La precessione di Thomas

Università Degli Studi Di Genova
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Dipartimento di Matematica
Anno accademico 2008/2009
Tesi di Laurea
La precessione di Thomas
Candidato:
Giovanni Alberti
Relatore:
Correlatore:
Prof. Enrico Massa
Prof. Giacomo Caviglia
Certe volte mi domando perché sia stato
proprio io a elaborare la teoria della
relatività. La ragione, a parer mio, è
che normalmente un adulto non si ferma
mai a riettere sui problemi dello spazio
e del tempo. Queste sono cose a cui si
pensa da bambini. Io invece cominciai a
riettere sullo spazio e sul tempo solo
dopo essere diventato adulto. Con la
dierenza che studiai il problema più
a fondo di quanto possa fare un bambino.
(A. Einstein)
Ringraziamenti
In primo luogo vorrei ringraziare il mio relatore Prof. Enrico Massa per la sua completa
disponibilità e il tempo dedicatomi durante questi mesi di preparazione della tesi. La
sua costante presenza, i numerosi aiuti, le correzioni ai tanti errori e, soprattutto, la
sua grande attenzione al mio apprendimento e al mio interesse hanno reso questo lavoro
assai piacevole, utile e graticante.
Ringrazio
il
mio
correlatore
Prof.
Giacomo
Caviglia
per
l'interessamento
e
l'attenzione che ha posto al mio lavoro.
Un ringraziamento sentito va alla Professoressa Ada Aruo la quale, nonostante non
abbia partecipato direttamente alla stesura della tesi, ha sempre contribuito alla mia
preparazione durante questi tre anni di studi.
Grazie ai miei genitori e a mia sorella per il loro sostegno in questi anni e per i
primi fondamentali insegnamenti di matematica che non dimenticherò. Grazie a tutti
i miei amici, troppi per essere nominati, sempre disponibili per un bagno o una partita
a calcetto durante i momenti di pausa e, sorprendentemente, talvolta interessati a
sentirmi parlare di spazio e di tempo. In particolare non posso non ricordare i miei
coinquilini Filippo, Mauro e Pietro che hanno sempre sopportato i miei studi talvolta
intensi.
Impossibile elencare tutti i miei amici matematici di ogni anno a cui penso per i
consigli sulla tesi e, soprattutto, per le varie chiacchierate al quinto piano, il tempo
passato insieme durante la stesura e in questo triennio:
grazie veramente per aver
AT X)
reso così belli questi anni. Grazie ad Alessio, Paolo (la mia guida uciale di L
E
e Tommaso che hanno preparato la tesi insieme a me e coi quali mi sono confrontato
innite volte su qualsiasi problema.
In particolare, ringrazio Gessica per essermi stata sempre vicino, per avermi supportato durante lo svolgimento del lavoro, confortato nei diversi momenti in cui mi
sono demoralizzato e distratto nei periodi di svago.
iii
Indice
1 Introduzione
1
2 Preliminari
3
2.1
Spazi ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Il gruppo di Lorentz
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Spaziotempo di Minkowski
3.1
3.2
3.3
3.4
7
Generalità: struttura ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1.1
7
Struttura pseudo-euclidea
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2.1
Riferimenti inerziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2.2
Coordinate
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Operatori di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3.1
Ritardo degli orologi in movimento
. . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3.2
Concetti metrici spaziali
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3.3
Contrazione delle lunghezze
3.3.4
L'operatore j
3.3.5
Trasformazioni di Lorentz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3.6
Trasformazioni di Lorentz pure: espressione in coordinate . . . .
