Domande. (1) - Didattica alla SNS

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Domande.
(1) Quante soluzioni ha l’equazione (z + i)7 = 3 + 2i in C?
(2) Qual’è l’estremo superiore dell’insieme {2−x : 0 < x < 1}?
(3) La funzione
(
0 se x 6= 0;
f (x) =
1 altrimenti
ha limite in 0? e in 1?
√
(4) Specificare il dominio e l’insieme di continuità di sin x.
(5) La successione
3n2
(−1)n + 4
5n + 2
ha limite?
Esercizi.
(1) Calcolare
√
sin2 x − log cos( 2x)
lim
x→0
x2
(2) Tracciare un grafico approssimato della funzione
f (x) = cos 1 + sin2 x
(non è necessario studiare la derivata seconda).
(3) Trovare il limite della successione definita per ricorrenza
xn+1 =
2
sin(xn )
3
x0 ∈ R.
(4) Sia f : (0, 1) → R continua, e supponiamo che vi siano successioni (xn ), (yn ) ⊂
(0, 1) infinitesime e tali che f (xn ) = 1 e f (yn ) = 0 per ogni n ∈ N. Dimostrare che
esiste una successione (zn ) ⊂ (0, 1) infinitesima tale che f (zn ) = 1/2 per ogni n ∈ N
(si usi il teorema del valor medio). Esiste (zn ) se si suppone solo che f (xn ) → 1 e
f (yn ) → 0?
Test di valutazione
Domande.
(1) È vero che f −1 (A\B) = f −1 (A)\f −1 (B)? Se non è vero, trovare un controesempio.
(2) È vero che f (A \ B) = f (A) \ f (B)? Se non è vero, trovare un controesempio.
(3) A ∪ B = R implica che sup A + sup B = +∞?
(4) L’equazione x3 = arctg(10x) ha soluzione in R?
(5) L’ordine di infinitesimo di x2 log x per x → 0+ è 2, 1, 3, o nessuno dei precedenti?
2
(6) La funzione x+ è derivabile in 0? È convessa in R?
(7) La funzione e−x+sin x è integrabile in senso improprio su [0, +∞)? E su (−∞, 0]?
Esercizi.
(1) Calcolare
1
x
x
lim
−
.
2
x→0 x
log(1 + x ) 1 − cos x
2
f (x) = ex
/(1−log |x|)
.
(3) Trovare tutte le soluzioni in campo complesso dell’equazione
z+1
z+2
3
=
z
z+1
3
.
(4) Calcolare
Z
lim+
y→0
y
1
1
p
dx.
x log2 x + arctgx
Test di valutazione
Domande.
√
√
(1) Quanti numeri razionali ci sono tra 2 e 3?
(2) La funzione
x2 + sin x
x2 + 1
ha limite per x → −∞?.
√
(3) La funzione [x] è integrabile su [0, 5]?
(4) La funzione χQ (x) ha limite per x → 0?
x)
(5) La funzione (1−cos
(posta uguale a 0 per x = 0) è derivabile in 0?
x
(6) Scrivere lo sviluppo di Taylor del quarto ordine della funzione
ex + sin x
nell’origine.
(7) La seguente formula definisce la proprietà di continuità?
∀x0 ∀∃δ : |x − x0 | < δ
⇒
|f (x) − f (x0 )| < Esercizi.
(1) Calcolare
Z
1
(sin x + cos x) log x dx
0
con un errore minore di 1/100.
(2) Date le funzioni
x
2
(x − 1) ,
1 − cos x
x
3/2
dire quale delle due tende a zero più rapidamente per x → 0+ .
(3) Dire se la seguente serie è convergente:
∞
X
cos nπ
√ .
(log n) n
n=2
(4) Studiare la seguente successione definita per ricorrenza (suggerimento: si distinguano i casi a < 1, a = 1, a > 1)
xn+1 = 1 − xn + x2n ,
x0 = a.
Compito di Analisi I, Telecomunicazioni (Ambrosio)
I appello sessione estiva, 7 Giugno 1993
Istruzioni: scrivere a stampatello e in modo leggibile nome e cognome sul foglio di
bella; a meno che non facciate in tempo a ricopiare, non è necessario allegare il foglio
di brutta. Cercate di risolvere almeno tre degli esercizi, giustificando il procedimento
seguito per arrivare alla soluzione.
Esercizi.
(1) Calcolare
1
Z
√
0
x
√ dx.
x+1+ x
(2) Trovare lo sviluppo di Taylor del quinto ordine in 0 della funzione
f (x) = sin(sin x).
f (x) = log
p
x2 + sin2 x
e dire quante soluzioni x ha l’equazione f (x) = 0.
(4) Sia (xn ) la successione definita per ricorrenza da
(x = a
