capitolo 11 stato critico e modello cam

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Capitolo 11
STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO
CAPITOLO 11
11.1 Percorsi tensionali (stress paths)
11.1.1 Percorsi tensionali efficaci (ESP) e totali (TSP) nei piani s’-t e s-t
Lo stato tensionale in un punto di un mezzo continuo solido in condizioni assialsimmetriche, come è stato mostrato nel Capitolo 9, è rappresentato nel piano di Mohr (, ) da un
cerchio avente il centro sull’asse delle ascisse (Figura 11.1a). Se si considera un sistema
piano di assi cartesiani in cui l’asse delle ascisse è il parametro di tensione:
s
1   3 
(Eq. 11.1)
2
e l’asse delle ordinate è il parametro di tensione:
t
1   3 
(Eq. 11.2)
2
al cerchio nel piano di Mohr corrisponde biunivocamente un punto A nel nuovo sistema
di riferimento (Figura 11.1b). Sovrapponendo i due sistemi di riferimento il punto A coincide con il vertice del cerchio di Mohr. Il vantaggio di tale rappresentazione consiste nel
fatto che è possibile, mediante una linea continua nel piano s-t, rappresentare una successione continua di stati tensionali, ovvero un percorso tensionale. Il vertice del cerchio di
Mohr sta al percorso tensionale come un fotogramma sta ad un filmato.
a)
b)

t
Percorso tensionale
A
A
 - )/2
1
3
O 



1
 + )/2
1
O
s
 + )/2
3
1
3
Figura 11.1: Corrispondenza fra i cerchi di Mohr e i punti nel piano s-t
Nel caso dei terreni i percorsi tensionali possono essere definiti con riferimento sia alle
tensioni totali (TSP = Total Stess Path) sia alle tensioni efficaci (ESP = Effective Stress
Path).
Applicando il principio delle tensioni efficaci si ha:
s = s’ + u
e
t = t’
(Eq. 11.3)
11 – 1
Università degli Studi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale – Sezione Geotecnica
J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 2011)
Capitolo 11
Utilizzando i percorsi tensionali è possibile descrivere la successione continua nel tempo
degli stati tensionali totali ed efficaci di un provino di terreno durante l’esecuzione delle
prove geotecniche assialsimmetriche standard di laboratorio che sono state descritte nei
capitoli precedenti.
a) I percorsi tensionali totale (TSP) ed t
efficace (ESP) di compressione e
consolidazione isotropa (prima fase
delle prove triassiali TxCID e
TxCIU) sono rappresentati da segmenti rettilinei sull’asse delle ascisse (t = 0). Per semplicità di esposizione si suppone che gli stati tensionali iniziali totale ed efficace, rispettivamente rappresentati dai
s,s’
A A’
B’ B
punti A e A’, siano isotropi e che la
pressione interstiziale iniziale sia
B.P.
zero, cosicché i punti A ed A’ risul- Figura 11.2 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t
tano coincidenti. Nel piano delle per compressione isotropa
tensioni totali il segmento AB è
percorso in modo istantaneo all’atto
di applicazione dell’incremento di pressione isotropa di cella (Figura 11.2). Nel piano
delle tensioni efficaci il segmento A’B’ è percorso nel tempo Tc necessario affinché
avvenga la consolidazione. Al tempo T < Tc la distanza BB’ indica il valore della
pressione interstiziale residua.
P
TS
b) I percorsi tensionali
efficace (ESP) e totat
le (TSP) di un provino di terreno nork 0 = arctg[(1-K0 )/(1+K0 )]
malmente consolidaB B’ (T = Tc )
to sottoposto a prova
P
S
di compressione e
E
t = (1-k 0) p
2
consolidazione edou(t)
V
V’
45°
metrica a incrementi
A A’
TSP
(T = 0) C
(T = 0)
di carico sono mos,s’
strati in Figura 11.3.
(
1-k
)
0 p
s 0-s’ = 2
I punti A e A’, coins’ = (1+k 0) p
2
cidenti, indicano gli
s 0 = p
stati tensionali, rispettivamente totale
ed efficace, prima
Figura 11.3 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t per compresdell’applicazione
sione edometrica
dell’incremento di carico, p. I punti B e B’, coincidenti, indicano gli stati tensionali, rispettivamente totale ed
efficace, al termine del processo di consolidazione. Sia i punti A e A’ che i punti B e B’
appartengono alla retta K0, passante per l’origine degli assi ed avente equazione:
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Capitolo 11
t
1  K 0 
 s'
1  K 0 
(Eq. 11.4)
Nel piano delle tensioni efficaci il segmento A’B’ è percorso nel tempo T = Tc necessario affinché avvenga la consolidazione. Nel piano delle tensioni totali il segmento
AC è percorso istantaneamente all’atto dell’applicazione dell’incremento di carico (T
= 0), mentre il segmento CB è percorso nel tempo T = Tc necessario affinché avvenga
la consolidazione. Ad un generico istante di tempo durante il processo di consolidazione i punti rappresentativi dello stato tensionale efficace e totale sono rappresentati
da due punti, V e V’, con la stessa ordinata, rispettivamente sul segmento A’B’ e CB,
e la loro distanza rappresenta il valore della pressione interstiziale.
c) I percorsi tensionali efficace (ESP) e t
totale (TSP) di un provino di terreno
C’
C
nella fase di compressione di una
prova triassiale consolidata isotropicamente e drenata (TxCID) sono
P
mostrati in Figura 11.4. Durante la
ES
P
TS
prova in condizioni drenate non insorgono sovrapressioni interstiziali e
45°
i percorsi ESP e TSP risultano coins,s’
B’ B
cidenti (o traslati di una quantità pari
alla contropressione interstiziale apB.P.
plicata), rettilinei ed inclinati di 45°
Figura 11.4 – Percorsi tensionali nei piani s-t e
rispetto all’asse orizzontale s’.
s’-t per compressione drenata
d) I percorsi tensionali efficace (ESP) e
totale (TSP) di un provino di terreno nella fase di compressione di una prova triassiale
consolidata isotropicamente non drenata (TxCIU) sono mostrati in Figura 11.5. Durante la prova in condizioni non drenate insorgono sovrapressioni interstiziali positive
o negative in dipendenza del rapporto di sovraconsolidazione e del livello di deformazione. Il percorso TSP è rettilineo e inclinato di 45° rispetto all’asse orizzontale s. Il
percorso ESP è invece curvilineo. Nelle Figure 11.5a e b sono qualitativamente mostrati i percorsi tensionali TSP ed ESP per provini di argilla con differente rapporto di
sovraconsolidazione. La distanza dei punti B e B’ corrispondenti agli stati di tensione
isotropa iniziale rispettivamente totale ed efficace rappresenta la contropressione interstiziale BP. Per un provino normalmente consolidato (Figura 11.5a) la pressione interstiziale cresce durante la compressione ed il percorso ESP si allontana curvando
progressivamente verso sinistra dal segmento rettilineo e inclinato a 45° parallelo al
percorso TSP (sovrappressione interstiziale sempre positiva e crescente).
Per un provino fortemente sovraconsolidato (Figura 11.5b) la pressione interstiziale
durante la compressione inizialmente cresce e poi decresce, fino a valori inferiori a
quello iniziale, il percorso ESP curvilineo si svolge inizialmente a sinistra e poi a destra del segmento rettilineo e inclinato a 45° parallelo al percorso TSP.
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Capitolo 11
a)
b)
t
t
C’
C’ C
C
u
ESP
B.P.
u
ES
P
P
TS 45°
45°
B’
B.P.
P
TS
s,s’
B
B’
B
s,s’
Figura 11.5 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t per compressione non drenata: a) terreno normalmente consolidato; b) terreno fortemente sovraconsolidato.
11.1.2 Percorsi tensionali efficaci (ESP) e totali (TSP) nei piani p’-q e p-q
I percorsi tensionali che utilizzano i parametri di tensione s, s’ e t sopra introdotti hanno il
vantaggio di essere immediatamente comprensibili, poiché è facile collegare ad un generico punto del percorso tensionale il corrispondente cerchio di Mohr e, anche mentalmente, visualizzarlo. Tuttavia i parametri s, s’ e t non hanno un preciso significato fisico. Esistono altri modi, meno intuitivi ma più corretti, per rappresentare i percorsi tensionali. In
particolare nel seguito saranno utilizzati i parametri invarianti di tensione:
tensione media totale: p 
1
 1   2  3 
3
tensione media efficace: p' 
1
 '1  ' 2  ' 3   p  u
3
tensione deviatorica:
1
q  q' 
2

