Capitolo 6 - Matematicamente

Capitolo 6
3 PRoIEzIoNE oRToGoNALE SU UN PIANo..........
4 SIMMETRIA oRToGoNALE RISPETTOAD UN PIANO..
108
...............I IO
5 SImurrnrA oRTocoNALE RrspETToAD UNAR8TTA..........
tt2
6 Sruurrnrn
ll5
CENTRALI.
7 RorAZroNE ATTORNO
AD uN AssEFrsso...........
8 Esnnczr
.....................115
............1
17
108 cap. 6: lsometrienettos\azb. Aspettoanatitico
e matriciate
I Considerazioni
generali
Anche nello spazio si possonoconsiderare
delle trasformazioni genericheo delle
trasformazioniche conservanole distanze
e gli angoli (isometrie).
Per le isometrie,le definizioni datenel paragrafo
I del capitolo 3 e le considerazioni
generalisvolte nel paragrafo6 dello stesso
capitolo sonovalide anchenello spazio,con i
dovuti adattamenti.
Data la maggiorecomplessitàrispettoal piano,
si considererannoqui in modo particolare
delle situazionisemplici rispettoagli assidi
riferimento od ai piani di riferimento.
2 Traslazioninello spazio
(u'\
una traslazione
di vettoreo =l r, nello spazioèunaisometriadellospazio
in sèchefa
I
\r, )
corrispondere
al puntop(x,y, z) il puntop,(x,,y,, z) talecheFF = ú . L'ultima
uguaglianzav ettorialeimplica che:
:
f x ' =x * u ,
fx'-x u,
1r'-r: ît2e
lz'-z = u,
lr'l ( t
* .ll xl, \l
0 0
1 0 u' ll" I
l l zI
0 1 u"l,
=:::,'-l;,J=l;
l:,'
)
3 Proiezioneortogonalesu un piano
Una proiezioneortogonalesu un piano n è una trasformazione(non isometrica)
dello
spazio in sè che associaad un punto p dello spazio un punto p'
P,
del piano n talecheil vettore FF lrr, come risulta dalla
figura a lato.
Le considenzioni (e la dimostrazione)del paragrafo 5 del capitolo 4, sono sufficienti a far scrivere le equazioni analitiche
della trasformazione.Infatti, da un punto di vista analitico,se n: ax + by + cz + : g.
4
P(x,y,x) e P'(x',!', z),la condizion" pF In consentedi scrivere:
R.SANTORO.
Geometria
cap.6: lsometrieneilo spazio Aspetto anatitico
e matriciate
l . t
ax+by+cz
4u t-_ ^u ---j---:;----
a- +0'+c'
10g
r \
\b' + c' )x - aby - qcz _ ad
. a
a2+b' + c2
-aDx+\a' +c')y_bcz_bd
.,1_ ,, ax+ by + cz
) - ) ---r----;) -- , D, o anche:J
y'=
a- +b'+c"
a2+b' + c2
a
x
+
b
y
+
c
z
o t _ - ---i------ì-----acx - bcy +(a2 +
e
bt)z - cd
,, _
a'+b'+c'
t
I
a
1 \
a'*b1;,
relazioni che possonoriscriversi sotto forma
lr'l
| |
r
matriciale:
(b, + c'
l |
l y ' I = a , + b r + c r- ls' b
r,l
-or
\z )
[
_ab
_ac
ar+c,
_bc
-bc
a 2+ b 2
-qd ')ll x \ I
-bdllvl
_,d' ll,
\t I
)
La matrice M dellatrasformazioneè
,
M = -=----l
q' +b'*t'['
_ab
( b, +c,
-ab
q=+ c.
-qc
-bc
_qc
I
-bc
I
a ' + b 2)
Lo studenteverifichi che la matrice Mha determinantenullo:
d,etM:0. La circo stanza
non deve meravigliare se si pensaal fatto che, dato un punto p,
di n, esistonoinfiniti
punti P dello spazioche hanno comeproiezioneortogoìale
su n lo stessopunto p'.
