Curriculum vitae et studiorum di Luca Biasco

Curriculum vitae et studiorum di Luca Biasco
Dati personali
Nato a Roma il 31/3/1975.
Residente in Via Oglio 3/G, Pomezia (RM).
E-mail: [email protected]
Titoli accademici
Laurea in Matematica, Università “Roma Tre” 18/2/1999,
Votazione: 110/110 e lode, Relatore: Prof. Luigi Chierchia
Dottorato di Ricerca in Matematica, S.I.S.S.A. (I.S.A.S.) Trieste, 23/10/2002,
Relatori: Prof. Antonio Ambrosetti, Prof. Massimiliano Berti
Posizioni universitarie
Ricercatore confermato in Analisi Matematica (settore scientifico disciplinare
MAT05) presso l’Università “Roma Tre”: vincitore del concorso in data
24/10/2002, presa di servizio in data 2/12/2002, conferma in ruolo nel maggio
2006 (a decorrere da dicembre 2005).
Professore universitario di seconda fascia SSD MAT/05, Università “Roma
Tre” dal 20 dicembre 2012.
Finanziamenti
Principal Investigator del Progetto di Internazionalizzazione “Equazioni alle
derivate parziali in fisica, geometria ed ingegneria” dell’Università “Roma
Tre”: 14000 EU
Membro dell’unità locale dell’Università “Roma Tre” del “PRIN-2009” “Critical Point Theory and Perturbative Methods for Nonlinear Differential Equations”
Periodi di ricerca all’estero
Université d’Avignon, invitato dal Prof. P. Bolle, Dicembre 2000,
Universitat de Barcelona, invitato dal Prof. C. Simó, Novembre 2002,
Universität Paderborn, invitato dal Prof. M. Dellnitz, Marzo-aprile 2009
Relatore di tesi di Dottorato in Matematica
L. Di Gregorio “Infinite dimensional hamiltonian systems and nonlinear wave
equation: periodic orbits with long minimal period” (correlatore con L.
Chierchia), Università “Roma Tre”.
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Organizzazione convegni
Membro del comitato scientifico della scuola dottorale “Nonlinear PDE’s
from Geometry and Physics”, Roma, settembre 2012
Membro del comitato organizzatore del convegno “New perspectives in nonlinear PDE’s”, Roma, settembre 2012
Attività di ricerca
Area di interesse scientifico: Analisi Nonlineare
Sistemi hamiltoniani
Stabilità ed instabilità: Teoria KAM, Teorema di Nekhoroshev, Diffusione di
Arnold. Soluzioni periodiche e quasi–periodiche. Applicazioni alla Meccanica
Celeste: problema degli n–corpi e problema spin/orbita.
Equazioni alle derivate parziali
Equazioni con struttura hamiltoniana: equazioni delle onde, di Schrödinger,
delle onde d’acqua. Soluzioni periodiche, quasi–periodiche ed almost–periodiche.
Teorema delle Funzioni Implicite di Nash–Moser.
Principali risultati ottenuti
• Tempo di diffusione ottimale per la diffusione di Arnol’d (in [3])
• Esistenza di tori KAM ellittici per il problema dei tre corpi (in [4])
• Nei sistemi hamiltoniani la chiusura dell’insieme delle orbite periodiche
contiene i tori KAM ellittici (in [5])
• Esistenza e regolarità di soluzioni periodiche per l’equazione delle onde
forzata con nonlinearità non monotone (in [9])
• Esistenza di orbite periodiche di tipo Birkhoff-Lewis per l’equazione
delle onde non lineare (in [13])
• Ramificazione di varietà di Cantor di soluzioni quasi–periodiche e dimostrazione di una congettura di Bourgain in sistemi hamiltoniani
infinito dimensionali con applicazione alle PDEs (in [14])
• Teoria KAM per l’equazione delle onde con derivate nella nonlinearità
(vedi [23],[24],[25])
2
Pubblicazioni
[1] Effective Hamiltonian for the D’Alembert Planetary model near spin/orbit
resonance, Celestial Mechanics & Dyn. Astronomy, 83, (2002) 223–237, in
collaborazione con L. Chierchia.