23
3.3.7
Concetto di non rotazione e trasformazioni pure . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Quadrivelocità e quadriaccelerazione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Moto senza rotazione
24
26
29
4.1
Trasporto senza rotazione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Trasporto di FermiWalker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.3
Il moto iperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.4
La precessione di Thomas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.5
La precessione dello spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Bibliograa
45
v
Capitolo 1
Introduzione
L. H. Thomas, sico inglese del XX secolo, nel 1926 pubblicò sulla rivista Nature un
articolo dal titolo The motion of the spinning electron in cui metteva in luce un
eetto di precessione relativo allo spin dell'elettrone in orbita intorno al nucleo.
Scrive Thomas:
I found that if you look at the change in the direction of the axis of a rotating
electron, there should be a very considerable relativistic eect, in fact, a factor
of two.
La ragione di questo fenomeno ha in eetti natura relativistica: cerchiamo di capire
quale dierenza sostanziale sussiste rispetto alla meccanica classica.
Il concetto di non rotazione, e conseguentemente quello di rotazione, si fonda sull'idea di parallelismo. Infatti la rotazione di un corpo è legata al comportamento dei
vettori ad esso solidali e, per denizione, un vettore
parallelo a
v(t).
v(t)
non ruota se
v(t + ∆ t)
è
In Fisica classica, grazie agli Assiomi di spazio e tempo assoluti, tale
denizione appare del tutto naturale e non presenta alcuna dicoltà.
La situazione muta profondamente in Relatività Speciale, in quanto la decomposizione dello spaziotempo in spazio + tempo dipende espressamente dal riferimento
inerziale in cui si opera. Pertanto, in presenza di moti accelerati, e quindi di riferimenti di quiete istantanea variabili nel tempo, occorre introdurre un nuovo criterio atto a
caratterizzare la non rotazione. Come vedremo, tale criterio è fondato su una speciale
legge di trasporto dei vettori lungo linee di universo, nota come legge di trasporto di
FermiWalker.
Come conseguenza di tutto ciò, Thomas e altri sici dell'epoca si trovarono davanti
a una sorpresa sperimentale. Secondo il criterio di FermiWalker, infatti, un corpo in
moto accelerato e intrinsecamente non ruotante appare in generale dotato di una velocità angolare non nulla nel giudizio di un generico osservatore inerziale. Questo aspetto
1
2
1. Introduzione
paradossale, che si aggiunge ai numerosi altri presenti nella teoria di Einstein, prende
il nome di precessione di Thomas.
L'esposizione di tale fenomeno sarà l'argomento
principale di questo lavoro.
Nel corso della discussione verranno considerati noti gli argomenti di base della
teoria della Relatività Speciale. Alcuni aspetti, particolarmente utili ai ni della discussione successiva saranno ripresi e ampliati nei primi due capitoli. In particolare sarà
presentata un'analisi dettagliata della struttura pseudo-euclidea dello spaziotempo di
Minkowski.
Per giungere ad una comprensione dell'eetto descritto da Thomas, sarà poi presentata una formulazione geometrica delle trasformazioni di Lorentz, basata sull'utilizzo
di operatori di proiezione e di riessione spaziotemporale. A illustrazione dell'ecacia
del metodo sarà presentata una rilettura dei classici fenomeni di ritardo degli orologi
e di contrazione delle lunghezze.
Inne, nella terza e ultima parte del lavoro, aronteremo il problema di come caratterizzare intrinsecamente la rotazione dei corpi. Come già detto, lo strumento principale di indagine sarà un particolare algoritmo di trasporto di campi vettoriali lungo
linee di universo, noto come il trasporto di FermiWalker.
Come prima applicazione del metodo illustreremo il concetto di moto iperbolico.
Dopodiché, passeremo allo studio della precessione di Thomas, evidenziandone
le caratteristiche cinematiche.
Discuteremo inne l'accoppiamento spinorbita per
un elettrone mobile in un campo elettrostatico assegnato. L'argomento presenta interesse nello studio del comportamento degli elettroni orbitali sotto l'eetto del campo
coulombiano prodotto dal nucleo atomico.