0
xn+1 = sin xn − xn
con a ∈ R. Verificare che
(i) xn è una successione a segni alterni;
(ii) la successione yn = |xn | soddisfa la relazione
yn+1 = yn − sin yn .
(iii) Usando (ii), dimostrare che se |a| < π allora xn converge a zero per n → +∞.
(iv) (Facoltativo) Cosa avviene in generale?
Soluzioni del compito di Analisi I, Telecomunicazioni
I appello sessione estiva, 7 Giugno 1993
√
√
1. Moltiplicando numeratore e denominatore per 1 + x − x e poi facendo la
sostituzione (x + 1) = t2 otteniamo
Z
0
1
Z 1
√
√
2
3/2
x 1 + x − x dx = − +
x 1 + x dx
5
0
0
√
√
Z √2
4 2 1 2 2 1
2
2
2
2
− −
+
=− +2
(t − 1)t dt = − + 2
5
5
5
5
3
3
1
√
2
4 2
=− +
.
15
15
x
√
√ dx =
1+x+ x
Z
1
2. Si ha
sin y = y −
y3
y5
+
+ o(y 5 ),
6
120
quindi per y = sin x abbiamo
1
3
x3
x5
x3
x5
+
+ o(x5 ) − x −
+
+ o(x5 ) +
6
120
6
6
120
x3
x5
1
5
+
x−
+
+ o(x5 ) + o(sin5 x).
120
6
120
sin(sin x) = x −
Usando il fatto che o(sin5 x) = o(x5 ) ed eliminando le potenze di grado maggiore di
5 otteniamo
sin(sin x) = x −
x3
x5
x3
x5
x5
x3
x5
+
−
+
+
+ o(x5 ) = x −
+
+ o(x5 ).
6
120
6
12 120
3
10
3. La funzione è pari ed è uguale a (1/2) log(sin2 x + x2 ). È definita, continua ed
infinite volte derivabile in R \ {0}, tende a +∞ per x → ±∞ senza avere asintoti
obliqui, e tende a −∞ per x → 0. La derivata prima è
f 0 (x) =
2x + 2 sin x cos x
2x + sin 2x
=
2
x2 + sin x
x2 + sin2 x
quindi f è strettamente crescente per x > 0 e strettamente decrescente per x < 0.
Grazie al teorema del valor medio, f ha esattamente due zeri, uno positivo ed uno
negativo.
4. (i) Dato che sin x < x per tutti gli x > 0, e quindi sin x > x per tutti gli x < 0,
si ha che se xn > 0 allora xn+1 < 0, e se xn < 0 allora xn+1 > 0. Nel caso a = 0 la
successione è costantemente nulla.
(ii) Prendendo i moduli di ambo i membri abbiamo |xn+1 | = | sin xn − xn |. Dato che
(
sin xn − xn = − sin |xn | + |xn | se xn < 0
| sin xn − xn | =
xn − sin xn
otteniamo anche |xn+1 | = |xn | − sin |xn |.
se xn ≥ 0
(iii) Per induzione si verifica che yn ∈ [0, π) e yn+1 < yn . Infatti se yn ∈ [0, π) allora
yn+1 = yn − sin yn > 0 e inoltre
yn+1 = yn − sin yn < yn < π.
Detto L ∈ [0, π) il limite di yn , deve essere sin L = 0, quindi L = 0.
(iv) Detta yn (|a|) la successione con dato iniziale |a|, la periodicità del seno implica
che yn (|a| + 2kπ) = yn (|a|) + 2kπ. Quindi basta studiare il caso π ≤ |a| < 2π. Se
|a| = π allora yn = π per ogni n; se |a| > π allora si dimostra per induzione che
yn ∈ (π, 2π) e yn+1 > yn . Infatti se yn ∈ (π, 2π) allora yn+1 = yn − sin yn > yn > π.
Inoltre
2π > yn+1
⇔
2π − yn > − sin yn
⇔
2π − yn > sin 2π − sin yn
e l’ultima formula è vera (segue ad esempio dal teorema di Lagrange). Detto L ∈
(π, 2π] il limite di yn , deve essere sin L = 0, quindi L = 2π.
II appello sessione estiva, 24 Giugno 1993
Esercizi.
(1) (i) Usando un criterio di confronto, dimostrare che la funzione
f (x) =
x ln x
(1 + x2 )2
è integrabile in senso improprio su [1, +∞).
R +∞
(ii) Calcolare 1 f (x) dx.
(2) Data la funzione
| sin x|
x
determinarne il dominio, i punti di continuità e derivabilità, i punti di massimo e
minimo relativi, l’estremo superiore ed inferiore.
f (x) =
(3) Trovare tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione
z 4 (|z| − 1) = z̄ 3 .
(4) Calcolare, al variare di α ∈ R, il valore del limite
2
x1−cos x − xx
lim+
xα
x→0
/2
.
II appello sessione estiva, 24 Giugno 1993