Dunque, se dal sistemadi equazioni precedentisi voÉssero ricavare
le coórdinate x, y e z
del punto P, si troverebberoinfinite soluzioni (sistemaindetermin
ato:d,etM:0). Si puo
dire anche chela trasformazione non è invertibile e questo si traduce
profrio nét zuto "t "
la matriceMè singolare.
Nota:non è necessarioimpararea memoria le formule precedenti;è importante,
piuttosto,
che lo studentesappiarifare, casoper caso,le considerazionied icalcoli
che
conducono alla loro dimostrazione.
Casi particolari
1. Proiezione
ortogonale
rispettoal piano(O,f ,j):p(x, y, x) + p'(x,y, 0).
2. Proiezione
ortogonale
rispettoal piano(.O,í,É): p(x,y, x) > p,(x,0, z).
3. Proiezione
ortogonale
rispettoal piano(O,j ,E): p(x,y, x) = p,(0,y, z).
R.SANTORO:Geometria
110 Cap'6: rsometrieneilospazio. Aspetto
anatitico
e mat,ci,e
Esempio
scrivere le equazionidella proiezioneortogonale
rispettoal piano
n:x'yI2z:0.
Soluzione:
Anche se resta valida la Nota precedente,per
brevità, applicando
direttamentele formule ricavate in precedèn
za sihaó";;;o
conto
che,in questocaso,a : I, b : -I, g :2 e :
d 0\:
1 - - z1
x ,= - -5x * - V
6 6 " 3
,= à1 * * 5A Y *I t ,
!
, ,= - jl* * j 1y * r ,l
lx"\
( s
, oanche:
I u'l=ll r
l\ "z _)| , 6\l- 2
1
5
2
')(l
2
2
4 Simmetriaortogonalerispettoad un piano
Una simmetria ortogonale rispetto ad un piano n è
una trasformazioneisometrica dello
spazio in sè che associaad un punto p dello spazio un punto p,
dello spaziotale che:
l. la retta (PP') è ortogonalea n
2. il punto medio H del segmento
[pp'] appartienea n.
Le condizioni di cui sopra' sono sufficienti per dedurre le equazioni
analitiche di tale
trasformazione'
se n: ax + by + cz + d: 0,p1*y,*) ep'(x;y',2),allorasi può
scrivere:
lx'-x = )"a
I
-y = ),"b, (1) cheesprimonola condizione
l.;
|y'
=
?,"c
lz'-z
";
x'+x
z t+ ,
. v t+ v
* b;
* ";
+ d = 0 (2). cheesprimela condizione2.
Le (l) si possonoriscrivere:
Ix'+x=2x+]"a
j l' + l = 2y + tub= a(x' + t) + b(y' + y) + c(z'+ z) = o(2, + ),a) + b(2y + xb)+ "(2, + xc),
=
lz' +z 2z + ?,"c
e, sostituendonella (2), si ha:
a ( 2 x + ? , a ) + b ( 2 y + t " b ) + c ( 2 2 +2ld"=c 0
) +e f , = - z * \ b v . I t ' ! ^ d
*n
e,infine,sostituendo
nelle(1)il valoredatodalla(3)per,i**n!,
R.SANTORO:
Geometria
(3)
cap. 6: lsometrienettospazioAspettoanatitico
e matriciate1i1
I
ax+by+cz+d
x ' =x - 2
a
xt=
;1u15
zl-
-
t,
- a
r \
a' +b' + c'
ax+by+cz+d ,
h
- 2abx+(o' - b' + r')y -2bcz-2bd
y'=
u +<
a2 +b2 +c2
)
\-a- + b' + c' )x -2aby _2acz_2ad
(4)
a2 +b2 + c2
ax+by+cz+d
- 2acx-2bcy + (a' + b, rr)r - 2cd
?