  1   2    2   3    3   1 
2
(Eq. 11.5)
2

(Eq. 11.6)
(Eq. 11.7)
2 0,5
che, per 2 = 3, divengono rispettivamente:
  2  3
p 1
;
3
1'  2   3'
p' 
 pu;
3
q  q'  1   3  1'   3'
I parametri s, s’ e t ed i parametri p, p’ e q sono legati dalle seguenti relazioni biunivoche:
ps
t
3
(Eq. 11.8)
p'  s'
t
3
(Eq. 11.9)
q  2t
s p
(Eq. 11.10)
q
6
(Eq. 11.11)
11 – 4
Capitolo 11
q
6
(Eq. 11.12)
s'  p'
t
q
2
(Eq. 11.13)
per cui tutto quanto è stato detto con riferimento ai piani s-t ed s’-t può essere trasferito e
tradotto nei corrispondenti piani p-q e p’-q.
In generale (Figura 11.6) a incrementi delle tensioni principali maggiore e minore rispettivamente pari a 1 e a 2=3:
nel piano s-t corrisponde un segmento
di percorso tensionale di lunghezza:
L s  t 
  
2
2
1
2
3
, t
L s-t
(Eq. 11.14)
O
e pendenza:
tan  s  t 
 s-t
 3
t
, s
 1
s
1   3
1   3
(Eq. 11.15)
Figura 11.6 – Percorsi tensionali nei piani s-t e -
mentre nel piano p-q corrisponde un segmento di percorso tensionale di lunghezza:
1
L pq   10  12  13   32  14  1   3
3
(Eq. 11.16)
e pendenza:
tan  p q 
3  (1   3 )
1  2   3
(Eq. 11.17)
e quindi in particolare:
per compressione isotropa (1 = 3 = ):
nel piano s - t 
L s  t   
tans-t = 0
(Eq. 11.18)
nel piano p - q 
L p q  
tanp-q = 0
(Eq. 11.19)
per compressione monoassiale (1 = 3 = 0):
nel piano s - t 
L s  t 
nel piano p - q 
L p q 

2

10
  
3
tans-t = 1
(Eq. 11.20)
tanp-q = 3
(Eq. 11.21)
11 – 5
Capitolo 11
11.2 Stato critico
11.2.1 Introduzione
Nei capitoli precedenti sono stati affrontati separatamente, con modelli semplici e schemi
elementari diversi, i problemi relativi alla deformabilità ed alla resistenza dei terreni.
In questo capitolo, dopo avere esposto la teoria dello Stato Critico come quadro interpretativo generale del comportamento dei terreni saturi, si introdurrà un modello matematico
un poco più complesso ma più generale (il modello Cam Clay Modificato) per la previsione quantitativa di tale comportamento.
I parametri di tale modello possono essere ricavati dai risultati delle prove geotecniche
standard di laboratorio, già esposti e commentati nei capitoli precedenti. Tali risultati verranno pertanto richiamati ed inquadrati in un’ottica unitaria.
Le prove geotecniche standard di laboratorio per la determinazione del comportamento
meccanico dei terreni sono le prove triassiali e le prove di compressione edometrica, entrambe assialsimmetriche. Salvo indicazione contraria, nel seguito assumeremo che la
tensione assiale a corrisponda alla tensione principale maggiore 1, e che la tensione radiale r corrisponda alle tensioni principali intermedia e minore, eguali fra loro, 2 = 3.
Nel seguito, per descrivere lo stato di tensione ed i percorsi tensionali si utilizzeranno i
parametri p, p’ e q.
Per descrivere lo stato di deformazione, di un provino cilindrico di altezza iniziale H0,
diametro iniziale D0 e volume iniziale V0, si utilizzeranno i parametri:
deformazione assiale:  a  1 
H
H0
(Eq. 11.22)
deformazione radiale:  r   3 
D
D0
(Eq. 11.23)
deformazione volumetrica:  v   a  2   r  1  2   3 
deformazione deviatorica o distorsione:  s 
V
V0
2
2
  a  r    1   3 
3
3
(Eq. 11.24)
(Eq. 11.25)
La deformazione deviatorica è definita nel modo sopra scritto affinché valga la relazione:
1'  d1   '2  d 2   3'  d 3  p'd v  q  d s
(Eq. 11.26)
Come parametro indicativo dello stato di addensamento del terreno verrà utilizzato il volume specifico, v, che è per definizione il rapporto tra il volume totale di un elemento di
terreno, V, e il volume occupato dalle particelle solide, VS.
Risulta pertanto per definizione:
v
V
 (1  e)
VS
(Eq. 11.27)
e
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Capitolo 11
d v  
de
dv

1  e0
v0
(Eq. 11.28)
Analizziamo i risultati delle prove geotecniche standard su provini di argilla ricostituiti in
laboratorio, già esposti e commentati nel Capitolo 9, rappresentando i percorsi di carico in
uno spazio tridimensionale definito dalla terna di assi cartesiani ortogonali p’-q-v.
11.2.2 Compressione isotropa drenata (prima fase delle prove triassiali standard), linea
di consolidazione normale (NCL) e linee di scarico-ricarico (URL)
Il percorso efficace di carico si svolge interamente sul piano p’-v (ovvero sul piano q = 0). La curva sperimentale, che potremmo ottenere per punti
incrementando (o riducendo) gradualmente la
pressione di cella e attendendo per ogni gradino
di carico l’esaurirsi del processo di consolidazione isotropa, è qualitativamente indicata in Figura
11.7. La stessa curva, rappresentata in un piano
semilogaritmico (Figura 11.8a), può essere schematizzata con segmenti rettilinei (Figura 11.8b).
q
A
C
B
D
p’
v
A
La principale ipotesi semplificativa adottata nel
C
B
passaggio dalla curva sperimentale a quella
schematica consiste nell’avere sostituito al piccoD
lo ciclo di isteresi sperimentale del percorso di
scarico-ricarico il suo asse, ovvero nell’avere assunto un comportamento deformativo volumetrip’
co elastico (variazioni di volume interamente reversibili).
Figura 11.7 - Percorso di carico di
compressione (e decompressione) iso-
La retta ABD è detta linea di consolidazione
tropa drenata nei piani p’-q e p’-v
normale (NCL), ed ha equazione:
v      ln(p' )
q0
(Eq. 11.29)
Il parametro  è il valore dell’ordinata (volume specifico) del punto sulla NCL che ha per
ascissa p’=1 (e quindi ln(p’) = 0) e dipende dal sistema di unità di misura adottato. Il parametro  è la pendenza della NCL ed è adimensionale.
La retta BCB è una delle infinite, possibili linee di scarico e ricarico (URL), ed ha equazione:
v  v     ln(p' )
(Eq. 11.30)
q0
Il parametro v è il valore dell’ordinata (volume specifico) del punto su quella specifica
linea di scarico-ricarico che ha per ascissa p’=1 (e quindi ln(p’) = 0), dipende dal sistema
di unità di misura adottato ed è biunivocamente riferito all’ascissa del punto B (Figura
11 – 7
Capitolo 11
11.8b), definita pressione di consolidazione, p’c, dalle seguenti relazioni, ottenute imponendo l’appartenenza del punto B sia alla NCL che alla linea di scarico-ricarico:
 