[2] On the stability of some properly-degenerate Hamiltonian systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems, series A, 9, n. 2, (2003) 233–262,
in collaborazione con L. Chierchia.
[3] Drift in phase space: a new variational mechanism with optimal diffusion
time, J. Math. Pures Appl. 82 (2003), no. 6, 613–664, in collaborazione con
M. Berti e P. Bolle.
[4] Elliptic two-dimensional invariant tori for the planetary spatial three-body
problem, Arch. Rat. Mech. Vol. 170 (2003), no. 2, 91-135 in collaborazione
con L. Chierchia ed E. Valdinoci.
[5] Periodic orbits close to elliptic tori and applications to the three body
problem, Annali Sc. Nor. Sup. di Pisa, Serie V, volume 3 (2004), 87-138 in
collaborazione con M. Berti ed E. Valdinoci.
[6] Exponential stability for the resonant D’Alembert model of Celestial Mechanics, Discrete and Continuous Dynamical Systems, series A, 12, n. 4,
(2005) 569–594, in collaborazione con Luigi Chierchia.
[7] Stability of nearly integrable, degenerate Hamiltonian systems with two
degrees of freedom, J. Nonlinear Sci. 16 (2006), no. 1, 79–107. in collaborazione con L. Chierchia e D. Treschev;
[8] N -dimensional invariant tori for the planar (N +1)-body problem, SIAM J.
Math. Anal. 37 (2006), no. 5, 1560–1588, in collaborazione con L. Chierchia
ed E. Valdinoci.
[9] Forced vibrations of wave equation with non-monotone forcing term,
Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 23 (2006), no. 4, 439–474,
in collaborazione con M. Berti.
[10] Time periodic solutions for the nonlinear wave equation with long minimal period, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 38, 4 (2006) 1090-1125,
in collaborazione con L. Di Gregorio.
[11] Periodic orbits accumulating onto elliptic tori for the (N +1)-body problem, Celestial Mech. Dynam. Astronom. 101 (2008), no. 4, 349–373, in
collaborazione con F. Coglitore.
3
[12] Low–order resonances in weakly dissipative spin–orbit models, J. Differential Equations 246 (2009), no. 11, 4345–4370, in collaborazione con L.
Chierchia.
[13] A Birkhoff–Lewis type theorem for the nonlinear wave equation, Arch.
Rat. Mech. Vol. 196 (2010), no. 1, 303–362, in collaborazione con L. Di
Gregorio.
[14] Branching of Cantor manifolds of elliptic tori and applications to PDEs,
Comm. Math. Phys, 305, 3, 741-796, (2011), in collaborazione con M. Berti.
[15] Analytic estimates and topological properties of the weak stability boundary, Celestial Mech. Dynam. Astronom. (2012), DOI: 10.1007/s10569-0129419-x. in collaborazione con J. Biggs e M. Ceccaroni.
[16] Optimal stability and instability results for a class of nearly integrable
Hamiltonian systems, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur.
Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 13, (2002) 77–84, in collaborazione con M.
Berti e P. Bolle.
[17] Nekhoroshev stability for D’Alembert problem of Celestial Mechanics,
Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat.
Appl. 13, (2002) 85–89, in collaborazione con L. Chierchia.
[18] Periodic solutions of nonlinear wave equations with nonmonotone forcing
term, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei,
Volume 16, Issue 2, 2005, pp. 117-124, in collaborazione con M. Berti.
[19] Perturbative series expansions: theoretical aspects and numerical investigations, Harmonic analysis and rational approximation, 233–261, Lecture Notes in Control and Inform. Sci., 327, Springer, Berlin, 2006, in
collaborazione con A. Celletti.