a'+b'+c'
at +b2 +c2
Le (a) possonoriscriversi anchesotto forma matriciale:
fr'l
=
(a, -b, -c'
_r
zar
I 1' I a;F;al
\z )
|
2ab
2ac
-a' +b2- c2
2ac
2bc
-a, -b, +c,
2bc
:n[t)
La matricedellatrasformazione
è
M=
_r
;z *u1;l
2ab
2ac
-a' + b2- c,
2bc
(o'-b'-c2
zat
I
I
_et _b, +c,
\
)
e risulta detM: -1, il che significa che la simmetriaortogonale
è una isometriainversa.
2ac
2bc
Nota: non è necessarioimpararea memoriale formule (a) e (5) precedenti;
è imponante,
piuttosto,che lo studentesappiarifare, casoper caso,le cònsiderazioni
ed i calcoli
che conduconoalla loro dimostrazione.
Casi particolari
l.
Simmetriaortogonalerispettoal piano (O,i ,j):
fx'=x
l"'l (t o o)/x)
lz,=
\r,) [o
1 r .-z' = r , o al nr 'cl =h leooI: _o1)1,
l l, l
)
2. Simmetriaortogonalerispettoal piano (O,í,È),
x
lx,=
lr'l (t o ollrl
-l
l t ' = - t . o a n c h e : l r ' l =ol ol ,l l
lz,=z
\r,) l.0 0
1)lz)
3. Simmetriaortogonalerispettoal piano (O,j,E),
lx,=-x
lr'l (_r 0 Oyxl
lz,=z
\r')[o
] t ' = t . o a n cl rh' le=: lo r o llll
o t)lr)
R.SANTORO:
Geometria
112 cap.6. lsometrienetb spazio.Aspettoanatiticoe matriciate
Esempio
Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto piano
al
n:x+2y*2:9.
Soluzione:
Anche se restavalida la Nota precedente,applicando,per
brevità,
direttamentele formuleprecedenti(con a = l, b :2, c :
I ed: 0), si
ha subito:
*: a*-aY-i'
)
)-
1l
-i :ll[;l
,':-i,-+r-2,
.oanche:
|,;:'ì=
{:,
'l-;
1",') -; r')l:l
y+z
jz
,_= - :rx - r2
5 Simmetriaortogonalerispettoad una retta
Si chiamasimmetriaortogonalerispettoad una rettar,la trasformazioneisometrica
che
ad ogni punto P dello spazio,non appartenentead r,associail
punto P' dello spazio tale che il segmento
[pp'] ha larctta r
come assedi simmetrianel piano (p,r). Se il punto p appar_
tiene alla rettaÍ, allora il punto p' coincide con p: i punti
della retta / sono punti uniti.
Dal punto di vista analitico, sep(xy,z),p'(x,y',2') e la retta r è
definita dal vettore direttore ù =
@, ttz z, ) e dal punto
A(xsys,zs),applicandola definizioneprecedente,si ha che:
PP'I t = (x' -x)u, + (y' -y)u, * (2, -z)u, =
: xo+Xu,
lX
r:jY = yo+Xur,punto
medio
di [tl'] e r =
=
lZ zo+?vu,
(l)
x'+x
y'+v
2
= xol-?vu,
= "v^
(2)
w + 1,"u.
L
zt 1-z
2
"
Dalle (2) si ha:
=2xo+2?"u,
= - 2x+2xo+2?uu,
fx'+x
l*'-, = r' - y - 2y+2y,+2)"u, (3)
jl' +l = 2y,+2?,"u,
1
lz'+z = 2zo+2),"u,
lt'-t = 2z+2zo+2),"u,
R.SANTORO'.