v          ln p 'c
(Eq. 11.31)
  v 
p 'c  exp 

  
a)
b)
v
v
N
A
A
C
-
C - 1
1
v
B
B
D
D
ln p’
1
p’c
p’ (ln)
Figura 11.8 - Curva sperimentale (a) e curva schematizzata (b) del percorso di carico di compressione (e decompressione) isotropa drenata nel piano semilogaritmico ln p’-v
Il parametro  è la pendenza della linea di scarico-ricarico isotropo ed è adimensionale.
Un provino, al cui stato tensionale, p’0, corrisponda un punto su una linea di scaricoricarico, è isotropicamente sovraconsolidato (OC). Il rapporto di sovraconsolidazione isotropa è:
R0 
p 'c
p '0
(Eq. 11.33)
R0 non è eguale al rapporto di sovraconsolidazione edometrica, OCR, ma è ad esso legato
dalla relazione:
R0 
1  2  K 0NC
1  2  K OC
0
 OCR
(Eq. 11.34)
Il risultato sperimentale di un percorso di carico isotropo in condizioni drenate con più cicli di scarico-ricarico a pressione di consolidazione crescente può essere schematicamente
rappresentato come in Figura 11.9: i segmenti corrispondenti a ciascun ciclo di scaricoricarico, rettilinei nel piano semilogaritmico, hanno la stessa pendenza – e, naturalmente,
diversi valori di v e di p’c.
In definitiva, rammentando gli schemi dei modelli reologici elementari presentati nel Capitolo 5, si può affermare che i risultati sperimentali sopra descritti possono essere ben riprodotti da un modello elastico non lineare – plastico a incrudimento positivo.
Infatti:
a. il comportamento deformativo è (quasi) elastico, ovvero il percorso è reversibile, lungo le linee di scarico-ricarico;
11 – 8
Capitolo 11
b. lungo tali linee il comportamento è non lineare, in quanto il percorso è rettilineo nel
piano semilogaritmico (e
quindi curvilineo nel piano
naturale);
c. il comportamento è elastoplastico lungo la linea di consolidazione normale (NCL);
v
N
A
v
C1
1
v
2
v
3
1
C2
-
B1
1
C3
-
1
B2
-
d. la pressione media efficace di
consolidazione isotropa, p’c, è
la soglia di tensione oltre la
quale si manifestano deformazioni plastiche (irreversibili), ovvero è la tensione di
snervamento;
e. l’incrudimento è positivo poiché la deformazione plastica
avviene a pressione di consolidazione crescente.
-
1
p’c 1
1
p’c 2
B3
p’c 3
p’(ln)
Figura 11.9 - Schematizzazione di un percorso di carico
isotropo drenato con più cicli di scarico-ricarico a
pressione di consolidazione crescente
11.2.3 Pressione efficace media equivalente, p’e
La pressione efficace media equivalente di un elemento di terreno A caratterizzato dai parametri p’A, qA e vA è la pressione p’eA del punto sulla linea di consolidazione normale
(NCL) avente volume specifico vA (Figura 11.10). La pressione efficace media equivalente vale dunque:
 N  vA 
p 'eA  exp

  
(Eq. 11.35)
b)
a)
v
q
N
qA
-
L
C
N
vA
1
A
A
p’A
p’A
p’(ln)
p’
eA
p’eA
p’
vA
v
L
C
N
Figura 11.10 - Definizione di pressione efficace equivalente nel piano lnp’-v e nello spazio p’-v-q
11 – 9
Capitolo 11
La pressione efficace equivalente non varia nei percorsi tensionali non drenati, che avvengono a volume costante, mentre varia nei percorsi tensionali drenati, durante i quali si
hanno deformazioni volumetriche.
11.2.4 Compressione con espansione laterale impedita (compressione edometrica), linea
di consolidazione edometrica (linea K0) e linee di scarico-ricarico edometriche
Dalle condizioni al contorno della prova edometrica (compressione assialsimmetrica con
espansione laterale impedita) si desume:
 2   3  0;  v  1
 '2   3'  K 0  1'
(Eq. 11.36)
'
p'  1  1  2  K 0 ; q  1'  (1  K 0 )
3
Se il terreno normalmente consolidato, K0 è costante e il percorso tensionale nel piano p’q è rettilineo, passa per l’origine degli assi, ed ha equazione, (linea K0) (Figura 11.11 a):
q  p'
3  1  K 0 
1  2  K 0 
(Eq. 11.37)
In Figura 11.11 b è mostrato l’andamento della linea K0 al variare di K0 da cui si può osservare che non potendo essere K0 < 0 (altrimenti si avrebbe una tensione ’3 < 0 e quindi
di trazione), dalla Eq. 11.37 la retta che delimita gli stati tensionali possibili per il terreno
sul piano p’-q ha equazione: q = 3 p’.
aK
0
b)
q
q
K0 = 0
Li
ne
a)
0 < K0 < 1
3
3  1  K 0 
1  2  K0 
1
1
(Compressione isotropa)
K0 = 1
p’
p’
K0 > 1
Figura 11.11 - Traccia della linea K0 nel piano p’-q per un terreno normalmente consolidato
(N.B. per K0 > 1, ’1 = ’2 e p’ = (2’1 + ’3)/3 e q = (1 – 3))
Nel piano p’-v il percorso tensionale è del tutto simile a quello della compressione isotropa e, analogamente ad esso, può essere schematizzato nel piano semilogaritmico con tratti
rettilinei definiti dalle seguenti equazioni (Figura 11.12):
11 – 10
Capitolo 11
per la linea di compressione edometrica vergine:
v  N 0    ln p'
(Eq. 11.38)
per le linee di scarico-ricarico edometriche:
v  v K 0    ln p'
(Eq. 11.39)
N
N0
A
vK0
-
C - 1
1
B
D
CL
aN K 0
ne e a
n
Li
Li
Si osserva che la proiezione della linea
K0 sul piano ln p’-v è parallela alla linea
di consolidazione isotropa normale
(NCL), e che le proiezioni sul piano
lnp’-v delle linee di scarico-ricarico in
condizioni edometriche sono parallele
alle linee di scarico-ricarico in condizioni di carico isotropo.
v
Il parametro vK0 è biunivocamente riferito alla pressione di consolidazione edometrica p’c,edo (ascissa del punto B di Fip’(ln)
1
p’
c,edo
gura 11.12), dalle seguenti relazioni ottenute imponendo l’appartenenza del
punto B sia alla linea K0 che alla linea di Figura 11.12 - Traccia della linea K0 nel piano
scarico-ricarico in condizioni edometri- lnp’-v per un terreno N.C. e di una linea di scariche:
co-ricarico in condizioni edometriche

