Scheda di esercizi 11: basi ortogonali e matrice associata a un

Scheda di esercizi 11: basi ortogonali e matrice associata
a un prodotto scalare
(a) Applica il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt alle seguenti basi di V
(dotato di prodotto scalare canonico):
    

3
0
 0

 2 , 0 , 1 


2
4
−1
  
1
0


  
 1 , 1
 0   1



0
0
 
 
1
0
  1   −1
, ,
  1   1
1
−1
V = R3








V = R4
(b) Dato uno spazio metrico V e U = Span(u1 , . . . , un ) ⊂ V , dimostra che
w ⊥ u per ogni u ∈ U
⇐⇒
w ⊥ ui , per ogni i = 1, . . . , n.
Suggerimento: la freccia ⇒ è facile. Per dimostrare l’altra freccia devi utilizzare la
bilinearità del prodotto scalare
(c) Calcola equazioni cartesiane e parametriche del supplemento ortogonale U ⊥ nei seguenti
casi:
  

1
0










0
1
4




– U ⊆R ,
U = Span   , 
0
−1 





1
1



 x1

– U ⊆ R3 ,
U =  x2  ∈ R3 : x1 − x2 + x3 = 0


x3


x1
x
+
x
1
2
3
3
2
– U ⊆ R , U = ker(T ) dove T : R → R , T  x2  =
x1 + x2 + x3
x3
(d) Sia V = R3 [t] dotato del prodotto scalare standard, cioe’ tale che
ha0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 , b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 i = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
– Dopo aver verificato che i seguenti polinomi costituiscono una base di V , applica
ad essi (scegliendo l’ordine che preferisci) il procedimento di ortonormalizzazione di
Gram-Schmidt:
t + 1, t + t2 , 2 − t − t3 , t3
– Dato il sottospazio U = Span(t3 − 1, t + 2) di V , calcola equazioni cartesiane e
parametriche di U ⊥ .
– Scrivi una base ortonormale di U e una base ortonormale di U ⊥ .
0
Università Politecnica delle Marche, Corso di Geometria, docente Chiara Brambilla
(e) Dato

 
1
0
 0   1
  
U = Span 
 0  ,  −1
1
1


 ⊆ R4

– scrivi una base ortonormale di U ,
 
0
 2 

– Dato v0 = 
 2 , calcola PU (v0 ) = u0 , dove PU è la proiezione ortogonale sul
1
sottospazio U , (Suggerimento: usa la formula PU (v) = hv, u1 iu1 + hv, u2 iu2 )
– scrivi la matrice A associata alla proiezione ortogonale PU : R4 → R4 rispetto a una
base di R4 a tua scelta.
– verifica che Av0 è il vettore u0 che hai calcolato al punto 2.
– verifica che v0 − u0 ∈ U ⊥ .
 2 
5
 1 
5 
Soluzione: u0 = 
 −1 
5
3
5
(f) Per ciascuno dei prodotti scalari definiti negli esercizi (a), (b), (c), (d), (e) della scheda
10, scrivi la matrice S associata, rispetto a una base a tua scelta. Per ciascuna di esse,
– verifica la proprietà di simmetria
– studia la degenericità del prodotto scalare, calcolando il determinante della matrice.


1 2
2
2
 2 3
2
−2 

Soluzione del punto (d), rispetto alla base {1, t, t2 , t3 }: S = 
 2 2 −20 −76 
2 −2 −76 −260
(g) Data la forma bilineare simmetrica su R3
hv, wi = v1 w1 + 2v2 w2 + 3v3 w3 − 4v2 w3 − 4v3 w2 + v2 w1 + v1 w2
e la base di R3 :

   

1
3
−2 

B =  0 , 3 , 5  ,


−1
3
4
scrivi
– la matrice S che rappresenta h·, ·i rispetto alla base canonica C di R3 ,
– la matrice S 0 che rappresenta h·, ·i rispetto alla base B,
– la matrice B di cambiamento di base da C a B.
– Verifica infine che S 0 = B T SB, cioè che S e S 0 sono congruenti.