1. (i) Per x grande si ha certamente log x ≤ x, quindi (riducendo anche il denominatore) f (x) ≤ x2 /x4 = x−2 che è integrabile in senso improprio su [1, +∞).
(ii) Con la sostituzione x2 = z ed integrando per parti si ottiene
Z
lim
y→+∞
y
Z
y2
log z
dz
4(1
+ z)2
1
y2 Z y2
1
− log z
= lim
+
dz
y→+∞
4(1 + z) 1
4z(1 + z)
1
y2
1
z
log 2
=
lim log
=
.
4 y→+∞
1+z 1
4
f (x) dx = lim
1
y→+∞
2. La funzione è definita in R \ {0} ed ivi continua. Il limite per x → 0± vale ±1,
quindi in 0 c’é una discontinuità a salto e dalla disuguaglianza |f (x)| ≤ 1 si deduce
inf f (R) = −1.
sup f (R) = 1,
La derivata prima di f esiste e vale
x cos xsegno(sin x) − | sin x|
x cos x − sin x
= segno(sin x)
x2
x2
per tutti gli x tali che sin x 6= 0; se sin x = 0, facendo il limite per y → x± di f 0 (y)
si trovano limiti diversi (±1/x), quindi il criterio di derivabilità garantisce che x è un
punto angoloso. Il punto x è inoltre di minimo relativo se x > 0 e di massimo relativo
se x < 0.
Sia ora I = [kπ, (k + 1)π] con k ∈ N e distinguiamo due casi:
(a) se k > 0, allora f si annulla agli estremi di I, è derivabile al suo interno, e la
derivata prima si annulla per x cos x = sin x. La funzione x cos x−sin x è strettamente
monotona in I (basta fare la derivata prima) ed ha valori discordi agli estremi di I,
quindi l’equazione x cos x − sin x ha soluzione unica. La soluzione dell’equazione è
quindi un punto di massimo relativo (assoluto in I) di f ;
(b) se k = 0, allora x cos x − sin x è strettamente decrescente in I, quindi, dato che
si annulla in 0, è < 0 per x > 0; dalla formula di f 0 ricaviamo che f è strettamente
decrescente in I.
Infine, dato che f è dispari, un simile comportamento si ha negli intervalli [−(k +
1)π, kπ] con k ∈ N.
3. Una soluzione
√ è z = 0. Per z 6= 0, passando ai moduli, si ottiene ρ(ρ − 1) = 1,
quindi ρ = (1 + 5)/2. Sostituendo nell’equazione, si ottiene
4
z = z̄
e moltiplicando per z 3
7
z =
31
√
+ 5
,
2
√ 7
1+ 5
.
2
Ci sono dunque altre 7 soluzioni del tipo
√
1+ 5
zi =
i
2
con i radici settime di 1.
4. Passando ai logaritmi, si vede che entrambe le forme indeterminate 00 convergono
ad 1, quindi il numeratore è infinitesimo. Si ha
2
x1−cos x − xx
/2
2
= e(1−cos x) log x − ex
/2 log x
2
= ex
/2 log x
2
e(1−cos x−x
/2) log x
−1 .
Il primo fattore tende a 1 mentre il secondo, essendo l’argomento dell’esponenziale
infinitesimo, è equivalente a (1 − cos x − x2 /2) log x. Basta quindi calcolare
lim
x→0+
(1 − cos x − x2 /2) log x
.
xα
Dato che (1 − cos x − x2 /2) è equivalente a −x4 /24, per il principio di sostituzione
basta calcolare
−x4 log x
lim
.
24xα
x→0+
Il limite sopra vale 0 per α < 4, +∞ per α ≥ 4.
III appello sessione estiva, 12 Luglio 1993
Esercizi.
(1) Dire se la seguente serie è convergente, divergente o indeterminata
∞
X
n2 + 1
log 2
.
n −n+1
n=1
(2) Tracciare il grafico della funzione f : [0, +∞) 7→ R definita da
f (x) = x1−x .
Dire inoltre se f è continua e derivabile in 0, e trovare il suo massimo ed il suo minimo.
(3) Calcolare
Z
1/2
cos x(1 − x) dx
0
con un errore minore di 1/500 (usare lo sviluppo di Taylor del coseno).
(4) Sia f : (−π/2, π/2) 7→ R data da f (x) = tanx + cos x.
(i) Dimostrare che f (−π/2, π/2) = R e che f è iniettiva.
√
(ii) Detta g = f −1 : R 7→ (−π/2, π/2), calcolare g 0 (1 + 2/2).
III appello sessione estiva, 12 Luglio 1993
1. Essendo n2 +1 > n2 −n+1, la serie è a termini positivi. L’argomento del logaritmo
tende a 1, quindi il termine generale della serie è infinitesimo, dello stesso ordine di