v K 0   0       ln p 'c ,edo

(Eq. 11.40)
  0  v K0 
p 'c ,edo  exp 

  
(Eq. 11.41)
Nel Capitolo 7 abbiamo visto come i risultati della prova edometrica siano abitualmente
rappresentati nel piano log’v-e, e che in tale piano la pendenza della linea di compressione edometrica vergine sia l’indice di compressione Cc e la pendenza delle linee di scarico sia l’indice di rigonfiamento Cs. Valgono dunque le relazioni:
C c    ln 10  2,303  
(Eq. 11.42a)
e (solo approssimativamente poiché durante lo scarico varia OCR e dunque varia K0):
C s    ln 10  2,303  
(Eq. 11.42b)
A differenza della linea di consolidazione normale (NCL) che si sviluppa sul piano q = 0,
la linea K0 si sviluppa nello spazio a tre dimensioni p’-q-v (Figura 11.13).
11 – 11
Capitolo 11
q
Linea K0
p’
1
3  1  K 0 
1  2  K 0 
Linea NCL
v
Figura 11.13 - Rappresentazione delle linee NCL e K0 nello spazio p’-q-v
11.2.5 Compressione triassiale drenata di argilla N.C. (prova TxCID) e linea di stato
critico (CSL)
Il percorso tensionale efficace di un provino di argilla N.C. in una prova di compressione
triassiale drenata standard consiste di due fasi: la prima di compressione isotropa lungo la
linea NCL, fino alla pressione di consolidazione isotropa p’c, la seconda di compressione
assiale in condizioni drenate a pressione di confinamento costante. In quest’ultima fase, al
crescere della deformazione assiale a (la prova è condotta a deformazione assiale controllata) la tensione deviatorica q cresce progressivamente fino ad un valore massimo qf poi si
mantiene circa costante. La curva sperimentale a – q è ben rappresentata da una relazione
iperbolica del tipo:
q
a
a  b  a
(Eq. 11.43)
Il volume decresce progressivamente fino ad un valore minimo, poi si mantiene circa costante (Figura 11.14). Il percorso tensionale corrispondente alla fase di compressione assiale, AB, ha come proiezione sul piano p’-q un segmento rettilineo con pendenza 3:1, dal
punto A di coordinate (p’c - 0) al punto B, corrispondente alla condizione di rottura, di
coordinate (p’f - qf), e nel piano p’-v ha origine nel punto A sulla linea NCL e termina nel
punto B sottostante la linea NCL.
Infatti durante la fase di compressione risulta che ’3 = ’r = ’c = cost e quindi q =
(’1 – ’3) = ’1 e p’ = (’1 + 2’3)/3 = ’1/3 e quindi:
1 '
q
3

p' 1 ' / 3
(Eq. 11.44)
11 – 12
Capitolo 11
a) q
b) q
B
B
qf
3
A 1
p’f
p’c
a
A
c)
p’
v
B
v
A
B
p’
Figura 11.14 - Percorsi tensionali di compressione drenata su un provino di argilla N.C.
Se tre provini della stessa argilla isotropicamente consolidati a pressioni diverse sono portati a rottura in condizioni drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura 11.15. Si osserva in particolare che:
o
le tre curve a – q hanno la stessa forma e, normalizzate rispetto alla pressione di
consolidazione p’c, sono (quasi) coincidenti;
o
la deformazione volumetrica durante la compressione assiale aumenta al crescere
della deformazione assiale e della pressione di consolidazione;
o
i punti B rappresentativi dello stato finale dei tre provini giacciono su una linea, detta di Stato Critico (CSL), la cui equazione è:
q f  M  p 'f
v f      ln p 'f
(Eq. 11.45)
La relazione q f  M  p 'f equivale al criterio di rottura di Mohr-Coulomb per terreni N.C.
che, nel Capitolo 8, avevamo scritto nella forma:
 f   'n  tan  '
(Eq. 11.46)
L’angolo di resistenza al taglio da considerare è quello che corrisponde alla condizione di
stato critico, ’cs, ovvero alla condizione in cui, al crescere della deformazione assiale rimangono costanti tensione deviatorica, qf, e deformazione volumetrica, v.
Il parametro M è funzione dell’angolo di resistenza al taglio allo stato critico, ’cs, e delle
modalità di prova. Infatti se il provino è portato a rottura per compressione assiale a tensione efficace di confinamento costante, ovvero con le modalità standard descritte nel Capitolo 8, la tensione principale maggiore è la tensione assiale, mentre le tensioni principali
intermedia e minore coincidono entrambe con la tensione radiale:
11 – 13
Capitolo 11
1'   'a
(Eq. 11.47)
 3'   '2   'r
quindi:

q f  1'   3'
  
f
   2
p 'f  
3

'
1
'
3
'
a
  'r

f
    2   'r
  
3
f 
'
a


f
(Eq. 11.48)
e ricordando che è:
 1'  1  sen 'cs
 '  
'
  3  f 1  sen cs
(Eq. 11.49)
si ha:
M  Mc 

'
'
q f 3  a  r

p 'f
 'a  2   'r


 1  sen cs  
  1
3


3   'a /  'r  1 f
 1  sen cs  



 'a /  'r  2 f
 1  sen cs  
  2

 1  sen cs  


f

f



(Eq. 11.50)

3  1  sen 'cs  1  sen 'cs
6  sen 'cs

1  sen 'cs  2  2sen 'cs f 3  sen 'cs


sen 'cs 

3 Mc
6  Mc
(Eq. 11.51)
Se invece il provino è portato a rottura per estensione assiale, ovvero aumentando la tensione efficace di confinamento a tensione efficace assiale costante, la tensione principale
minore è la tensione assiale e le tensioni principali intermedia e maggiore, coincidenti,
sono la tensione radiale:
1'   '2   'r
(Eq. 11.52)
 3'   'a
quindi:

q f  1'   3'
  
f
 2  
p  
3

'
f
'
1
'
3
'
r
  'a

f
  2   'r   'a
  
3
f 

'
'
q f 3  r  a
M  Me  '  '
pf
 a  2   'r

sen 'cs 


f
f


f
(Eq. 11.53)
6  sen 'cs

3  sen 'cs
3 Me
6  Me
(Eq. 11.54)
(Eq. 11.55)
11 – 14
Capitolo 11
a) q
qf3
qf2
qf1
b) q
B3
B3
B2
B2
B1
B1
A1 A2 A3
p’c1 p’c2p’c3
a
A1 = A2 = A3
c)
B1
B2
v
L
CS
M
1
p’
v
NC
CS L
L
B3
A1
A2
vf1
vf2
vf3
A3
B1
B2
p’f1
B3
p’
p’f2 p’f3
Figura 11.15 - Risultati di prove TxCID su provini della stessa argilla N.C. consolidati a pressioni diverse
Una conseguenza importante è che,
mentre l’angolo di resistenza al taglio
allo stato critico ’cs è lo stesso per compressione e per estensione, la pendenza
M della linea di stato critico nel piano
p’-q non è la stessa. In particolare, poiché Me < Mc, per lo stesso terreno e a
parità di pressione efficace media, la
tensione deviatorica a rottura in estensione è minore che in compressione (Figura 11.16).
L (a)
CS
q
1
Mc
p’
1
Me
I punti B corrispondenti alla condizione
CS
L
di stato critico giacciono su una linea la
(b)
cui proiezione sul piano p’-v è una curva
che, rappresentata nel piano semilogaritmico, diviene una retta parallela alla Figura 11.16 – Linea di stato critico nel piano p’linea NCL.
q in caso di rottura per compressione assiale e di
In Figura 11.17 sono rappresentate le li- rottura per estensione assiale
nee NCL e CSL.
11 – 15
Capitolo 11
q
CSL
p’
1
M
NCL
v
Figura 11.17 – Rappresentazione delle linee NCL e CSL (indicata convenzionalmente con una doppia linea) nello spazio p’-q-v
Il percorso tensionale nello spazio p’-q-v durante la fase di compressione drenata si svolge su un piano, detto piano drenato, rappresentato in Figura 11.18.
q
CSL
B’ Piano drenato
B
p’
1
3
A’
A
NCL
v
Figura 11.18 - Piano drenato e percorso tensionale efficace di una prova TxCID nello spazio p’-q-v
11 – 16
Capitolo 11
11.2.6 Compressione triassiale non drenata di argilla N.C. (prova TxCIU) e superficie di
Roscoe
La prova di compressione triassiale consolidata non drenata standard consiste di due fasi:
la prima di compressione e di consolidazione isotropa, la seconda di compressione assiale
in condizioni non drenate a pressione di confinamento costante. In quest’ultima fase, al
crescere della deformazione assiale a (la prova è condotta a deformazione assiale controllata) il volume del provino (saturo) non varia, la tensione deviatorica q e la pressione interstiziale crescono progressivamente fino alla condizione di stato critico.
In Figura 11.19 sono rappresentati i risultati di una prova TxCIU su un provino di argilla
satura N.C. portato a rottura in presenza di una contro pressione interstiziale iniziale (BP
= u0).
In Figura 11.20 sono mostrati i risultati che si possono ottenere da una serie di tre prove
TxCIU su provini della stessa argilla satura N.C. consolidati a pressioni diverse.
Dall’esame delle Figure 11.19 e 11.20 si desume che:
o
la tensione deviatorica q cresce progressivamente con la deformazione assiale a fino ad un valore massimo qf e poi si mantiene circa costante,
o
la deformazione avviene a volume costante (v = 0) e con progressivo incremento
della pressione interstiziale (u) fino ad un valore massimo, uf, crescente con la
pressione di consolidazione,
o
i percorsi tensionali totali (TSP) sono rettilinei ed hanno pendenza 3:1,
o
i percorsi tensionali efficaci (ESP) sono curvilinei ed hanno la stessa forma,
o
la distanza tra ESP e TSP rappresenta la pressione interstiziale u,
o
i punti rappresentativi dello stato tensionale efficace iniziale (A’) sono sulla linea di
consolidazione normale (NCL),
o
i punti rappresentativi della condizione di rottura (B’) sono sulla linea di stato critico (CSL).
Il percorso tensionale nello spazio p’-q-v durante la fase di compressione non drenata si
svolge su un piano parallelo al piano p’-q, detto piano non drenato, rappresentato in Figura 11.21.
In una prova triassiale non drenata su un provino saturo non si hanno variazioni di volume. Pertanto il volume specifico iniziale v0 è anche il volume specifico a rottura:
v 0  v f      ln p 'f
(Eq. 11.56)
ovvero:
   v0 
p 'f  exp

