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Dinamica dei fluidi - Universita` di Udine
Dinamica dei fluidi Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 1 Caratteristiche di un fluido In generale: FLUIDO à sostanza senza “forma” propria (assume la forma del recipiente che la contiene) à liquidoà volume limitato dalla superficie libera gas à diffusione nell’intero volume disponibile Un fluido puo’ essere: omogeneo à caratteristiche fisiche costanti per qualsiasi volume disomogeneoà caratteristiche fisiche non costanti Sangue Es. sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche Marina Cobal - Dipt.di Fisica omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico2 Universita' di Udine Portata di un fluido volume di liquido portata = intervallo di tempo Q= V/∆t m3/s SI cgs pratico m3/s cm3/s l/min V ∆t Portata del sangue: Es. 5 l/min = (5000 cm 3)/(60 s) = 83.33 cm 3/s Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 3 Moto in un condotto Tipo di moto: stazionario à portata costante nel tempo pulsatile à portata variabile in modo periodico Tipo di condotto: rigido à non cambia forma sotto qualunque forza deformabile à cambia forma sotto una forza à deformaz.elastica à deformaz.non elastica à arterie e vene ideale reale Tipo di fluido: à senza attriti (non viscoso) àMarina conCobal attriti (viscoso) - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 4 Flusso Laminare e Turbolento n Flusso laminare: n n n Gli elementi di fluido si muovono su traiettorie che non si intersecano L’ attrito nei flussi laminari e’ detto viscosita’ Flusso turbolento n n Traiettorie irregolari Si verifica in presenza di gradienti elevati (alte velocita’ o tubi piccoli) Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 5 Regime laminare Modello di liquido come lamine che scorrono le une sulle altre A → v2 δ → v1 Forza di attrito: si oppone al moto à FA ∝ - v → FA A → = – η Av δ v=v1-v 2 = velocita’ relativa tra lamine A = area lamine δ = distanza tra lamine - Dipt.di Fisica - di viscosita’ η Marina=Cobal coefficiente Universita' di Udine 6 Moto in regime laminare Condizione per il moto di un liquido: differenza di pressione π r4 (p – p ) Q= 1 2 8ηh La portata è direttamente proporzionale alla differenza di pressione asse del condotto → v Q p1 p1 > p2 h Q ∝ ∆p Q = ∆p/R La velocità è maggiore al centro del condotto (profilo parabolico) Il moto è Cobal silenzioso Marina - Dipt.di Fisica Universita' di Udine p2 r Resistenza meccanica di un condotto dipende da: raggio-lunghezza del tubo viscosità del liquido 7 Regime turbolento Quando la velocità del liquido supera una certa velocità critica, il modello laminare non funziona più: il moto si fa disordinato, si creano vortici. v>vc velocità critica La portata non è più direttamente proporzionale alla differenza di pressione Q ∝ ∆p Per ottenere la stessa portata serve una pressione decisamente maggiore! La velocità non ha più un profilo regolare Marina - Dipt.di Fisica Il moto è Cobal rumoroso Universita' di Udine 8 Moto dei fluidi: sintesi MOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO approx. iniziale REGIME LAMINARE v > vc - lamine e profilo velocità parabolico - Q ∝ ∆p - silenzioso (conservazione dell’energia) REGIME TURBOLENTO - vortici - Q ∝ ∆p dissipazione di energia per attrito) - rumoroso (alta Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 9 Fluidi Ideali Flusso laminare n Velocita’ in un qualsiasi punto costante. Non ci sono turbolenze n Non-viscoso n Non ci sono attriti tra gli strati di fluido nIncompressibile n La densita’ e’ la stessa dappertutto n Flusso non-rotazionale: non c’e’ un flusso a traiettoria circolare (quindi: flusso non turbolento) Marina Cobal - Dipt.di Fisica n Universita' di Udine 10 Linee di flusso Linea di flusso: traiettoria seguita da una particella nel condotto Il vettore velocita’ della particella e’ sempre tangente alla linea di flusso. Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 11 Sistema circolatorio - 1 POLMONI pressione media (nel tempo) VENA CAVA AORTA CUORE valvole ARTERIE VENE ARTERIOLE VENULE CAPILLARI Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine velocità media (nel tempo) AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA 12 Sistema circolatorio - 2 4 mmHg 100 mmHg CUORE AD VD 25 mmHg 5 litri/ min Circuito chiuso AS VS 8 mmHg 5 litri/ min POLMONI GRANDE CIRCOLO 10 mmHg 40 mmHg CAPILLARI Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine Portata costante (no immissioni, no fuoruscite) 13 Sistema circolatorio – 3 pressione media (nel tempo) velocità media (nel tempo) CUORE AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA deve sempre diminuire diminuisce poi aumenta velocità media pressione media (cm/s) (mmHg) 50÷40 100 100÷40 40÷10 10÷0.1 40÷25 <0.1 25÷12 12÷8 <0.3 8÷3 0.3÷5 5÷25 2 Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 14 Equazione di continuita’ - 1 Q = costante nel tempo in ogni sezione senza SORGENTI senza BUCHI MOTO STAZIONARIO