[20] Periodic solutions of Birkhoff–Lewis type for the nonlinear wave equation, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei,
Volume 17, Issue 1, 2006, pp. 25-33, in collaborazione con L. Di Gregorio.
[21] Periodic solutions of Birkhoff–Lewis type for the nonlinear wave equation, Discrete Contin. Dyn. Syst. 2007, Dynamical Systems and Differential
Equations. Proceedings of the 6th AIMS International Conference, suppl.,
102–109, in collaborazione con L. Di Gregorio.
[22] (Quasi)periodic solutions in (in)finite dimensional Hamiltonian Systems
with applications to Celestial Mechanics and wave equation, Port. Math. 65
(2008), no. 4, 431–445, in collaborazione con E. Valdinoci.
4
[23] KAM theory for the Hamiltonian derivative wave equation, Annales
Scientifiques de l’ENS, Volume 46, fascicule 2 (2013), in collaborazione con
M. Berti e M. Procesi.
[24] Existence and stability of quasi-periodic solutions for derivative wave
equations, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei
Mat. Appl., 24 (2013), 1-16, in collaborazione con M. Berti e M. Procesi.
[25] KAM theory for the reversible derivative wave equation, preprint 2012,
in collaborazione con M. Berti e M. Procesi.
Breve descrizione della ricerca
Mi sono occupato di Sistemi Hamiltoniani e di Equazioni alle Derivate Parziali,
utilizzando sia metodi perturbativi che variazionali.
Sistemi Hamiltoniani
Sistemi quasi–integrabili: stabilità (Teoria KAM e di Nekhoroshev) e instabilità (diffusione di Arnol’d). Soluzioni periodiche, quasi–periodiche, totalmente o esponenzialmente stabili, di diffusione.
Stabilità
Come sottolineato da H. Poincaré, uno dei maggiori problemi nello studio dei
Sistemi Dinamici è il problema della stabilità delle variabili d’azione nei sistemi Hamiltoniani quasi–integrabili. Il secolo scorso ha visto in questo campo
lo sviluppo di potenti e moderne tecniche di Teoria delle Perturbazioni. In
particolare la Teoria KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) sulla conservazione
dei tori invarianti ha permesso di ottenere risultati di stabilità totale (cioè
per tutti i tempi) per la maggior parte dei dati iniziali e addirittura per
tutti i dati iniziali in sistemi a due gradi di libertà (per ostruzione topologica). D’altro canto il Teorema di Nekhoroshev fornisce stabilità per tempi
esponenzialmente lunghi (nel parametro perturbativo) e per tutti i dati iniziali. Tutti questi risultati valgono sotto ipotesi di non degenerazione della
Hamiltoniana imperturbata. Purtroppo in molti casi, tratti per esempio dalla
Meccanica Celeste (problema degli n–corpi e di D’Alembert), la non degenerazione è drammaticamente violata, poichè la Hamiltoniana imperturbata
dipende solo da alcune variabili d’azione (sistemi “propriamente degeneri”).
• In [2] e [7] si mostrano dei risultati generali di stabilità totale per sistemi
propriamente degeneri a due gradi di libertà. In particolare si considera il
caso più difficile, che si verifica quando il “sistema intermedio” dipende esplicitamente dall’angolo coniugato all’azione non degenere. Le dimostrazioni
si basano su un’analisi di “blow up” vicino alle separatrici e su tecniche KAM.
5
• Il classico modello di D’Alembert per un pianeta ruotante, schiacciato ai
poli e orbitante, vicino ad una risonanza “spin/orbita”, intorno ad una stella
fissa, viene studiato in [1],[6] e [17]. Nonostante la forte degenerazione del
modello, si ottengo stime di stabilità esponenziale tramite tecniche di tipo
Nekhoroshev.