  
(Eq. 11.57)
e
   v0 
q f    p 'f    exp

  
(Eq. 11.58)
11 – 17
Capitolo 11
uf
a) q
uf
b) q
B
u0
B
B’
TSP
ESP
qf
a
A
3
1
A
pc pf
A’
p’f p’
c
c)
p,p’
u0
v
B
u
NCL
A’
B’
p’
Figura 11.19 - Percorsi tensionali di compressione non drenata su un provino di argilla satura
N.C.
CS
b) q
qf 2
B2
qf 1
B1
uf 3
B’3
uf 2
B’2
B’1
uf 1
B1
uf 2
uf 3
B2
B3
c)
B1
A2
A’3
A3
p,p’
v
v0 1
u
B2
uf 1
A’1 A1 A’2
a
A1 = A2 = A3
B3
3
B3
1
ESP 3
qf 3
L
M
TSP
a) q
v0 2
v0 3
A’1
B’1
A’2
B’2
A’3
NC L
B’3
C SL
p’f 1
p’f 2
p’f 3
p’
Figura 11.20 - Risultati di prove TxCIU su provini della stessa argilla satura N.C. consolidati a
pressioni diverse
11 – 18
Capitolo 11
q
B’
Piano non drenato
CSL
ESP
p’
B
A’
A
NCL
v
Figura 11.21 - Piano non drenato e percorso tensionale efficace di una prova TxCIU
La resistenza al taglio in condizioni non drenate dei terreni a grana fine, cu, che, come abbiamo visto nel Capitolo 9, viene utilizzata per le verifiche di stabilità in termini di tensioni totali è pari alla metà della tensione deviatorica a rottura, dunque:
cu 
qf 
   v0 
  exp

2
2
  
(Eq. 11.59)
Per un dato terreno i parametri ,  e  sono costanti, quindi cu dipende soltanto dal volume specifico v0. Per un terreno saturo è:
v  1 e  1 Gs  w
(Eq. 11.60)
dunque la resistenza al taglio in condizioni non drenate, cu, di una stessa argilla satura dipende unicamente dal suo contenuto in acqua w.
Tutti i percorsi tensionali efficaci, di prove drenate e non drenate, che dalla linea di consolidazione normale (NCL) pervengono alla linea di stato critico (CSL) giacciono su una
superficie nello spazio p’-q-v, detta Superficie di Roscoe, che limita il dominio degli stati
tensionali possibili (Figura 11.22).
Tale affermazione può essere visualizzata normalizzando i percorsi tensionali drenati e
non drenati dalla NCL alla CSL di provini saturi normalconsolidati rispetto alla pressione
efficace equivalente, che rimane costante nei percorsi non drenati, ed è invece variabile in
quelli drenati. In tal modo nel piano p’/p’e-q/p’e tutti i percorsi coincidono in un’unica
curva che rappresenta la Superficie di Roscoe normalizzata (Figura 11.23).
11 – 19
Capitolo 11
q
Superficie di Roscoe
CSL
p’
NCL
v
Figura 11.22 - Superficie di Roscoe
q/p’e
CSL
Superficie di Roscoe normalizzata
NCL
p/p’e
Figura 11.23 - Superficie di Roscoe normalizzata
11 – 20
Capitolo 11
11.2.7 Compressione triassiale drenata di argilla O.C. (prova TxCID) e condizione di
rottura
Se un provino di argilla satura è isotropicamente consolidato, ad una pressione efficace
p’c, e poi isotropicamente decompresso in condizioni drenate, fino ad una pressione efficace p’0 in modo da divenire fortemente sovraconsolidato, ed è infine sottoposto a compressione drenata, esso mostra un comportamento tensionale e deformativo durante la fase di compressione del tipo di quello descritto in Figura 11.24.
Si può osservare che la condizione di rottura non coincide con la condizione di stato critico. Infatti la curva a-q presenta un massimo (qf) a rottura (punto B), poi decresce fino a
stabilizzarsi su un valore minore (qcs) che corrisponde allo stato critico (punto C).
Il volume del provino prima diminuisce, poi aumenta, supera il valore iniziale e infine
tende a stabilizzarsi.
 d

La curva a-v presenta tangente orizzontale  v  0  nei punti C e D che corrispondo d a