Capitolo 2
Preliminari
2.1
Spazi ani
Stabiliamo in primo luogo un risultato che permette di introdurre, in opportune ipotesi,
una struttura di spazio ane su una varietà dierenziabile.
Teorema
2.1.1.
o
n
∼
=
ϕ: M → R
k
Sia
M
uno
spazio
topologico
omeomorfo
a
Rk .
Sia
H =
una famiglia di omeomorsmi.
Si supponga che per ogni coppia
ϕ1 , ϕ2 ∈ H
la trasformazione
k
k
ϕ1 ◦ ϕ−1
2 : R → R
sia lineare (eventualmente disomogenea), ossia
∃ A ∈ Gl(R, k) , b ∈ Rk : ∀ x ∈ Rk (ϕ1 ◦ ϕ−1
2 )(x) = Ax + b.
Allora
M
(2.1)
possiede una struttura canonica di spazio ane, rispetto alla quale ciascun
sistema di coordinate nella classe
H
è un sistema di coordinate ani.
ϕ ∈ H, diciamo che una
−1
se f ◦ ϕ
: Rk → R è un
Dimostrazione. Scelto ad arbitrio un sistema di coordinate
f : M → R è polinomiale di grado 1 se e solo
polinomio di grado ≤ 1. In virtù della legge di trasformazione (2.1), la denizione non
dipende dalla scelta di ϕ, ed è quindi ben posta.
L'insieme V delle funzioni polinomiali di grado 1 su M è chiaramente uno spazio
vettoriale su R, in quanto per ogni α, β ∈ R, f, g ∈ V risulta
funzione
(αf + βg) ◦ ϕ−1 = α(f ◦ ϕ−1 ) + β(g ◦ ϕ−1 ).
Fissata
ϕ ∈ H,
per
i = 1, . . . , k
indichiamo con
3
e(i) ∈ V
i polinomi dati dalle
4
2. Preliminari
funzioni coordinate stesse, ossia soddisfacenti
polinomio costante
e(i) (p) = ϕi (p) ∀p ∈ M ,
V.
V?
e(0) ∈ V
il
e(0) (p) ≡ 1.
Da quanto detto segue elementarmente che
spazio
e con
e(i) i = 0, . . . , k
è una base per lo
Quest'ultimo è pertanto uno spazio vettoriale di dimensione
k + 1.
il corrispondente spazio duale. Proviamo che M può essere identicato con
?
un iperpiano ane in V . A tal ne, ad ogni p ∈ M associamo l'applicazione di
Sia
valutazione
vp
vp : V → R
vp (f ) := f (p) ∀ f ∈ V .
denita da
è un funzionale lineare su
Si verica facilmente che
V.
7→ vp determina pertanto un'applicazione ϑ : M → V ? . Sia
V ? duale della e(0) , . . . , e(n) precedentemente denita, ossia
= δji .
p ∈ M , esprimiamo vp in componenti nella forma vp = vp i e(i) . A tale
La corrispondenza p
(0)
e , . . . , e(k) la base di
(i)
soddisfacente e , e(j)
Per ogni
proposito osserviamo che, per denizione, risulta
vp i = vp , e(i) =
Al variare di
p
=
e(i) (p)
se
i=0
se
i = 1, . . . , k
⇒
vp = e
(0)
k
X
+
e(i) (p) e(i)
i=1
otteniamo in tal modo l'identicazione
(
Im ϑ
(
1
e(0) +
k
X
i=1
Ciò prova che Im
ϑ
e(i) (p)e(i)
) (
k
X
(0)
γi e(i)
p∈M = e +
i=1
costituisce un piano in
)
γi ∈ R
V?
non passante per l'origine, ossia uno
(1)
(k)
spazio ane, modellato sullo spazio vettoriale generato da e , . . . , e
.