Esistenza di tori KAM ellittici per il problema dei tre corpi
Per il classico problema degli n corpi, tori KAM massimali (cioè di dimensione
massima) vennero trovati da Arnol’d nel 1963 nel caso planare e recentemente
nel caso spaziale da Fejoz (seguendo dei lavori manoscritti di Hermann) e
Chierchia-Pinzari. Tori non massimali iperbolici vennero trovati nel 1966 da
Jefferys e Moser (i quali, peraltro, dubitavano dell’esistenza dei tori ellittici
per questo problema data la sua degenerazione).
• In [4] mostriamo l’esistenza dei tori ellittici nel problema dei 3 corpi planetario spaziale (cioè una “stella e due “pianeti”, modellati da tre masse
puntiformi interagenti attraverso la forza di gravità in uno spazio tridimensionale). Si prova che, vicino alle soluzioni stabili date dai due pianeti che
girano attorno alla stella su ellissi kepleriane di piccola eccentricità e mutua inclinazione non nulla, il sistema ammette tori quasi–periodici ellittici
bidimensionali, allorquando le masse dei pianeti siano sufficientemente piccole rispetto a quella della stella e i semiassi maggiori delle ellissi kepleriane
osculanti appartengano ad un insieme di densità vicina ad uno.
• In [8] mostriamo un risultato analogo per il problema degli n–corpi planetario planare, analizzando per concretezza un modello per il sistema solare
esterno. La dimostrazione si basa su un calcolo esplicito degli autovalori della
dinamica secolare linearizzata.
Tempo di diffusione ottimale per la diffusione di Arnol’d
Il famoso problema della Diffusione di Arnol’d consiste nel mostrare l’esistenza di un’orbita lungo cui le variabili d’azione esibiscano una variazione di
ordine uno, dopo un tempo sufficientemente lungo (“tempo di diffusione”).
• In [3] (vedi anche [16]) si considera un sistema non isocrono “a–priori instabile” (rotatori non lineari accoppiati con un pendolo tramite una perturbazione piccola). Il metodo usato è variazionale e mostra l’esistenza dell’orbita di diffusione come minimo locale di un opportuno funzionale di azione.
La dimostrazione comporta un dettagliato studio delle risonanze, un nuovo argomento variazionale (migliorando sostanzialmente un noto risultato
di Bessi) e stime accurate sui tempi di ergodizzazione del toro (ritrovando
6
come corollari dei noti risultati di Bourgain–Golse–Wennberg). Tutto ciò
permette di ottenere il tempo di diffusione ottimale migliorando le stime
ottenute successivamente da Chierchia–Gallavotti, Bessi, Cresson, Marco,
Bolotin, etc.
Inoltre, a differenza dell’approccio standard (Arnold, Chierchia–Gallavotti,
etc.) il metodo usato non si basa sull’esistenza di “catene di tori di transizione” e non fa quindi uso della Teoria KAM; questo consente di trovare
orbite di diffusione che attraversino regioni più ampie dello spazio delle fasi
dove i tori KAM sono separati (“gaps problem”).
La prova che il tempo di diffusione ottenuto è il migliore possibile viene
raggiunta tramite un risultato di stabilità ottenuto con tecniche di tipo
Nekhoroshev.
Periodiche di tipo Birkoff-Lewis, Congettura di Poincaré.
Nei sistemi hamiltoniani la chiusura dell’insieme delle orbite periodiche contiene i tori KAM ellittici
Una famosa congettura di H. Poincaré sulle orbite periodiche recita: data
una qualunque soluzione di un sistema hamiltoniano “... on peut toujours
trouver une solution périodique (dont la période peut, il est vrai, être très
longue), telle que la différence entre les deux solutions soit aussi petite qu’on
le veut, pendant un temps aussi long qu’on le veut.” La congettura è stata
dimostrata vera solo “in senso generico” da Pugh e Robinson nel 1983. Ovviamente, per specifiche Hamiltoniane, essa è completamente aperta e molto
difficile da dimostrare. Un passo intermedio consiste nel provare l’esistenza
di orbite periodiche che si accumulano su varietà invarianti. Birkhoff e Lewis
mostrarono che questo è vero per i punti di equilibrio ellittici e per le orbite periodiche ellittiche; lo stesso fecero Conley e Zehnder per i tori KAM
massimali.