 d 
no al valore q = qcs, e un flesso  v  nel punto B che corrisponde a q = qf.
 d a  max
La proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p’-q ha pendenza 3:1.
Nel tratto AB fino alla rottura il percorso è ascendente, nel tratto BC è discendente.
b)
a) q
q
B
qf
qc s
D
qf
qc s
C
ESP
B
C=D
3
A 1
p’0
a
A
c)
d)
p’
p’f
v
C
B
A
a
D
vC
vB
v
vDA
C
A
p’0
v
D
B
p’f
p’c
p’
Figura 11.24 - Comportamento di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato in
prova TxCID
11 – 21
Capitolo 11
Nel piano p’-v il punto A rappresentativo dello stato iniziale si trova su una curva di scarico-ricarico. La proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p’-v ha tangente orizzontale nei punti C e D.
Se tre provini della stessa argilla satura con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa sono portati a rottura in condizioni drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura
11.25. Si osserva in particolare che:
o
se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p'-v è sotto la
CSL (punto A1), esso è fortemente sovraconsolidato (provino n. 1),
o
un provino fortemente sovraconsolidato ha un deviatore a rottura (qf) molto maggiore del deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento dilatante
(aumento di volume),
o
se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p'-v è sotto la
NCL ma sopra la CSL, esso è debolmente sovraconsolidato (provino n. 2),
o
un provino debolmente sovraconsolidato ha un deviatore a rottura (qf) poco maggiore o eguale al deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento contraente (diminuzione di volume),
o
se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p'-v è sulla
NCL, esso è normalmente consolidato (provino n. 3),
o
un provino normalmente consolidato ha un deviatore a rottura (qf) eguale al deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento contraente (diminuzione di
volume),
o
i punti rappresentativi delle condizioni di rottura (B) di provini con eguale pressione
di preconsolidazione (punti A sulla stessa linea di scarico-ricarico) giacciono su una
retta (linea inviluppo a rottura) distinta dalla CSL relativamente ai provini sovraconsolidati (punti B1 e B2), e sulla CSL per il provino normal-consolidato (punto B3),
o
i punti rappresentativi delle condizioni ultime (C) giacciono sulla CSL,
La linea inviluppo a rottura, per i terreni sovraconsolidati, ha equazione:
qf  q  m  pf '
(Eq. 11.61)
Tale retta, che rappresenta il luogo dei punti di rottura per le argille sovraconsolidate, corrisponde nello spazio p’-q-v ad una superficie piana detta Superficie di Hvorslev.
Nel Capitolo 9 abbiamo visto che l’inviluppo a rottura in termini di tensioni efficaci per
un’argilla sovraconsolidata ha equazione:
 f  c' 'n  tan '
(Eq. 11.62)
che può essere scritta anche nella forma (Figura 11.26):

1
 1'   3'
2

f

  '   3'
 1
2


f

 c' cot g'  sen'

(Eq. 11.63)
11 – 22
Capitolo 11
Dalla Eq. 11.61, essendo
a) q
qf = (’1 – ’3)f
L
CS
M
1
B3
e
Linea di inviluppo
a rottura
p’f = (’1 + 2’3)f / 3,
si ottiene sostituendo:

'
1
  3'
  q  m  
f
'
1
 2 3'
3

B
f
1
da cui, svolgendo i calcoli, si ottiene:
q
3  2m
3q

3m 3m
1' f   3' f
C1
A1
b)
  3'
  
'
1
f
D1
A2

  3' f  sen'2c' cos '
B
A1 D 1
1 A
2
URL
e quindi:
1' f   3' f
p’
A3
C1
Dalla Eq.11.63 invece si ricava:
'
1
m
v
(Eq. 11.63a)

2
B1
B2
1  sin '
cos '
 2c '
1  sin '
1  sin '
(Eq. 11.63b)
Eguagliando la (11.63a) e la
(11.63b) si ottiene:
A3
NC
L
CS
L
B3
p’0 1
p’0 2
p’
p’c
Figura 11.25 - Risultati di prove TxCID su provini della stessa argilla con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa e linee di inviluppo a rottura

3  2m 1  sin '

3  m 1  sin '
inviluppo di rottura
(Eq. 11.63c)
R
e
c’
O’
3q
2c' cos '

3  m 1  sin '
’
O
c’ ctg ’
(Eq. 11.63d)
’3
C
’1
’
(1’ +3’ )/2
Figura 11.26 – Criterio di rottura di Mohr-Coulomb
Dalla (11.63c) si può ricavare m:
m
6 sin '
3  sin '
(Eq. 11.63e)
ed andando a sostituire nella (11.63d) si ricava q:
11 – 23
Capitolo 11
q
6c' cos '
3  sin '
(Eq. 11.63f)
da cui si ottengono le corrispondenze:
6  c' cos '
3  sen'
6  sen'
m
3  sen'
q
(Eq. 11.64)


Imponendo la condizione che i terreni non possano sostenere tensioni di trazione  3'  0
si ha che per ’3 = 0, q = ’1 – ’3 = ’1 e p = (’1 + 2’3)/3 = ’1/3, cioè q = 3 p’. Si deduce che la linea inviluppo a rottura, come mostrato anche in Figura 11.11 b, è limitata a
sinistra dalla retta di equazione:
q  3  p'
(Eq. 11.65)
11.2.8 Compressione triassiale non drenata di argilla O.C. (prova TxCIU) e superficie di
stato.
Se un provino di argilla satura è isotropicamente consolidato, poi isotropicamente decompresso in condizioni drenate in modo da divenire fortemente sovraconsolidato, e infine
sottoposto a compressione non drenata, mostra un comportamento tensionale e deformativo durante la fase di compressione del tipo di quello descritto in Figura 11.27.
Si osserva che la curva a-q è monotona (non presenta un picco), l’incremento di pressione interstiziale u è inizialmente positivo, poi diviene negativo (comportamento duale
della curva a-v della prova TxCID).
Se tre provini della stessa argilla satura con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa sono portati a rottura in condizioni non drenate si ottengono i risultati mostrati in
Figura 11.28.
In Figura 11.29 sono messi a confronto i percorsi tensionali efficaci di due provini della
stessa argilla egualmente sovraconsolidati e sottoposti a rottura in condizioni drenate e
non drenate. Si può osservare che la tensione deviatorica a rottura per il provino non drenato è nettamente maggiore.
In Figura 11.30 sono invece messi a confronto i percorsi tensionali efficaci di tre provini
della stessa argilla con differente rapporto di sovra consolidazione isotropa ed eguale volume specifico iniziale portati a rottura in condizioni non drenate. Si può osservare che i
percorsi si svolgono sullo stesso piano v = cost e pervengono allo stesso punto della linea
di stato critico.
In Figura 11.31a sono rappresentate nello spazio p’-q-v le tre superfici (di Roscoe, di
Hvorslev e il piano limite di rottura per trazione) che assieme formano la Superficie di
Stato, la quale delimita il volume degli stati di tensione possibili.
11 – 24
Capitolo 11
a) q
b) q
qcs
qcs
uf
u0
B’ B
-
TSP
u
ESP
a
A
c)
uf
+
A’
p’0
d)
u
0
u
3
1
A
p0
p,p’
v
-
NC
L
a
+
ESP
v0
B’UR
L
A’
p’0
u
p’f
p’c
p’
Figura 11.27 - Comportamento di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato in
prova TxCIU
a)
q
Linea di inviluppo
a rottura
B
B2 3
1
L
CS
M
B1
m
1
q
A1
A2
A3
p,p’
b)
v
CL L
N CS
URL
B1
A1
B2
A2
B3
A3
OCR1 = p’c /p’0
1
OCR2 = p’c /p’0
2
=6
= 1.5
OCR3 = 1
p’0
1
p’0 2
p’c
p’
Figura 11.28 - Risultati di prove TxCIU su provini della stessa argilla con differenti rapporti di
sovraconsolidazione isotropa e linee di inviluppo a rottura
11 – 25
Capitolo 11
b)
a) q
q
L
CS
M
qc s u
qf u
q
qcf s
1
F
E
E
B
B
C
m
D
C D
a
A
F
1
A
p’0
c)
p,p’
v
C
v0
D B
E
A C
p’0
F
URL NCL
CSL
p’c
p’
Figura 11.29 - Confronto fra i percorsi tensionali efficaci di due provini della stessa argilla
egualmente sovraconsolidati e sottoposti a rottura in condizioni drenate (TxCID) e non drenate
(TxCIU)
a) q
1
B
L
CS
M
C
A1
b)
A2
A3
p’
v
CL
N CSL
A2
A1 C B
A3
p’
Figura 11.30 - Percorsi tensionali efficaci di tre provini della stessa argilla con differente rapporto di sovra consolidazione isotropa ed eguale volume specifico iniziale portati a rottura in
condizioni non drenate
Anche per la superficie di Hvorslev e per il piano limite di trazione, come per la superficie di Roscoe, si può dare una rappresentazione normalizzata nel piano p’/p’e-q/p’e (Figura 11.31b). In particolare la superficie di Hvorslev normalizzata è una retta di equazione:
11 – 26
Capitolo 11
q
CSL
p’
Superficie di Hvorslev
Piano limite di trazione
NCL
v
b)
q/p’e
CSL
h
1
NCL
Piano limite di trazione
g
p/p’e
Figura 11.31 - Rappresentazione assonometria (a) e normalizzata (b) della Superficie di Stato
 p' 
q
 g  h   ' 
'
pe
 pe 
(Eq. 11.66)
ovvero:
q  g  p 'e  h  p'
(Eq. 11.67)
Essendo, per definizione:
 Nv
p 'e  exp