Geometria
r
cap' 6: lsometrienettospeSg Aspettoanatiticoe matriciate
113
Sostituendo
le (3) nella(l), si ha ancora:
(-Zx +2xo+2)"u,)t,+ (-Zx +2!o +2),ur)t, + (_Zx+2zo+2),urltr:
0 =>
(t - *o)u,+(y - yo)u,+ (, - r)r, = L(ul + + rÒ
=
ú
^ _(*
- *)r, *(y - y)u , *(, - rr)u,
ul +ul +ul
(4)
E, infine,sostituendo
il valoredi 1.datodalla(4) nelle(3), si ha:
I
f,-t)u,+(y-yr)u,+(,-zo)u,
-x
I x ' = + 2 x n+ 2 \ ' '
|
@u'
lr'=
I
- , + 2 y o+ r ( ' - " ) ' ' * ( ! - Y - o )*"( ' - ' ) ' ,
Wu2=
| ,,- -, -+) z tr9-lr)",
-
tf
- 7 - - r r i
,_ ( "1
",
+(y - yo)u,+(, - ,o)u,
@^
- ul z ut,* ú) r o -2urury, -2uru.zo
ú )* *2 u ,u ry+2 u rur+2(
ul +uj +ul
,_ 2 u , urx+(-u l + u i - " i )y +2 u r ur -z2u,ur xo+ z( ui + ui) yo- 2ur ur zo
)
a
î
u i + u; +u;
^
^
/
t
r
r \
2u,urx+2urury
+ (-,r,'- uj + u1),-2u,urxo-2ururyo+2(ul + ul)ro
(5)
ul+u;+u;
Nota: non è per nulla necessario(!) ricordarea memoria le (5); è importante,nei casi
concreti,saperrifare il ragionamentoed i calcoli che conduconoalle (5), come
risulta anchedall'esempioalla fine del paragrafo.
Casi particolari
l. Simmetriaortogonalerispettoall'assex
Ponendo
n e l l e( 5 ) :u r : | , u 2 : 0 , u 3: 0 , x o : l o : z 0 : 0 , s i h a :
fx'=x
t
lr'l (t
t l t
0
0llxl
i ll
j t ' : - t o a n c h, 'el =: l1 0- l 0 l l , l
lz'=-z
l'') [o o -t)l')
R.SANTORO'.Geometria
114 cap.6. lsometrienettospazb. Aspetto
anatiticoe matriciate
2.
Ponendo
nelle(5): 0, u2: l, u3: 0, x0:
!0: Z0:0,
,urv rsi ha:
lx'=-x
l"'l (_r o oy;1""
o a n c hy e' l :=l l o I o , l
7r_,'=,
ll
lz':-z
1 , , )l o o - r ) \ , )
3.
Ponendo
nelle(5):ilt:O,u2: 0, il3: l, xo:
lo: z0:0, si ha:
o oY;1""
lx,=-x
l,'l
rt
o a n c,h' le=:llo - l r l l, l
7r.'=-,
lz'=z
Esempio
o r)1,)
lr)[o
scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto
^q
_u
_ a_z_r_o:n_e_x: - 1 = Ty=+t 2.
e
2
Soluzione:
alla rettar di
Laretta r passaper A(1, -2, 0) ed ha come vettoredirettore
ùQ. 3 1) Applicando il procedimentodescrittonel paragrafo(o,
direttamente,le (5)), lo studentetroverà facilmente le sesuenti
equazioni della trasformazione:
f,
3
6
2
22
lx=--.r+-V+-z+7
7' 7
|
7
1
6
2
3
1
6
1!: _x+-y+-z-7' 7
l- 7
ll
1 =, - X2 + - 3V - - z6+ - 4
lz
7
7' 7
7
|
Il determinantedella matrice M dellatrasformazionevale:
l
c
lt - - r
6
2 l
1 ir ll r
=t,
t)-6(-42)
+2(a)l=Y
: :/ lI'=/ +[r-rx-z
'r
"
343
t '7
t 6 r
detM=l:
t 7
|
t
t.t 3 6 1
-il
tl 7
i
dunque si tratta di una isometria diretta.
