni. Analogamente nel secondo caso
(0, 2 % = 2/1000, quindi 1000/2 = 500, si ottiene n =
log(500)
log 2
' 8, 97 ' 9 tempi di dimezzamento,
quindi 9 · 5730 = 51570 ' 50000 anni.
Esercizio 2. Ricordiamo che si definisce pH, o indice di ioni idrogeno, di una sostanza il numero
pH = − log([H + ]) = − log10 ([H + ]) dove [H + ] è la concentrazione di ioni idrogeno (o, piu’ accuratamente,
[H3 O+ ], concentrazione di ione idronio) in mol/l (moli per litro).
• Calcolare il pH di concentrazioni pari a 3, 9 · 10−5 , 8, 4 · 10−8 e 0, 27 · 10−7 mol/l:
pH corrispondente nei tre casi: −[(log 3, 9) − 5] ' 4, 41, −[(log 8, 4) − 8] ' 7, 08, −[(log 0, 27) −
7] ' 7, 57.
• sapendo che il pH del sangue umano oscilla tra i valori 7, 37 e 7, 44, trovare delle stime (per
eccesso e per difetto) della concentrazione di ioni [H + ] del sangue:
pH = − log([H + ]) ⇔ 10−pH = 10log([H
3, 6 · 10−8 ≤ [H + ] ≤ 4, 26 · 10−8
+ ])
= [H + ]. Quindi 10−7,44 ≤ [H + ] ≤ 10−7,37 ⇔
2
Esercizio 3. La popolazione di una regione è raddoppiata in 12 anni. Calcolare la percentuale, supposta
costante, di accrescimento annuo.
Risposta: Ogni anno la popolazione aumenta di una percentuale sconosciuta, a, quindi il valore iniziale viene moltiplicato per (1 + a). Dopo 12 anni il valore iniziale sarà moltiplicato per (1 + a)12 . Quindi
sarà raddoppiata se (1+a)12 = 2 ⇔ (1+a) = 21/12 ⇔ a = 21/12 −1 ' 1, 059−1 = 0, 059 ' 0, 06 = 6%
(per trovare a ho applicato la funzione inversa dell’elevamento alla 12).
Esercizio 4. Determinare l’insieme di definizione della funzione f (x) =
p
log(x2 + 3x + 1). Determina-
re gli intervalli di crescenza e decrescenza e disegnarne approssimativamente un grafico.
Risposte: Perché la funzione sia definita deve essere x2 + 3x + 1 > 0 (altrimenti il logaritmo non
è definito) e log(x2 + 3x + 1) ≥ 0 ⇔ 10log(x
2 +3x+1)
= (x2 + 3x + 1) ≥ 100 = 1 (altrimenti la radice
quadrata non è definita). Siccome se vale la seconda condizione deve valere anche la prima, è sufficiente
richiedere che sia (x2 + 3x + 1) ≥ 1 ⇔ x2 + 3x ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞ − 3] ∪ [0, +∞). Poiché la parabola di
equazione y = x2 + 3x + 1 ha vertice in x = −3/2, il polinomio di secondo grado decresce in (−∞ − 3] e
√
cresce in [0, +∞). Siccome poi applico log e . . . che sono funzioni crescenti (quindi che mantengono
le diseguaglianze), la nostra funzione decresce in (−∞ − 3] e cresce in [0, +∞). Se ne disegni un grafico
dopo aver calcolato i limiti a ±∞ (lim x→±∞ f (x) = +∞. Non serve calcolare i limiti in x = −3 e x = 0.
Infatti, poiché la funzione è continua anche in x = −3 e x = 0 in quanto composta tramite funzioni
continue, si ha f (−3) = 0 = lim x→−3− f (x) e f (0) = 0 = lim x→0+ f (x)).
Esercizio 5. In una progressione geometrica il terzo termine è 40 e il quinto è 160. Qual è la ragione
della progressione?
A 5
B 2
C 4
D 8
E non si puó stabilire, puó essere ±2
Risoluzione: trattandosi di una progressione geometrica di ragione r, deve essere an = a0 rn . Allora
a3 = a0 r3 = 40, a5 = a0 r5 = 160 ⇒ a5 /a3 = r2 = 160/40 = 4, quindi r = ±2. Se r = −2, deve essere
a0 < 0.
Esercizio 6.
2
102 log(0,1) = 10log(0,1) = 10log(0,01) = 0, 01 = 1/100
A 2
B -2
C 1/100
D 1/20
E nessuna delle precedenti
3
Esercizio 7.
log 1
4
√
1
64 = log 1 8 = log 1 ( )−3/2 = −3/2
4
4 4
A e
B 3/2
C -2/3
D -3/2
E nessuna delle precedenti
Esercizio 8.

 1 2 3
det  −1 2 0
4 1 −2
A -27
B -35
C 35
D 4
E 0


 =