  
(Eq. 11.68)
ed imponendo la condizione di appartenenza della CSL alla superficie di Hvorslev:
11 – 27
Capitolo 11
q  M  p'
(Eq. 11.69)
CSL
v      ln p'
si ottiene il valore della costante g:
 p' 
g  (M  h )   ' 
 pe 
e quindi l’espressione analitica della superficie di Hvorslev:
v
q  (M  h )  exp
  h  p'
  
(Eq. 11.71)
(Eq. 11.72)
Dall’Eq. (11.72) si desume che la resistenza al taglio di un’argilla sovra-consolidata satura è somma di due termini i quali, oltre ad essere funzione delle costanti materiali (, h,
, ) sono:
o il termine, h  p' , proporzionale alla pressione efficace media e corrispondente alla resistenza per attrito;
v
o il termine, M  h   exp
 , dipendente dal volume specifico (ovvero dall’indice
  
dei vuoti, ovvero dal contenuto in acqua) e corrispondente alla resistenza per coesione.
11.3 MODELLO CAM CLAY MODIFICATO (CCM)
11.3.1 Parete elastica (o Dominio elastico)
Si definisce parete elastica (o dominio elastico) nello spazio p’-q-v una superficie cilindrica avente come direttrice una linea di scarico-ricarico e come generatrice una retta parallela all'asse q, limitata dalla superficie di stato (Figura 11.32).
Un punto appartenente ad una parete elastica può muoversi liberamente su di essa provocando solo deformazioni elastiche.
Un punto appartenente ad una parete elastica può spostarsi su un'altra parete elastica solo
raggiungendo prima la superficie limite e muovendosi anche su di essa. Nel percorso sulla
superficie limite si producono deformazioni plastiche (Figura 11.33).
Alla luce di quanto detto, tenuto conto che il percorso tensionale efficace (ESP) di una
prova di compressione triassiale non drenata (TxCIU) si svolge interamente sul piano non
drenato (v = cost), nel caso di provino isotropicamente sovraconsolidato, il cui punto rappresentativo iniziale è quindi situato su una linea di scarico-ricarico appartenente ad una
parete elastica, la parte iniziale (elastica) del percorso è il segmento intersezione fra il
piano non drenato e la parete elastica (Figura 11.34).
11 – 28
Capitolo 11
q
q
CSL
CSL
p’
p’
C
B
Parete
elastica
B’
A
C’
URL
NCL
NCL
v
v
Figura 11.32 - Parete elastica
Figura 11.33 - Percorso da una parete elastica ad un’altra parete elastica
q
CSL
q
Piano non drenato
Piano drenato
CSL
C
p’
1
3
p’
B
B
C
A
Parete elastica
A
Parete elastica
NCL
URL
NCL
v
URL
v
Figura 11.34 - Percorso tensionale efficace in prova
TxCIU di un provino di argilla isotropicamente sovraconsolidato (AB = percorso elastico; BC = percorso elasto-plastico)
Figura 11.35 - Percorso tensionale efficace
in prova TxCID di un provino di argilla isotropicamente sovraconsolidato (AB = percorso elastico; BC = percorso elastoplastico)
11 – 29
Capitolo 11
Tale segmento nel piano p’-q è verticale, e quindi, non variando p’, non variano i parametri elastici (K, G) ed il comportamento è elastico lineare.
Analogamente, tenuto conto che il percorso tensionale efficace (ESP) di una prova di
compressione triassiale drenata (TxCID) si svolge interamente sul piano drenato
q
 3 ), nel caso di provino isotropicamente sovraconsolidato, il cui punto rappresenta(
p'
tivo iniziale è quindi situato su una linea di scarico-ricarico appartenente ad una parete
elastica, la parte iniziale (elastica) del percorso è il segmento intersezione fra il piano drenato e la parete elastica (Figura 11.35). Tale segmento nel piano p’-q ha pendenza 3:1, e
quindi, variando p’ variano i parametri elastici (K, G) ed il comportamento è elastico non
lineare.
11.3.2 Curva di plasticizzazione
q
A - Stato di tensione elastico
Nello spazio delle tensioni esiste una
B - Inizio della plasticizzazione
curva, detta di curva di plasticizzazione
C - Stato elasto-plastico
(yield curve), che separa gli stati di tenMc
sione che producono risposte elastiche
dagli stati di tensione che producono
Curva di plasticizzazione
espansa
risposte elasto-plastiche. Evidenze speV
C
rimentali indicano che per i terreni la
Curva di plasticizzazione
iniziale
B
forma della curva di plasticizzazione
A
nello spazio delle tensioni p’-q è approssimativamente ellittica.
p’
p’c/2
p’c
Nel modello CCM tale curva è rappresentata da un’ellisse F di equazione:
Figura 11.36 - Curva di plasticizzazione iniziale e sua
espansione in un percorso di carico per compressione
q2
(Eq. 11.72)
0
M2
L’asse maggiore dell’ellisse corrisponde alla pressione di preconsolidazione p’c, l’asse
p'
minore vale M  c (Figura 11.36), ovvero l’ellisse incontra la linea di stato critico CSL
2
nel suo vertice in corrispondenza del punto V (p’c/2; M p’c/2). La proiezione di tale punto
sul piano p’-v, come meglio mostrato nelle Figure 11.37 e 11.38, corrisponde
all’intersezione tra il ramo di carico-scarico relativo alla pressione di consolidazione p’c e
la linea CSL. Imponendo queste due condizioni si può ricavare la seguente relazione valida per i parametri dello stato critico secondo il modello CCM modificato:
(Eq. 11.73)
N =  + ( - ) ln(2)
F  p'  p'p 'c 
2
Considereremo nel seguito la curva di plasticizzazione per compressione, e quindi M =
Mc, ma analoghi concetti valgono anche per estensione, nel qual caso l’asse minore
dell’ellisse è più piccolo (essendo Me < Mc).
Se lo stato di tensione di un elemento di terreno è rappresentato da un punto interno alla
curva di plasticizzazione iniziale (ad es. punto A di Figura 11.36) la risposta del terreno è
elastica.
11 – 30
Capitolo 11
Se lo stato di tensione è rappresentato da un punto sulla curva di plasticizzazione iniziale
(ad es. punto B) ogni incremento di tensione che comporti un movimento verso l’esterno
della curva è accompagnato da deformazioni elasto-plastiche e da un’espansione della superficie di plasticizzazione cosicché il punto rappresentativo dello stato di tensione permane sulla curva di plasticizzazione (punto C). Se il percorso dal punto C si muove verso
l’interno vi saranno deformazioni elastiche, poiché la curva di plasticizzazione si è espansa e la regione elastica è divenuta più grande.
Alla luce dei concetti espressi sul percorso tensionale efficace di un provino di argilla isotropicamente sovraconsolidato (che è inizialmente elastico e che quindi nel tratto iniziale
si svolge sulla parete elastica associata alla pressione di preconsolidazione), nonché sulla
forma ellittica della curva di plasticizzazione, tali percorsi nelle prove di compressione
triassiale standard, secondo il modello Cam Clay Modificato (MCC), sono quelli schematicamente rappresentati nelle Figure 11.37, 11.38, 11.39 e 11.40.
Se il punto di intersezione tra il percorso tensionale efficace e la curva di plasticizzazione
iniziale ha ascissa maggiore di p’c/2 (ovvero è nella metà destra dell’ellisse) si ha, durante
la fase di compressione assiale, un’espansione dell’ellisse, se invece il punto di intersezione ha ascissa minore di p’c/2 (ovvero è nella metà sinistra dell’ellisse) si ha una contrazione dell’ellisse.
Con riferimento alla Figura 11.40, ovvero al comportamento previsto dal modello per una
compressione non drenata di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato, si
osserva che il percorso tensionale efficace fino al raggiungimento della curva di plasticizzazione, ovvero fino al valore di picco qf della tensione deviatorica è verticale (elasticolineare). Dunque sostituendo nell’equazione di F a p’ il valore di pressione media efficace
iniziale p’0 si ha:
p 
' 2
0
 p '0  p 'c 
q f2
0
M2
(Eq. 11.74)
e risolvendo per qf:
q f  M  p '0  R 0  1  2  c u
per R 0  2
(Eq. 11.75)
11.3.3 Il calcolo delle deformazioni
Le deformazioni volumetriche
L’incremento di deformazione volumetrica totale dv può in generale essere scomposto in
due parti: la prima elastica (reversibile) dve e la seconda plastica (irreversibile) dvp:
d v  d ev  d pv
(Eq. 11.76)
Consideriamo un provino di terreno isotropicamente consolidato in cella triassiale ad una
pressione efficace media p’c e quindi decompresso isotropicamente fino alla pressione
media efficace p’0, come rappresentato dal percorso tensionale ODA in Figura 11.41. Esso risulterà sovraconsolidato con rapporto di sovraconsolidazione isotropa:
p 'c
R0  '
p0
(Eq. 11.77)
11 – 31
Capitolo 11
b)
CSL
a) q
qf
q
F
F
qf
ESP
3
C
C 1
V
B
B
D
A
p’
E
c)
1
A
d)
v
v
NCL
CSL
A
V
A
B
D
B
C
C
E
F
vf
F
p’
p’c p’
p’0
f
1
Figura 11.37 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla
debolmente sovraconsolidato
b)
CSL
a) q
q
qf
TSP
F
qf
F
C
B
A
c)
u0
B
3
1
D
p’,p
E
C
1
A
d)
u
v
NCL
CSL
vA = vf
F
B
C A B
D
p’f p’ p’c
0
C
F
E
p’
A
1
Figura 11.38 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla
debolmente sovraconsolidato
11 – 32
Capitolo 11
b)
CSL
a) q
q
ESP
C
C
qf
qcs
F
B
B F
3
1
A
p’
D
1
A
c)
d)
v
v
NCL
CSL
F
A B
C
D
C
B
p’0
p’
p’c
p’c/2
1
A
F
Figura 11.39 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla
fortemente sovraconsolidato
a) q
b)
CSL
q
C
ESP
q
qcf s
C
A
c)
B
F
3
1
uf
B
F
uc s
C
B
F
TSP
p’,p
D
u0
1
A
d)
u
v
NCL
CSL
A C B
F
D
uc s
p’0
p’c /2
p’c
p’
A
uf
C
1
B
F
Figura 11.40 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla
fortemente sovraconsolidato.
11 – 33
Capitolo 11
La curva di plasticizzazione
iniziale è l’ellisse che ha per asse maggiore il segmento OD. Il
provino venga poi sottoposto a
compressione assiale drenata
(TxCID).
Il suo ESP inizia nel punto A ed
è rettilineo con pendenza 3:1.
Fino a quando il percorso tensionale non raggiunge il punto
B, e quindi è interno alla curva
di plasticizzazione iniziale, il
comportamento è elastico. Dal
punto B il terreno inizia ad avere deformazioni elasto-plastiche.
a)
q, s
d
p
p
CSL
F
B
d s
C
p
d v
ESP
3
A
O
v
p’0
NCL
1
D
E
p’, v
p’c
b)
CSL
A
D
B
Consideriamo l’incremento di
C
tensione corrispondente al tratto
E
F
BC dell’ESP. Esso produce
p’
un’espansione della superficie
di plasticizzazione come moFigura 11.41 - Determinazione delle deformazioni plastiche
strato nella Figura 11.41a.
La variazione (negativa) di volume specifico totale del provino per tale incremento di tensione vale, con riferimento alla
Figura 11.41b, vale:
v  ( v C  v B )  ( v C  v E )  ( v E  v D )  ( v D  v B )
(Eq. 11.78)
in cui
 p'
v C  v E    ln 'E
 pC