• In [5] viene mostrato un analogo risultato per i tori ellittici: sotto opportune ipotesi di non degenerazione sulla Hamiltoniana e non risonanza tra le
frequenze lineari e quelle normali, esistono infinite orbite periodiche di periodo crescente all’infinito che si accumulano sui tori KAM ellittici. Tale teorema viene dimostrato usando la forma normale di Birkhoff e una riduzione
variazionale di Lyapunov–Schmidt.
Sempre in [5] si mostra come questo risultato astratto possa essere applicato
al problema dei 3 corpi mostrando l’esistenza di infinite orbite periodiche che
si accumulano sui tori KAM ellittici trovati in [4].
7
• In [11] si dimostra un risultato analogo per i tori ellittici del problema
degli n corpi studiato in [8]. La verifica dell’ipotesi di non risonanza si basa
su proprietà fini delle funzioni analitiche coinvolte.
Altri risultati di Meccanica Celeste
• Un caso non hamiltoniano è studiato in [12]. Si considerano equazioni
differenziali con piccola nonlinearità e debole dissipazione, che descrivono un
modello per un satellite non ellissoidale ruotante attorno ad una stella fissa e
soggetto a deboli attriti mareali. Tramite una decomposizione di Lyapunov–
Schmidt e l’uso della teoria di Floquet si danno esplicite condizioni sulla
coesistenza di orbite periodiche e stime sui rispettivi bacini di attrazione.
• In [15] Nell’ambito del problema ristretto dei tre corpi, si da per la prima volta una descrizione analitica e topologica della regione nota come
“Weak Stability Boundary”, molto studiata numericamente e concretamente
utilizzata nelle missioni spaziali per le sue proprietà di “fuel saving”.
Equazioni alle derivate parziali
Equazione delle onde completamente risonante: soluzioni periodiche. Soluzioni di tipo Birkhoff–Lewis. Soluzioni quasi–periodiche di PDEs hamiltoniane.
Si consideri l’equazione delle onde unidimensionale non lineare con condizioni
di Dirichlet al bordo (“equazione della corda vibrante”). Metodi variazionali
sono stati efficacemente usati (da Rabinowitz, Brezis, Nirenberg, etc.) nella
ricerca di soluzioni periodiche nel tempo. Tali tecniche sono però limitate al
caso in cui il periodo sia un multiplo razionale della lunghezza della corda,
altrimenti ci si trova di fronte ad un problema di “piccoli divisori”, che non
può essere studiato con tali metodi.
Un punto di vista diverso e, in qualche senso, complementare consiste nel
trattare l’equazione delle onde (come pure l’equazione di Schrödinger, delle
verghe o delle onde d’acqua etc.) come un sistema hamiltoniano infinito
dimensionale. In quest’ottica Kuksin, Wayne, Craig, Bourgain, Pöschel,
etc. hanno esteso i classici metodi finito–dimensionali della Teoria KAM (o
del Teorema delle Funzioni Implicite di Nash–Moser), sviluppati propio per
trattare problemi con piccoli divisori, al fine di trovare soluzioni periodiche
e quasi-periodiche di PDE hamiltoniane.
Io ho usato entrambi questi metodi per ottenere risultati di esistenza e
regolarità di PDE hamiltoniane.
