Convergenza del metodo agli elementi finiti Sia trovare : la

Convergenza del metodo agli elementi finiti
:
Sia trovare
è in generale solo un sottospazio di
(
la formulazione Galerkin elementi finiti di grado , i.e.
la formulazione debole di un problema ellittico, con forma
coerciva,
funzionale lineare e
bilineare su
spazio di Hilbert. Sia inoltre trovare
continuo,
:
a causa delle
condizioni al bordo)
. – p.1/7
/
positive t.c.
*-,+
(1)
".
)
( !
'!
&
%
e
allora esistono due costanti
!
!
$
#"
!!
Se
Convergenza del metodo agli elementi finiti
4 /
(2)
) si ha la
6
.
Se la soluzione è sufficientemente regolare (
5
".
*, +
)
( !
3
!
'
&
%
01!!
2
#"
!!
e
5
/
7
convergenza ottimale del metodo. Nota Bene: se
con
i risultati riportati possono essere soggetti a condizioni
sulla regolarità della griglia.
. – p.2/7
9
&
2
converge
:
;
converge
:
.
8
1
&
.
.
r
/
Ordine di convergenza in norma
Convergenza del metodo agli elementi finiti
. – p.3/7
Problema
>
= 8
4 >
>
.
>
L
>
<
>
4
?
>
/>
B
"
G
I
>
F
JKBB
<
G
=
H
E
D
=
C>
E
A
F
D
"
>
<
A
B
>
@?
/>
=
/
<
Sia la temperatura di una sbarra di lunghezza
la
,
cui estremità sinistra è mantenuita a
mentre a destra si hanno condizioni adiabatiche,
conducibilità termica,
sezione
coefficente di convezione
della barra e
(dissipazione termica proporzionale alla temperatura).
. – p.4/7
L S
" <
<
G
=
NOP
Q
?
=
NOP
Sapendo che la soluzione esatta del problema è
QR
M
Test Numerico con Fem1D, I
8
( nel nostro caso). Verificare gli ordini di
/
4
>
&
,
L S
" <
=
,+
<
=
NOP
Q
?
"
=
B
P
QR
8
risolvendo il problema per
.
/
C
8
4 >
>
&
C
4 >
>
&
convergenza in norma
,
e
Si riporta la derivata di
I
F
=
dove
. – p.5/7
Test Numerico con Fem1D, II
M
M
M
/
&
&
M
Si confronti il numero di consizionamento della matrice di
stiffness e lo si disegni in funzione di .
Si provi a risolvere il problema per
e i valori di
precedenti usando il metodo iterativo del gradiente coniugato
(Linear System Solver = Conjugate Gradient) senza
precondizionamento.
Cosa si può dire del numero di iterazioni necessarie per la
convergenza del metodo?
Cosa succede usando come precondizionatore ILU(0) ?
. – p.6/7
cioè
per una opportuna costante positiva e per
sufficientemente piccolo e ci si proponga di stimare avendo
di in corrispondenza a
e
calcolato i valori e
&]
&
V
T
X
Y&
&
T
Sia
U
VW
Metodo per stimare l’ordine di convergenza
T
T[\
2
TZ
Z
&
.
2
T[\
8
V
X
O^
_
O^
_
TZ
/
Si ha
. – p.7/7