n2 + 1
n
−1= 2
2
n −n+1
n −n+1
che è equivalente a 1/n. Dal criterio di confronto asintotico si deduce che la serie
diverge.
2. f (x) = x/xx per x > 0; dato che
lim x log x
lim+ xx = lim+ ex log x = ex→0+
x→0
= e0 = 1,
x→0
si ha che f (x) → 0 = f (0) per x → 0+ , quindi f è continua in 0. Analogamente
f (x)/x = x−x → 1 per x → 0+ , quindi f è derivabile in 0 e f 0 (0) = 1. Per x > 0 si
ha
1
− 1 − log x ,
f 0 (x) = x1−x
x
0
quindi f (x) > 0 se e solo se 1/x > 1 + log x. Le funzioni 1/x e 1 + log x (una
decrescente, l’altra crescente) si incontrano solo per x = 1. Quindi f 0 (x) > 0 in [0, 1)
e f 0 (x) < 0 in (1, +∞). In particolare
max f = f (1) = 1,
min f = f (0) = 0.
3. Posto y = x(1 − x), y varia in [0, 1/4]. Indicando con Pn il polinomio di Taylor di
grado n del coseno si ha
|Rn (y)| = | cos y − Pn (y)| ≤
1
y n+1
≤ n+1
.
(n + 1)!
4
(n + 1)!
L’errore commesso sostituendo nell’integrale Pn (x(1 − x)) è minore di
Z 1/2
1
1
= 2n+3
.
|Rn (x(1 − x))| dx ≤
n+1 (n + 1)!
2
·
4
2
(n
+ 1)!
0
Per n = 2 l’errore è minore di 1/500. L’approssimazione cercata è
Z 1/2
Z 1/2
P2 (x(1 − x)) dx =
1 − x2 (1 − x)2 /2) dx = 59/120
0
0
4. Dato che f 0 (x) = 1 + tan2 x − sin x, si ha f 0 > 0. Infatti sin x < 1 in (−π/2, π/2).
Quindi f è strettamente monotona; poichè
lim
x→±π/2∓
f (x) = ±∞
√
si ha f (−π/2, π/2) = R. Infine, dato che g(1 + 2/2) = π/4 otteniamo
g 0 (1 +
√
2/2) =
1
1
2
√
√ .
=
=
f 0 (π/4)
2 − 2/2
4− 2
31 Gennaio 1994
Esercizi.
(1) Trovare le soluzioni z ∈ C dell’equazione
z 3 = z̄|z|(1 + 2i).
(2) Tracciare il grafico della funzione f definita da
f (x) =
e3x
x2 (1 + x)
specificando i massimi ed i minimi relativi. Calcolare inoltre l’estremo inferiore e
superiore di f nell’intervallo (0, 1).
(3) Trovare lo sviluppo di Taylor del terzo ordine della funzione
2
cos x(1 − x) − sin ex − 1
nell’origine.
(4) Trovare una primitiva della funzione
f (x) =
e dire se
Z
x2
5x + 7
+ 2x + 2
+∞
f (x) dx < +∞.
1
31 Gennaio 1994
1. Una soluzione è z = 0. Prendendo i moduli di ambo i membri si ottiene |z| =
Moltiplicando per z l’equazione si ottiene
z 4 = z̄z|z|(1 + 2i) = |z|3 (1 + 2i) = 25
√
5.
(1 + 2i)
√
.
5
Le altre soluzioni sono quindi
zi =
√
5 cos(θ + iπ/2), sin(θ + iπ/2)
con θ = arctg(2).
2. La funzione è definita per x 6= 0, 1, ha limite +∞ per x → 0 e x → +∞, ha limite
0 per x → −∞ e ha limite ±∞ per x → −1± . La funzione ha segno positivo per
x > −1 e negativo per x < −1; inoltre è continua e derivabile nel suo dominio. La
derivata prima è
x4 (1 + x)2 f 0 (x) = 3x2 (1 + x) − 2x(1 + x) − x2 = x(3x2 − 2).
p
p
I punti x = ± 2/3 sono di minimo relativo. L’inf di f in (0, 1) è f ( 2/3) e il sup è
+∞.
3. Si ha
x2 (1 − x)2
x2 (1 − x)2
+ o(x3 (1 − x)3 ) = 1 −
+ o(x3 )
cos x(1 − x) = 1 −
2
2
2
2
2
sin ex − 1 = ex − 1 + o((ex − 1)2 ) = x2 + o(x3 ) + o(x4 ),
quindi lo sviluppo è
1−
4. Si ha
f (x) =
3x2
+ x3 + o(x3 ).
2
5 2x + 2
2
+
2
2 x + 2x + 2 (x + 1)2 + 1
quindi
Z
f (x) dx =
5
log x2 + 2x + 2 + 2arctg(x + 1) + c.
2
Dato che f (x)/(1/x) tende a 5 per x → +∞ il criterio di confronto asintotico dà che
l’integrale è infinito. La cosa si può anche verificare osservando che
5
log x2 + 2x + 2 + 2arctg(x + 1) = +∞.
x→+∞ 2
lim
12 Aprile 1994
Esercizi.
(1) Calcolare
1
Z
sin2 t cos5 t dt.
0
(2) Tracciare il grafico della funzione f definita da
x
f (x) =
e x+1
x−1
specificando se ha massimi o minimi relativi. Posto f (−1) = 0, dire se f ha derivata
destra nel punto −1.