8
Esistenza e regolarità di soluzioni periodiche per l’equazione delle
onde forzata con nonlinearità non monotone
• In [9] (vedi anche [18]) vengono considerate equazioni delle onde non lineari completamente risonanti (in cui cioè l’equazione linerizzata possiede uno
spazio infinito dimensionale di soluzioni periodiche aventi il medesimo periodo) e periodicamente forzate nel tempo. Qui si considera il caso in cui il
periodo del termine forzante sia un multiplo razionale della lunghezza della
corda, entrando cosı̀ in risonanza con la frequenza propria del sistema lineare. La principale difficoltà consiste nel capire da quali orbite periodiche
del sistema lineare si diramino le soluzioni dell’equazione non lineare. Questo
richiede la soluzione di un’equazione di biforcazione infinito dimensionale con
un’intrinseca perdita di compattezza. Tale ostacolo è stato superato da Rabinowitz, De Simon–Torelli, Brezis–Nirenberg assumendo ipotesi di monotonia
sul termine forzante. Brezis e Nirenberg hanno dimostrato che nel caso strettamente monotono le soluzioni sono regolari, mentre nel caso di non stretta
monotonia si ottengono, in generale, solo soluzioni deboli. Nel caso non
monotono Willelm, Hofer e Coron hanno mostrato risultati di esistenza solo
per particolari termini forzanti (che permettono sostanzialmente di evitare il
problema di biforcazione infinito dimensionale).
In [9] si dimostrano risultati di esistenza e regolarità per un’ampia classe di
termini forzanti non monotoni. Ciò richiede un nuovo approccio: dopo una
riduzione variazionale di Lyapunov–Schmidt, si recupera compattezza mostrando opportune stime a priori sui minimi vincolati del funzionale di azione
ridotto. Infine la regolarità delle soluzione si prova con tecniche ispirate alla
teoria della regolarità ellittica.
Esistenza di orbite periodiche di tipo Birkhoff-Lewis per l’equazione
delle onde non lineare
• In [10],[13],[20] e [21] si estende il Teorema di Birkhoff–Lewis all’equazione
delle onde con “massa” e nonlinearità dispari: esistono infinite orbite periodiche di periodo minimo crescente all’infinito che si accumulano all’origine
che è un punto di equilibrio ellittico per il sistema hamiltoniano infinito–
dimensionale associato. I periodi appartengono ad un insieme di misura
(asintoticamente) piena.
L’equazione linearizzata possiede soluzioni periodiche, quasi–periodiche od
almost–periodiche a seconda che uno, n ≥ 2 o infiniti modi vengano eccitati. Le soluzioni periodiche note in letteratura si trovano come estensioni
infinito–dimensionali dei classici Teoremi del Centro di Lyapunov (Kuksin,
9
Wayne, Craig, Bourgain, Pöschel, Bambusi etc.) o, nel caso completamente
risonante, di Weinstein–Moser e Fadell–Rabinowitz (Berti–Bolle e Gentile–
Mastropietro–Procesi): sono le continuazioni nonlineari della soluzione periodica del sistema lineare costituita dall’oscillazione di un singolo modo.
Le soluzioni periodiche trovate in [10],[13],[20] e [21] sono di tipo nuovo: vengono costruite eccitando n ≥ 2 modi e quindi non biforcano da
una soluzione periodica del sistema lineare. Esse costituiscono dunque un
fenomeno puramente non lineare.
La dimostrazione procede nel modo seguente. Si mette il sistema in forma
semi–normale di Birkoff su (i primi) n modi, quindi si esegue una decomposizione di Lyapunov–Schmidt. Nel risolvere l’equazione di rango si incontrano
i piccoli divisori.
In [10] (vedi anche [20]) si impone una forte condizione di non risonanza sui
piccoli divisori che permette di risolvere, ma solo per un insieme di periodi
di misura nulla, l’equazione di rango col Teorema delle Funzioni Implicite
standard; l’equazione di nucleo (o di biforcazione) si risolve allora con gli
usuali metodi variazionali.
Per ottenere un insieme di misura (asintoticamente) piena di periodi bisogna
usare il Teorema delle Funzioni Implicite di Nash–Moser. Tuttavia, a causa
della procedura di excisione usata ad ogni passo dell’algoritmo iterativo, si
giunge a dover risolvere l’equazione di biforcazione su un’insieme di Cantor.