(Eq. 11.79)
 p'
v E  v D    ln D'
 pE



(Eq. 11.80)
 p'
v D  v B    ln 'B
 pD



(Eq. 11.81)
La pressione p’E è la pressione efficace media di consolidazione della superficie di plasticizzazione espansa. Per passare dall’incremento di volume specifico all’incremento di deformazione volumetrica si utilizza la relazione: v = - v/v0.
L’incremento di deformazione volumetrica elastica può essere calcolato con la relazione:
 ev 
p '
K'
(Eq. 11.82)
11 – 34
Capitolo 11
Poiché le costanti elastiche (modulo di deformazione cubica K’, modulo di Young, E’, e
modulo di taglio, G) non sono costanti ma proporzionali alla pressione media efficace p’,
il valore di K’ da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio di p’ nell’intervallo
p’, ed è dato dall’equazione:
K' 
p 'm  v 0

(Eq. 11.83)
La parte plastica dell’incremento di deformazione volumetrica si può infine ottenere per
differenza:
d pv  d v  d ev
(Eq. 11.84)
In condizioni non drenate, essendo zero la deformazione volumetrica totale, risulterà:
d ev  d pv
(Eq. 11.85)
Le deformazioni deviatoriche
Per determinare le deformazioni deviatoriche si fa l’ipotesi che, per un generico incremento di tensione (dp’, dq), l’incremento di deformazione plastica d p sia un vettore con
direzione normale alla curva del potenziale plastico, e che quest’ultima coincida con la
curva di plasticizzazione F (ipotesi di normalità – legge di flusso associata) (Figura
11.41).
Per determinare la direzione normale alla curva di plasticizzazione si differenzia
l’equazione della curva di plasticizzazione F (Eq. 11.72) rispetto alle variabili p’ e q:
dF  2  p'dp'p 'c  dp'2  q 
dq
0
M2
(Eq. 11.86)
da cui, si ricava la direzione tangente alla curva:


p '  2  p'  M 2
dq
 c
dp'
2q
(Eq. 11.87)
e quindi la direzione normale alla curva:

dp'
2q

dq
2  p' p 'c  M 2


(Eq. 11.88)
L’incremento di deformazione plastica totale d p ha due componenti: l’incremento di deformazione volumetrica plastica d pv – di cui abbiamo detto come calcolare il valore, e
l’incremento di deformazione deviatorica plastica d sp . Il rapporto fra la componente deviatorica e la componente volumetrica è la direzione del vettore incremento di deformazione plastica totale, ovvero la direzione normale alla curva di plasticizzazione, dunque:
dp' d Sp
2q

 p  2
dq d v M  2p' p 'c 
da cui
11 – 35
Capitolo 11
d sp 
2q
 d pv
'
M  2p' p c
2


(Eq. 11.89)
La componente elastica dell’incremento di deformazione deviatorica può essere calcolata
con la teoria dell’elasticità:
d se 
dq
3 G
(Eq. 11.90)
Per quanto già detto il valore di G da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio
di p’ ed è dato dall’equazione:
G
3  p 'm  v 0  (1  2  )
2    (1  )
(Eq. 11.91)
11 – 36

capitolo 11 stato critico e modello cam

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