(3) Trovare a, b, c, d in modo che
(
(x + cos x)2
se x ≥ 0
ax3 + bx2 + cx + d
se x < 0
f (x) =
sia di classe C 3 su R.
(4) Dire se la serie
∞ X
sin2 ( 1 )
n
n=1
è convergente.
e
√1
n
−1
12 Aprile 1994
1. Si ha
cos5 t = cos t(1 − sin2 t)2 = cos t + cos t sin4 t − 2 cos t sin2 t
quindi
Z
1
sin2 t cos5 t dt =
0
sin3 t sin7 t
sin5 t 8 sin 1
+
−2
=
.
3
7
5
105
2. La funzione è definita per x 6= −1, 1. Non si annulla ed è positiva per x > 1 e
negativa altrimenti. I limiti sono:
lim f (x) =
x→±∞
e
=0
±∞
lim f (x) = ±∞
x→1±
lim f (x) = −∞
x→−1−
lim f (x) = 0.
x→−1+
Derivata prima:
2 0
(x − 1) f (x) = e
x
x+1
0
x
x+1
x
x
e
(x2 + x + 2).
(x − 1)
− e x+1 = −
(x + 1)2
x+1
La funzione è quindi sempre descrescente. Infine, si ha
lim f 0 (x) = 0
x→−1+
quindi f ha derivata destra nulla in x = −1.
3. La funzione (x + cos x)2 ed il polinomio P (x) = ax3 + bx2 + cx + d devono avere
le stesse derivate in 0, quindi P (x) deve essere il polinomio di Taylor di ordine 3 di
(x + cos x)2 nell’origine. Usando il fatto che cos x = 1 − x2 /2 + o(x3 ) si trova
P (x) = 1 + 2x − x3 .
4. Dato che sin t ∼ t per t che tende a zero il numeratore ha lo stesso carattere
di 1/n2 . Dato√che et − 1 ∼ t per t che tende a zero il denominatore ha lo stesso
carattere di 1/ n. Quindi il termine generale della serie è equivalente a n−3/2 , che è
convergente.
Compitino di Analisi II, Telecomunicazioni (A)
24 Marzo 1994
di brutta.
Esercizi.
1. Sia
Γ = (x, y, z) : y = x + z 2 , z = y + x2 .
(a) Γ è una curva regolare? Scrivere il piano normale e la retta tangente alla curva in
(0, 0, 0).
(b) Γ è compatta? (eliminare y dalle due equazioni)
(c) Calcolare il massimo ed il minimo di z su Γ.
2. Dire se
f (x, y) = x log y, y log x, x + y
è una parametrizzazione regolare nell’intorno di (1, 1). Scrivere il piano tangente alla
superficie parametrizzata da f in (0, 0, 2).
3. Sia
Γ = (x, y) : x5 + y cos y = 1 .
Verificare che Γ è grafico di una funzione y = φ(x) nell’intorno di (1, 0) e calcolare
φ00 (1).
4. Calcolare la somma della serie
∞
X
xn+1
.
n(n + 2)
n=1
5. Verificare che la funzione
∞
X
arctg(nx)
S(x) =
n2
n=1
è definita in R ed ivi continua, di classe C 1 in R \ {0}.
Compitino di Analisi II, Telecomunicazioni (B)
24 Marzo 1994
di brutta.
Esercizi.
1. Sia
p
p
Γ = (x, y, z) : |x| + |y| = 2, z = (x + y)2 .
(a) Verificare che Γ è una curva regolare fuori dai piani x = 0, y = 0 e scrivere il
piano normale e la retta tangente alla curva in (1, 1, 4).
(b) Γ è compatta?
(c) Calcolare il massimo ed il minimo di z su Γ.
2. Dire se
f (x, y) = x sin y, y sin x, x + y
è una parametrizzazione regolare nell’intorno di (1, 1). Scrivere il piano tangente alla
superficie parametrizzata da f in (sin 1, sin 1, 2).
3. Sia
Γ = (x, y) : x6 + yey = 1 .
Verificare che Γ è grafico di una funzione y = φ(x) nell’intorno di (1, 0) e calcolare
φ00 (1).
4. Calcolare la somma della serie
∞
X
xn−1
.
n(n + 1)
n=1
∞
X
log(1 + nx)
S(x) =
n2
n=1
è definita in [0, +∞) ed ivi continua, di classe C 1 in (0, +∞).
Compitino di Analisi II, Telecomunicazioni (A)
21 Maggio 1994
di brutta.
Esercizi.
1. Risolvere il problema di Cauchy
(
u0 = 3u + v
u(0) = v(0) = 1.
v 0 = 2u + v + sin t
2. Calcolare
Z
D
y
dxdydz
1 + x2
D = (x, y, z) : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 .
3. Sia
+∞
Z
F (t) =
0
√
√
xe−t x
dx.
1 + x2
1
Verificare che F ∈ C([0, +∞)) ∩ C ((0, +∞)).
4. Calcolare
Z
lim
n→+∞
0
+∞
√
n3
nx
dx.
+ x3
5. Dato il problema di Cauchy