Questo problema è difficile (cfr. i recenti lavori di Berti–Bolle). In genere
esso viene risolto mostrando una qualche non degenerazione e trovando una
curva liscia di soluzioni che interseca l’insieme di Cantor in un insieme di
misura positiva.
In [13] (vedi anche [21]) si usa un nuovo metodo: usando la reversibilità
del sistema e cercando le soluzioni in opportuni sottospazi con simmetrie si
mostra che l’equazione di biforcazione ha sempre almeno una soluzione.
Come è noto, la parte difficile nell’applicare il Teorema delle Funzioni Implicite di Nash–Moser consiste nell’inversione dell’operatore linearizzato in
un intorno dell’origine.
Ramificazione di varietà di Cantor di soluzioni quasi–periodiche e
dimostrazione di una congettura di Bourgain in sistemi hamiltoniani infinito dimensionali con applicazione alle PDEs
In [14] si considerano sistemi hamiltoniani infinito dimensionali. Dato un
toro KAM ellittico, si dimostra l’esistenza di “varietà di Cantor” di tori (invarianti) ellittici -di ogni dimensione maggiore o uguale- che si accumulano su
10
detto toro. Inoltre, vicino ad un punto di equilibrio ellittico, mostriamo l’esistenza di varietà di Cantor di tori ellittici che sono “punti di ramificazione”
di altre varietà di Cantor di tori a dimensione più alta. Infine si fornisce
una risposta positiva ad una congettura di Bourgain provando l’esistenza
di tori KAM ellittici con frequenza tangenziale lungo una direzione fissata
diofantina.
Come applicazione mostriamo l’esistenza di un nuovo tipo di soluzioni quasiperiodiche nell’equazione delle onde non lineare unidimensionale. Le dimostrazioni si basano su forme normali e su un teorema KAM migliorato i cui vantaggi sono: un’esplicita caratterizzazione dell’insieme di Cantor
dei parametri, utile per le stime di misura, e condizioni più deboli sulla
perturbazione.
Teoria KAM per l’equazione delle onde con derivate nella nonlinearità
Sebbene la Teoria KAM per PDEs nonlineari (almeno in dimensione spaziale
1) sia ormai ben sviluppata, pochissimi risultati sono noti per le PDEs semilineari o quasi-lineari, ovvero con derivate nella nonlinearità, nonostante
queste ultime siano di grande importanza nelle applicazioni. In particolare
per l’equazione delle onde con derivate del primo ordine nella nonlinearità
esiste un unico risultato di Bourgain in cui si dimostra l’esistenza (ma non
la stabilità) di soluzioni periodiche.
Nei recenti preprint [23],[24] e [25] mostriamo l’esistenza e la stabilità di
soluzioni quasi-periodiche dell’equazione delle onde con derivate del primo
ordine nella nonlinearità. Per far questo abbiamo usato un nuovo metodo
per calcolare l’espansione asintotica delle frequenze.
Invited speaker
1. “Giornate di analisi non lineare”, S.I.S.S.A. Trieste, giugno 1999
2. “CELMEC III”, Roma, giugno 2001
3. “Stationary and evolution problems”, Grado, settembre 2002
4. “New connections between dynamical systems and PDEs”, American
Institute of Mathematics, Palo Alto, luglio 2003
5. “Analyse Harmonique et Approximation Rationnelle”, Porquerolles,
settembre 2003
11
6. “XVII Congresso dell’Unione Matematica Italiana”, Milano, settembre
2003
7. “6th AIMS International Conference (American Institute of Mathematical Sciences)”: Poitiers, giugno 2006
8. “Symmetry and Perturbation Theory”, Otranto giugno 2007
9. “From Dynamical Systems to Statistical Mechanics”, Marsiglia, febbraio 2008
10. “Hamiltonian PDEs Workshop”, Berder, luglio 2008
11. “Hamiltonian PDEs and variational methods”, Capri, settembre 2008
12. “Trent’anni di Analisi Matematica alla SISSA: il contributo degli ex
allievi”, Trieste, novembre 2008
13. “Workshop on Stability and Instability in Mechanical Systems: Applications and Numerical Tools”, Barcellona, dicembre 2008
14. “New connections between dynamical systems and Hamiltonian PDEs”,
Napoli, aprile 2009.