R.SANTORO:
Geometria
cap' 6: lsometrienettospazioAspettoanatitico
e matriciate 11s
6 Simmetrie centrali
una simmetriacentrale.dicentro cù(xsys,zs)è
una isometriadello spazioin sè che associa
ad ogni punto P(xy,z) il punto p'(x,y,g'),in
modo che f) è il punto medio del segmento
PP'].
La definizioneconsentedi scriveresubito che:
-x + x ' = * o
2
lx'=
-0,;
*[;,1=[;'
4=,, * ];:==-;:1r.;,
2
o _1
lz'=-z+2zo lr,) [.o
,ir,
"
1
L a m a t r i c et = [
:
0
- 1
0
inltl
0
0
- l
è la matricedella trasformazionee risulta d,etM: _1.
Caso particolare
Il centrodella simmetriaè 0(0,0,0). In questocasole equazioniprecedenti
si
scrivono:
f x ' =- x
t
t
/x'\ ( - l
t
l
0
- 1
(. 0
0
j t ' = - t o l r ' l =0l
l z'=
-z
\t' )
,,ll]
7 Rotazioneattornoad un asse fisso
La rotazionedi un angolo 0 nello spazio attorno ad una retta fissa r è una isometria che fa
corrisponderead un punto P un punto p' così
definito: condottoper P il piano n perpendicolarealla
rctta r e detto O il punto d'intersezionedi n con r, p'
il corrispondentedi P nella rotazione,definita nel
piano
n, di centroO e angolo0; I'angolop'Op :0 e
-d -----P'
OP': OP. I punti dell'asse,"sonopunti uniti.
Analogamentea quanto visto nel piano, si può dimostrare che la composizione,nello spazio, di due simmetrie ortogonoli rispetto a duepiani T 1 € îÍ2,la cui intersezionefornisce la retta r, è una
rotazione attorno alla retto r, con angolo doppio dell'angoloformato dai piani rE e Tr2.
1
Vale ancheil viceversa,nel senso cheogni rotazione di angolo 0 nello spazio rispetto ad
una retta r è sempre uguale al prodotto di due simmetrie ortogonali rispetto a duepiani
R.SANTORO:
Geometria
116 cap. 6: lsometrienettospazio.Aspettoanatiticoe matriciare
c,heformano un angolo uguale a 0/2 e la cui intersezione proprio
è
la rettar. La scelta
del primo piano è arbitraria
In questasedesi vedrannosolo i casi particolaridi rotazione
rispettoagli assi coordinati,
in quanto questi casi sono molto piu semplici da trattare
dal punto di vista matematico.
Casi particolari
l.
[ (assez).
Se P(xy,z) e p,(x,y,,2,),si ha subito che:
fx'=xcos0-ysin0
]!'= ,sin0 + ycos0
I
oppure:
l ' - o
lr'l
(cosO- sin0 oll" I
l r ' l = ls i n ec o s ool l, I
o t)1,)
l'')lo
Rotazione di un angolo 0 rispetto a 7-(assey).
Se P(xy,z) eP'(x'y',2'),si ha subito che:
xcosO+zsinO
lr'l' l If cosO 0 sineYxì
|y'=v
oppure:y,
tI l= | 0
lz'=-xsinO+zcos0
\r,) [-sinO
fx'=
|
; .":,j[;]
3. Rotazionedi un angolo0 rispettoa i (assex).
SeP(xy,z) eP'(x'y',2'),si ha subitoche:
x
lx':
l''l = (l
0
0 ll"l
c o s O- s l n e f l l l
. oppure:r'
I /'= lrcosO-zsinO
l | |o
lz'=x sin0+ zcos0
lr' ) [O sin0 coseJ[2./
R.SANTORO:
Geometria
cap.6: lsometrienertospazio Aspettoanaritico
e matriciate 112
8 Esercizi
E data larctazione R(È,30') attornoall'asse
z e dianglolo +30o.
a) Scriverela matrice e le equazionidella rotazione.
b) come si trasformanonelrarotazionei punti
A(2,- I ,3) e B( I ,2,-5)?verificare che
si tratta di una isometria.
c) Come si trasformanella rotazioneil piano
î: x + y + 2z_ 3 : 0? Calcolare
I'angolotra i piani îc e rE'(conispondente
di n nella rotazione).
Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale
rispetto allarettapassanteper
A( I ,- 1,3)ed aventecomevettoredirettoreil vettore
di componen
ti (1,2,_l).come
si trasforma,in questaisometria,il punto p(3,4,_l)?
3
scrivere le equazioni della proiezione ortogonalerispetto
alla retiapassanteper
A(1,-1,3)ed aventecomevettoredirettoreil vettoredi
componenti(1,2,-D. come
si trasformail punto P(3,4,-l)? verificare che la trasformazione
nrnè una
isometria.
4
Generalizzarela prima parte dell'esercizioprecedentenel caso
in cui la retta passi
per A(x6y6,zs)e abbiavettoredirettoredi componenti(u1,u2,u3).
scrivere le equazionidella proiezioneortogonalerispettoal piano + y: g.
x
Scriverele equazionidella simmetriaortogonalerispettoal piano x + y:0.
Scriverele equazionidella proiezioneortogonalerispettoal piano 2x + y - z:0.
8
Sonodati i piani Tl z: 0 e n2;x - y : 0.
a) Scriverele equazionidella simmetriaortogonaleo1 rispettoal piano n1.
b) Scriverele equazionidella simmetriaortogonaleo2 rispettoal piano n2.
c) scrivere le equazionidella trasformazionecompostà o2o o1. còsa rapplresenta?
Scriverele matrici delle seguentiisometrie:
a) Proiezioneortogonalesul pianox - y:0.
b) Rotazionedi l80o attornoallarettax r y : z:0.
l0
T 1,T2 e T3 sono isometriedello spazioin sè.T1 è una simmetriaortogonalerispetto
al piano z : 0; T2 è una rotazioneattornoall'assez di 90otale che I'assepositivo
delle x viene trasformatonell'assepositivo delley; T3 è una rotazionedi l g0"
l "v = x
attornoalla retta {
lz=0
a) scrivere le equazionidelle tre isometriee le matrici corrispondenti.
R.SANTORO:Geometria
118 cap. 6: lsometrieneilospazio.Aspettoanariticoe matriciate
b) Determinare le matrici delle trasformazionicomposte
T3T2 e T2T3 e
caratterizzare geometricamentel e trasform azioniri surtanti.
c) Come in b) per le isometrieprodotto T3T2TI e T1T2T3.
1l
Sono date le trasform azionidello spazio in sè T1 e T2 rappresentate
rispettivamente
dalle matrici:
t;
VJ
Mt=
0
t
0
I
;z
I
0
I
2
0
r;
t
lt
I
)
e Mr-
o
0
t
-vr
2
t
1
;
o
t'
)
,
0
1
2
a
J
a)Se'=
1
e ú=
[-i]
carcorare:
M, ù,u, (n xr)
[ ;']
b) CaratterizzaregeometricamenteT1 e T2.
c) CalcolareM1.M2 e M2.M1. Giustificareil risultato.
12
Proiezione parallela ad una retta r su un piano n.
Si definisce proiezione parallela ad una rettar su un piano n la trasformazione (non
isometrica!)dello spazioin sè che trasformail punto P dello spazionel punto p' in
modo tale che:
'
o
il vettore pF ria paralleloal vettoredirettore ù di r: FF:
un numero reale;
il punto P' appartengaal piano zt.
l" Í , essendol"
Applicando le due condizioni della definizioneprecedente,determinarele equazioni
della proiezioneparallelaalla rettar sul piano n, dove:
r : x = ! .,
^l =l-,
R.SANTORQ:
Geometria
en:2x-y+z-2:0.