v ∆t v'∆t S v v' Nello stesso intervallo di tempo ∆t: S' Sv∆t = S’v’∆t Q = V = S v ∆t = S v = costante ∆t ∆t Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 15 Equazione di continuita’ Si consideri un tubo di flusso: Fluido incomprimibile: in un piccolo intervallo di tempo ∆t, il volume di fluido che passa attraverso A1, A1v1∆t, e’ pari al volume di fluido che passa attraverso A2, A2v2 ∆t A1v1 = A2 v 2 O: Conservazione massa R = Av = costante R: flusso volumico [m3/s] Alta densita’ di linee di flusso (piccolo A) Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine Equazione di continuita’ Alta velocita’ del fluido (v) 16 Equazione di continuita’ - 2 Se il condotto si apre in piu’ diramazioni, bisogna considerare la superficie totale. A C B Q = 100 cm3/s S3 = 0.5 cm2 S2 = 1.25 cm2 S1 = 5 cm2 S1 = 5 cm2 v1 = 20 cm/s S2 = 1.25 cm2 v2 = 80 cm/s Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine S3 = 2.5 cm2 v3 = 40 cm/s 17 Velocita’ del sangue - 1 4 miliardi 160 140mila cm2 300 milioni 200 ARTERIE VENE ARTERIOLE VENULE 5000 4000 3000 2000 1000 S totale 4500+ 25 400 cm2 4000 60 CAPILLARI Paradossalmente, al contrario di quanto prevederebbe l’equazione di continuita’, la velocita’ e’ bassissima nei capillari perche’ il loro numero e’ altissimo! cm/s v 50 40 30 20 10 CAPILLARI VENE ARTERIE ARTERIOLE VENULE Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 5000 4000 3000 2000 1000 cm/s 50 40 30 20 10 18 Velocita’ del sangue - 2 Portata del sangue: Es. Q= 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s Es. Velocita’ del sangue nei vari distretti: AORTA (r=0.8 cm) ARTERIOLE CAPILLARI VENA CAVA (r=1.1 cm) S = π r2 ≈ 2 cm2 S ≈ 400 cm2 S ≈ 4000 cm2 S = π r2 ≈ 4 cm2 v = Q/S ≈ v = Q/S ≈ v = Q/S ≈ v = Q/S ≈ 40 cm/s 0.2 cm/s 0.02 cm/s 20 cm/s La bassissima velocita’ del sangue nei capillari (0.2 mm/s) permette gli scambi di sostanze (reazioni chimiche) necessari alla vita. Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 19 Equazione di Bernoulli 1 2 P + ρv + ρgy = costante 2 n Contenuto fisico: La somma della pressione, dell’energia cinetica per unita’ di volume e della energia potenziale per unita’ di volume ha lo stesso valore in tutti I punti di una linea di flusso. How can we derive this? Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 20 F = p ⋅ ∆A = Equazione di Bernoulli p ∆V ∆L ∆m = ρ∆V Considerate un elemento di massa ∆m = θ∆V che passa attraverso un tubo. Si applichi il principio di conservazione dell’energia del fluido ai punti 1 e 2 1 1 2 F1∆L1 + ∆mv1 + ∆mgh1 = F2 ∆L2 + ∆mv 22 + ∆mgh2 2 2 Lavoro Cinetico Potenziale 1 2 p + ρ v + ρ gh = constant 2 Equazione di Bernoulli A livello costante, Velocita’ piu’ alta Pressione piu’ bassa Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 21 Derivazione equazione Bernoulli Physical basis: Work-energy relation All together now: With We get: Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 22 Un esempio Si consideri una tanica di acqua che presenta un foro sul lato a distanza h dalla superficie. Si assuma che la tanica sia grande abbastanza che la superficie libera dell’ acqua risulti ferma. Le pressioni alla superficie ed al foro sono p0: 1 2 ρvh + ρgyh = ρgy s 2 vh = 2 g ( y s − y h ) = 2 gh p+ 1 2 ρv + ρgh = const. 2 E’ la stessa velocita’ di un oggetto che cade nel vuoto Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 23 Tre nuovi termini •Viscosita’ •Diffusione •Osmosi Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 24 Viscosita’ Av F=η d La viscosita’ si riferisce all’ attrito tra strati adiacenti di fluido nE’ richiesto un calo di pressione per forzare il passaggio dell’acqua attraverso I tubi (legge di Poiselle’s) nA velocita’ sufficientemente Marina Cobal - Dipt.di Fisica grandi si creano turbolenzeUniversita' di Udine n 25 Viscosita’ η coefficiente di viscosità → FA → Unita’ di misura cgs: poise = g/(s• cm) = – η Av δ La viscosita’ diminuisce al crescere della temperatura. Acqua Es. a 0o ηacqua = 0.0178 poise Sangue a 20o η acqua = 0.0100 poise Plasma à ηplasma = 1.5 η acqua Sangue con ematocrito (% eritrociti) 40% à ηsangue = 5 η Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine acqua 26 Diffusione n n n Le molecole si muovono dalle regioni a piu’ alta concentrazione alle regioni a bassa concentrazione. Massa C2 − C1 Legge di Fick: Rate di diffusione = Tempo = DA L D = coefficiente di diffusione Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 27 Osmosi n L’ Osmosi e’ il moto dell’acqua attraverso un setto, che invece impedisce il passaggio di altre specifich molecole, come per esempio sali etc… Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 28 Osmosi nPressione osmotica: spinge l’acqua (solvente) dal lato della membrana in cui vi sono più soluti (ioni/biomolecole) rispetto che acqua. L’osmosi di acqua non è “diffusione” ma “pressione” perché non dipende dalla concentrazione assoluta di acqua ma da quella dei soluti rispetto all’acqua Marina Cobal - Dipt.di Fisica Universita' di Udine 29