15. “Mini-Workshop on New connections between dynamical systems and
Hamiltonian PDEs”, Capri, 15-16 ottobre 2010.
16. “Variational and perturbative methods for nonlinear differential equations”, Venezia, 20-22 gennaio 2011.
17. “Conference on KAM and Cauchy theory for PDEs”, Ravello, 23-27
maggio 2011.
18. “XIX Congresso UMI”, Bologna, 12 settembre 2011.
19. “Hamiltonian PDE”, Anacapri, giugno 2012
Attività di referee
Communications in Mathematical Physics, Journal of Differential Equations,
Discrete and Continuous Dynamical Systems, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Proceedings of the Royal Society, Journal of Mathematical Physics, Inverse Problems.
12
Attività didattica
Insegamenti
Corso di Laurea in Matematica dell’Università “Roma Tre”:
• AM7 “Equazioni alle derivate parziali 1” nel secondo semestre dell’a.a.
2002-2003, nel primo semestre degli a.a. 2004-2005, 2007-2008, 20112012
• AC1 “Analisi complessa” nel secondo semestre degli a.a. 2003-2004 e
2004-2005,
• AM9 “Analisi funzionale nonlineare” nell’a.a. 2007-2008
• AM13 “Metodi locali in analisi funzionale non lineare” nel primo semestre
dell’a.a. 2009-2010
• AM550 “Problemi di piccoli divisori in infinite dimensioni” nel secondo
semestre dell’a.a. 2010-2011
• FM410 “Meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana” nel secondo semestre
dell’a.a. 2010-2011
Corso di Laurea in Fisica dell’Università “Roma Tre”:
• “Equazioni differenziali della Fisica” negli a.a. 2005-2006 e 2006-2007.
• “Analisi II” nel primo semestre dell’a.a. 2008-2009, 2009-2010, 20122013, 2013-2014.
Dottorato in Matematica dell’Università “Roma Tre”:
• mini-corso di dottorato su “Equazione delle onde d’acqua” nel secondo
semestre dell’a.a. 2003-2004.
• corso di dottorato “Problemi di piccoli divisori in infinite dimensioni”
nel secondo semestre dell’a.a. 2010-2011
Relatore di Tesi di Laurea Magistrale in Matematica
13
1. F. Coglitore “Periodic orbits close to elliptic tori for the (N + 1)-body
problem ”, Università “Roma Tre” (pubblicata in [11]).
2. A. Mignucci “Formal Birkhoff normal form for water waves problem
with infinite depth”, Università “Roma Tre”.
3. M. Ceccaroni “The Weak Stability Boundary”, Università “Roma Tre”
(pubblicata in [15]).
Attività di servizio
Membro della Commissione di Programmazione della Facoltà di SMFN
da ottobre 2011
Per il Consiglio del Collegio Didattico di Matematica, Università “Roma Tre”
ha ricoperto i seguenti ruoli:
1. Membro della Commissione Orientamento da febbraio 2003
2. Membro della Commissione Didattica da giugno 2004 a ottobre 2005
3. Membro dell’unità locale di “Roma Tre” per il Progetto Lauree Scientifiche a.a. 2005/2006 e 2006/2007
4. Membro della Commissione Internet Intranet da novembre 2005 a dicembre 2009
5. Membro della Commissione Nuovi Ordinamenti da gennaio 2007
6. Membro della Commissione di Programmazione del Dipartimento di
Matematica e Fisica dal 2013
Roma,
In fede
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