t|y|(t)

 y 0 (t) = 1 + e
1 + y(t)


y(0) = 1
sia I = (a, b) l’intervallo massimale di esistenza. Usando il metodo di confronto
provare che
1) b < +∞ e stimare b;
2) −2 < a < −1.
Consegna compiti: Martedı̀ 24 Maggio, ore 15.00 presso l’Istituto di Matematiche Applicate al triennio.
Compitino di Analisi II, Telecomunicazioni (B)
21 Maggio 1994
di brutta.
Esercizi.
1. Risolvere il problema di Cauchy
(
u0 = u + 2v + cos t
u(0) = v(0) = 1.
v 0 = 3u + v
2. Calcolare
Z
D = (x, y, z) : 0 ≤ x ≤ z ≤ y ≤ 1 .
sin(x + y)dxdydz
D
3. Sia
Z
1
F (t) =
0
0
√
sin( tx)
√
dx.
x x
1
Verificare che F ∈ C ([0, +∞)) ∩ C ((0, +∞)).
4. Calcolare
Z
lim
n→+∞
1
+∞
log(1 + nx)
dx.
n2 x2
5. Dato il problema di Cauchy

ty 2 (t)

 y 0 (t) = 1 + e
1 + y(t)


y(0) = 1
sia I = (a, b) l’intervallo massimale di esistenza. Usando il metodo di confronto
provare che
1) b < +∞ e stimare b;
2) −2 < a < −1.
Compito di Analisi II, Telecomunicazioni
20 Giugno 1994
di brutta.
Esercizi.
1. Calcolare la soluzione del problema di Cauchy
 00
(
cos t
 y (t) + 3y 0 (t) + y(t) = h(t)
h(t) =

y(0) = 0, y 0 (0) = 1
1 − sin t
se t ≥ 0;
se t ≤ 0.
Quante volte è derivabile su R la soluzione?
2. Sviluppando in serie di Taylor la funzione integranda, esprimere il seguente integrale mediante una serie numerica (a due indici):
Z
2
ex
+y 4
dxdy
T = 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}.
T
È giustificato lo scambio dell’integrale con la serie?
3. Dato
Γ = x + 2y + z 2 = 1, x + y 2 + z = 1
dire se
a) Γ è chiuso;
b) Γ è una curva regolare;
c) Γ è compatto.
4. Calcolare
Z
xdy + z 2 dx + y 3 dz
γ(t) = (t3 , 2t2 , 3t) t ∈ [0, 1]
γ
e dire se la forma ω = xdy + z 2 dx + y 3 dz è esatta.
Consegna compiti: Sabato 25 Giugno, ore 15.00 presso l’Istituto di Matematiche Applicate al triennio.
Soluzioni compito Analisi II, (T) 20/6/94
1. La soluzione dell’omogenea à c1 eλ1 t + c2 eλ2 t con
√
−3 ± 5
λ1/2 =
.
2
Con il metodo dei coefficienti indeterminati si trovano soluzioni particolari alla destra
ed alla sinistra di 0, (sin t)/3 e 1 + (cos t)/3 rispettivamente. La soluzione è data da
 + λt
λ2 t
+ sin3 t
per t ≥ 0;
 c1 e 1 + c+
2e
y(t) =
 − λ1 t
t
λ2 t
c1 e + c−
+ 1 + cos
se t ≤ 0
2e
3
con le costanti c±
i soddisfacenti i sistemi
 +
 c1 + c+
2 = 0;

