Prima prova scritta di Geometria 1, 6 febbraio 2017 1. Usando vettori

Prima prova scritta di Geometria 1, 6 febbraio 2017
1. Usando vettori e ortogonalità, dimostrare:
i) Le due diagonali di un rombo (parallelogramma equilaterale) sono ortogonali.
ii) Il teorema di Talete che l’angolo opposto al diametro di un triangolo iscritto in una
semicirconferenza è un angolo retto.
2. i) Dato un elemento ā 6= 0̄ in Zp , per un numero primo p, dimostrare che l’applicazione
φ : Zp → Zp , φ(x̄) = āx̄, è iniettiva.
ii) Concludere che ogni elemento ā 6= 0̄ in Zp ha un elemento inverso rispetto al prodotto.
3. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita n e f : V → V un endomorfismo anti-autoaggiunto, cioè
< v, f (w) >= − < f (v), w >,
per tutti v, w ∈ V . Dimostrare che:
i) ogni autovalore di f è in iR (un numero puramente immaginario o 0);
ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali;
iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V è anti-hermitiana (A = −t Ā);
iv) esiste una base ortonormale di autovettori di f .
4. i) Per la matrice simmetrica reale

2
A = 0
3

0 3
−1 0  ,
0 2
trovare una base ortonormale B di R3 di autovalori di A, e una matrice ortogonale S
tale che S −1 AS è una matrice diagonale.
ii) Applicare il cambiamento di coordinate x = Sy di R3 alla forma quadratica q(x) =
xAx = 2x21 − x22 + 2x23 + 6x1 x3 : qual’è la forma diagonale che si ottiene (”assi principali”)? In queste coordinate, fare un disegno qualitativo in R3 di Y = {y ∈ R3 : q(y) =
1} (indicando gli assi y1 , y2 e y3 ); qualè il nome geometrico di questo oggetto?
t
5. Data la matrice
λ
0
A=
0
0

a
λ
0
0
b
d
µ
0

c
e
,
f
µ
con λ 6= µ, quali condizioni devono soddifare i coefficienti a, . . . , f tale che A sia diagonalizzabile? Se A non è diagonalizzabile, qual’è la forma normale di Jordan di A (in
dipendenza dai coefficienti a, . . . , f ; giustificare la risposta).
6. i) Sia f : Rn → Rm un’applicazione lineare. Dimostrare che esiste una matrice m × n
reale A tale che f = L(A) : Rn → Rm (l’applicazione lineare associata alla matrice A).
ii) Sia A una matrice reale quadrata n × n. Se esiste una base ortonormale B di Rn di
autovettori di A, dimostrare che A è una matrice simmetrica.
Seconda prova scritta di Geometria 1, 20 febbraio 2017
1. Usando vettori e ortogonalità, dimostrare che le tre altezze di un triangolo si interseccano in un punto.
2. i) Dare la definizione della matrice MA
B (f ) = (aij ) di un’applicazione lineare f : V →
W , rispetto a basi A = (v1 , . . . , vn ) di V e B = (w1 , . . . , wm ) di W .
ii) Dimostrare che
MA
B : Hom(V, W ) → M(m × n, K)
è un isomorfismo (lineare, iniettivo e suriettivo), dove MA
B associa a un’applicazione
A
lineare f : V → W la sua matrice MB (f ) rispetto alle basi A di V e B di W .
3. i) Per la matrice simmetrica reale

0
√
2,
1

1 2
A =  2 √0
2
0
trovare una base ortonormale B di R3 di autovalori di A, e una matrice ortogonale S
tale che S −1 AS è una matrice diagonale (quale matrice diagonale?)
ii) Applicare il cambiamento
di coordinate x = Sy di R3 alla forma quadratica q(x) =
√
t
xAx = x21 +x23 +4x1 x2 +2 2x2 x3 : qual’è la forma diagonale che si ottiene,in coordinate
y1 , y2 , y3 (”assi principali”)? In queste coordinate, fare un disegno qualitativo in R3 di
Y = {y ∈ R3 : q(y) = 1} (indicando gli assi y1 , y2 e y3 ); qualè il nome geometrico di
questo oggetto?
4. Data la matrice
µ
0
A=
0
0

a
λ
0
0
b
d
λ
0

c
e
,
f
λ
con λ 6= µ, quali condizioni devono soddifare i coefficienti a, . . . , f tale che A sia diagonalizzabile? Se A non è diagonalizzabile, qual’è la forma normale di Jordan di A, in
dipendenza dai coefficienti a, . . . , f ? (giustificare la risposta)
5. Sia v1 , . . . , vn una base di V e v1∗ , . . . , vn∗ la base duale di V ∗ .
i) Dimostrare che, per ogni v ∈ V , v = v1∗ (v)v1 + . . . + vn∗ (v)vn .
ii) Dimostrare che, per ogni φ ∈ V ∗ , φ = φ(v1 )v1∗ + . . . + φ(vn )vn∗ .
6. i) Sia v1 , . . . , vn una base ortonormale di uno spazio unitario V ; dimostrare che, per
ogni v ∈ V , v =< v1 , v > v1 + . . . + < vn , v > vn .
ii) Sia w1 , . . . , wm una base ortonormale di un sottospazio W di V , e v ∈ V . Dare la
formula per la proiezione ortogonale ṽ ∈ W di v in W (in termini della base di W ), poi
dimostrare che v − ṽ è ortogonale a W .
iii) Dimostrare che V = W ⊕ W ⊥ .