+
λ1 c+
1 + λ2 c2 =
 −
4
 c1 + c−
2 = −3;
2
3

−
λ1 c−
1 + λ2 c2 = 1.
La soluzione è C ∞ su R \ {0} perchè i coefficienti sono costanti e h ∈ C ∞ (R \ {0}).
In 0 la funzione h è solo continua quindi y è derivabile su R solo due volte.
2. Dato che
x2
e
∞
X
x2n
=
n!
n=0
abbiamo
2
ex
+y 4
=
y4
e
∞
X
y 4m
=
m!
m=0
∞
X
x2n y 4m
.
n!m!
n, m=0
Integrando abbiamo
Z
2n 4m
x y
Z 1 Z
dxdy =
T
y
2n 4m
x y
0
Z
=
0
1
y
dx dy
0
4m+2n+1
2n + 1
dy =
1
.
(4m + 2n + 2)(2n + 1)
Quindi l’integrale è dato da
∞
X
1
.
n!m!(4m
+
2n
+ 2)(2n + 1)
n, m=0
Lo scambio della serie con l’integrale è giustificato dal teorema della convergenza
monotona.
3. Γ è chiuso perchè intersezione di luoghi di zeri di funzioni continue. I minori della
matrice jacobiana di
(x, y, z) 7→ (x + 2y + z 2 , x + y 2 + z)
hanno tutti determinante nullo solo per y = 1 e z = 1/2. Dato che nessun punto di Γ
ha queste coordinate, per il teorema del Dini Γ è una curva regolare. La proiezione
di Γ sul piano yz è (eliminando x dalle due equazioni)
2y + z 2 − y 2 − z = 0
che è una iperbole, quindi un insieme illimitato. Ne segue che Γ non è limitato.
4. L’integrale vale
Z
1
t3 · 4t + 9t2 · 3t2 + 8t6 · 3) dt =
0
La forma non è esatta: ad esempio F1y 6= F2x .
4 27 24
+
+ .
5
5
7
Compito di Analisi II, Telecomunicazioni
11 Luglio 1994
di brutta.
Esercizi.
1. Determinare gli insiemi di convergenza puntuale ed uniforme della serie di funzioni
∞
X
log 1 + n2 x2
.
x4 + n3
n=1
2. Consideriamo il problema di Cauchy
y 00 (t) = cos y(t),
y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
a) cosa si può dire a priori sull’esistenza e l’unicità delle soluzioni? (Suggerimento:
ridursi ad un sistema)
b) verificare che l’unica soluzione del problema nell’intervallo [0, b) in cui y 0 (t) > 0 è
la funzione inversa di
Z z
1
√
H(z) =
ds.
2 sin s + 1
0
(Suggerimento: moltiplicare per y 0 ).
c) calcolare il limite di y(t) per t → b− .
3. Dire se esiste il limite
2
2
ex − ey
lim
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
ed eventualmente calcolarlo.
4. Calcolare il volume della regione interna sia al cono z 2 > x2 + y 2 che alla sfera
x2 + y 2 + z 2 < 1.
Consegna compiti: Mercoledı̀ 13 Luglio, ore 8.30 presso l’Istituto di Matematiche Applicate al triennio.
Soluzioni compito Analisi II, (T) 11/7/94
√
1. La funzione log(1 +√
t) va all’infinito più lentamente di t. Detta C una costante
tale che log(1 + t) ≤ C t per ogni t ≥ 0, abbiamo
log 1 + n2 x2
n|x|
≤C 4
≤ CM n−2
4
3
x +n
x + n3
per x ∈ [−M, M ]. Quindi la serie converge assolutamente in ogni intervallo limitato.
2. (a) Posto u1 = y e u2 = y 0 il problema si traduce nel sistema
 0
 u1 (t) = u2 (t)
u1 (0) = 0, u2 (0) = 1
 0
u2 (t) = cos(u1 (t))
cui è applicabile il teorema di Cauchy-Lipschitz. Quindi la soluzione esiste ed è unica.
(b) moltiplicando ambo i membri per y 0 otteniamo
(y 0 )2 0 0
= sin y(t)
2
quindi y 02 = 2 sin y √
+ c e le condizioni iniziali danno c = 1. Separando le variabili
nell’equazione y 0 = 2 sin y + 1 otteniamo
y(t)
Z
√
0
1
ds = t
2 sin s + 1
quindi y è l’inversa di H.
(c) Passando al limite nell’identità sopra si ottiene che y(t) → θ ove θ ∈ (π, 3π/2) è
l’angolo tale che sin θ = −1/2.
3. Abbiamo
2
ex = 1 + x2 + o(x2 ) = 1 + x2 + o(x2 + y 2 )
2
ey = 1 + y 2 + o(y 2 ) = 1 + y 2 + o(x2 + y 2 )
quindi
2
2
ex − ey
x2 − y 2
o(x2 + y 2 )
=
+
.
x2 + y 2
x2 + y 2
x2 + y 2
La funzione (x2 − y 2 )/(x2 + y 2 ) è omogenea di grado 0 e non costante, quindi non ha
limite in 0. Ne segue che il limite richiesto non esiste.
4. In coordinate sferiche l’intersezione del cono con la sfera è parametrizzata (per
z > 0) da
0 ≤ θ ≤ 2π,
0 ≤ φ ≤ π/4,
0 ≤ ρ ≤ 1.
Si ha quindi
Z
2π
Z
1
Z
V =2
0
0
0
π/4
√
4π
2
1−
.
ρ sin φ dφ dρ dθ =
3
2
2
Esercizi
1. Studiare le soluzioni dell’equazione differenziale y 0 = 2x sin y 2 al variare della
condizione iniziale.
2. Consideriamo la soluzione del problema di Cauchy

2
 y 0 (t) = exy − 1

y(0) = 0.
Verificare che
a) y(t) è definita in (−∞, c) con c < +∞;
b) y(t) → +∞ per t → −∞;
c) y(t)/t → −1 per t → −∞;
d) è possibile stimare c?
3. Calcolare la lunghezza della curva
et cos t, et sin t, e2t
0 ≤ t ≤ 1.
4. Calcolare
l’area della superficie z = xy interna al cilindro x2 + y 2 = 1 (soluzione:
√
2π/3(2 2 − 1)).
5. Calcolare l’area della porzione di sfera ρ = 4 esterna al paraboloide x2 +y 2 +z = 16
(soluzione: 8π).
6. Calcolare i seguenti limiti
Z
lim
n→+∞
0
+∞
Z 2
sin nx
dx
n2 + x2
lim
n→+∞
1
log x
1+
n
n
dx.
7. Trovare il dominio della funzione
+∞
Z
F (t) =
1
e−tx
dx
x2
e calcolarla.
Z
F (t) =
0
1
sin tx
dx
1 + x2
è di classe C ∞ in R. Fare lo sviluppo di Taylor al terzo ordine in 0 di F e derivando
due volte trovare trovare un’equazione differenziale soddisfatta da F .
1. Trovare la parte interna, la chiusura e il bordo dell’insieme
A = (x, y) ∈ R2 : 0 < x2 + y 2 ≤ 1 .
Verificare inoltre che la parte interna della chiusura di A differisce dalla parte interna
di A.
2. Verificare che ∂A = A \ A per ogni aperto A. Trovare un controesempio se A non
è aperto.
3. Verificare che l’applicazione I
Z
g 7→ Ig(t) =
0
t
g(s)
ds
1 + s2
è una contrazione in C([0, 1/2]).
4. L’insieme {x2 − y 2 sin x2 = 1} è chiuso in R2 ? è compatto ?
5. Dire se esiste
cos xy − 1
lim
(x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )α
al variare di α e calcolarlo.
6. Dire se la funzione
arctg(x2 + y 2 )
p
x2 + y 2
ha un prolungamento differenziabile in (0, 0).
7. Trovare lo sviluppo di Taylor al terzo ordine in (0, 0) di
f (x, y) =
x2
.
1 + sin2 y
8. Calcolare Dv Dw f (1, 1), con v = (1, −1), w = (−2, 1) e
f (x, y) = x2 exy .
9. Siano
f (u, v) = cos2 (uv), sin u, arctg(uv)
g(x, y, z) = (xz, yz).
Calcolare J(f ◦ g) nel punto (1, 1, 2).
10. Studiare la concavità e la convessità di
f (x, y, z) = xyez
nell’intorno di (1, 1, 2).
2
−x2 −y 2
1. Dire per quali valori di r l’insieme
Γr = (x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1, xyz = r
è non vuoto. Tra questi, determinare i valori di r tali che Γr è una curva regolare.
2. Trovare un vettore normale alla superficie
Γ = sin3 x + sin3 y + sin3 z = 0
nel punto (0, 1, −1) e unitario. Trovare anche una base ortonormale dello spazio
tangente nel punto.
3. Nel caso della superficie Γ dell’esercizio precedente, sia y = f (x, z) tale che Γ
coincide con il grafico di f in un intorno di (0, 1, −1). Calcolare ∇f (0, −1).
4. Sia
Γ = (x, y) : ey sin y − log x = 0 .
Verificare che Γ è localmente grafico nell’intorno di (1, 0) e dire se Γ è concava o
convessa nell’intorno del punto.
5. Calcolare i massimi ed i minimi di z 2 + (x + y)3 su
(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − y, x, y ≥ 0 .
6. Calcolare massimi e minimi della funzione
x2
sull’insieme
xy
+ y2
p
p
|x| + |y| = 1 .
7. Verificare che la funzione z 4 + 2x + 2y ha un unico punto di minimo vincolato in
(0, −1, −1) sull’insieme
Γ = (x, y, z) : sin2 z + x2 + y 2 = 2 .
Quanto vale l’estremo superiore di f su Γ?
8. Calcolare
S(x) =
∞
X
xn sin x
.
n+1
n=1
La funzione S è definita per x = −1? è continua?
9. Studiare la convergenza semplice ed uniforme della serie
∞
X
nxe−nx
.
1 + n2
n=1
10. La funzione
S(x) =
∞
X
e−nx
n3 + 1
n=1
è di classe C 1 in [0, +∞)?
11. Verificare che la serie
∞
X
(−1)n
log(n + x2 )
n=2
converge uniformemente ma non assolutamente su R.
12. Studiare la convergenza semplice ed uniforme delle successioni
cos2 x
fn (x) = n log 1 +
n
fn (x) = nsin x .
Esercizi
1. Studiare le soluzioni dell’equazione differenziale y 0 = 2x sin y 2 al variare della
condizione iniziale.
2. Consideriamo la soluzione del problema di Cauchy

2
 y 0 (t) = exy − 1

y(0) = 0.
Verificare che
a) y(t) è definita in (−∞, c) con c < +∞;
b) y(t) → +∞ per t → −∞;
c) y(t)/t → −1 per t → −∞;
d) è possibile stimare c?
3. Calcolare la lunghezza della curva
et cos t, et sin t, e2t
0 ≤ t ≤ 1.
4. Calcolare
l’area della superficie z = xy interna al cilindro x2 + y 2 = 1 (soluzione:
√
2π/3(2 2 − 1)).
5. Calcolare l’area della porzione di sfera ρ = 4 esterna al paraboloide x2 +y 2 +z = 16
(soluzione: 8π).
6. Calcolare i seguenti limiti
Z
lim
n→+∞
0
+∞
Z 2
sin nx
dx
n2 + x2
lim
n→+∞
1
log x
1+
n
n
dx.
7. Trovare il dominio della funzione
+∞
Z
F (t) =
1
e−tx
dx
x2
e calcolarla.
Z
F (t) =
0
1
sin tx
dx
1 + x2
è di classe C ∞ in R. Fare lo sviluppo di Taylor al terzo ordine in 0 di F e derivando
due volte trovare trovare un’equazione differenziale soddisfatta da F .

Domande. (1) - Didattica alla SNS

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