Verichiamo inne che
ϑ
è iniettiva; ricordando la denizione delle
e(i)
risulta infatti:
p, q ∈ M, p 6= q =⇒ ∃ i = 1, . . . , k : e(i) (p) 6= e(i) (q) =⇒
=⇒ vp (e(i) ) 6= vq (e(i) ) =⇒ vp 6= vq
Raccogliendo i risultati concludiamo che c'è biiezione tra
assumono il ruolo di coordinate ani di Im
2.2
ϑ,
M
e Im
ϑ,
e che le
e(i) = ϕi
come si voleva.
Il gruppo di Lorentz
La descrizione delle trasformazioni di Lorentz ha la propria controparte algebrica nella
seguente
2.2 Il gruppo di Lorentz
Denizione 2.2.1.
5
Si dice gruppo di Lorentz
L=
L
il gruppo denito da:
Λ ∈ GL(4) t ΛηΛ = η , ove η =
L↑
In particolare, si dice gruppo di Lorentz ortocrono
L↑ =
Il sottogruppo
L↑
I 0
0 −1
il sottogruppo di
L
denito da:
Λ ∈ L Λ44 > 0
contiene la totalità delle matrici che descrivono il cambiamento di
coordinate fra sistemi di riferimento inerziali senza inversione del verso di scorrimento
del tempo. In ambito macroscopico, esso costituisce la base per lo studio della Relatività
Speciale.
Ricordiamo
inne
un
importante
risultato
riguardante
il
gruppo
di
Lorentz
ortocrono, detto il teorema di decomposizione polare :
Teorema 2.2.1.
Λ ∈ L↑ esistono un'unica matrice ortogonale R ∈ O(3)
C ∈ R3 soddisfacenti la relazione Λ = Ω(R) · ΛC , con
Per ogni
un unico vettore colonna
R 0
Ω(R) =
,
0 1

t
CC
I+

ΛC =
1+γ
C
Come si può vericare, la matrice
t

C
,
γ=
√
ed
1 + C tC .
γ
Ω descrive una rotazione spaziale.
La matrice
ΛC
rappresenta invece la cosiddetta trasformazione di Lorentz pura, che come vedremo,
sarà strettamente legata al concetto di non rotazione.
Capitolo 3
Spaziotempo di Minkowski
3.1
Sia
V4
Generalità: struttura ane
lo spazio-tempo inteso come la totalità degli eventi. Ogni osservatore inerziale,
riferendo il proprio tri-spazio a coordinate cartesiane ortogonali e scegliendo ad arbitrio
l'origine dell'ascissa temporale, instaura una corrispondenza biunivoca senza eccezioni
tra eventi e quaterne ordinate di numeri reali. Lo spazio-tempo V4 è quindi una varietà
4
dierenziabile, topologicamente omeomorfa a R , su cui esiste una classe privilegiata
di sistemi di coordinate globali, associati ad osservatori inerziali e legati l'un l'altro da
trasformazioni lineari disomogenee del tipo
x̄i = Λij xj + ai ,
Ricordiamo che, dette
x1 , . . . , x 4
Λ ∈ L , a ∈ R4
(3.1)
le coordinate associate ad un riferimento inerziale
I,
le prime tre rappresentano le coordinate cartesiane nel tri-spazio di
4
quarta è legata alla variabile temporale in I dalla relazione x = ct.
I,
mentre la
Stante la linearità delle trasformazioni, possiamo applicare il Teorema 2.1.1:
consente di assegnare a
V4
ciò
una struttura di spazio ane, modellato su uno spazio
vettoriale quadridimensionale
V4 .
Rispetto a tale struttura le coordinate associate ai
riferimenti inerziali nel modo sopra descritto risultano automaticamente coordinate
ani.
3.1.1
Struttura pseudo-euclidea
Introduciamo adesso una struttura pseudo-euclidea nello spazio modellatore di V4 . A
1
4
tal ne, scelto un riferimento inerziale I , e indicate con x , . . . , x le corrispondenti
7
8
3. Spaziotempo di Minkowski
coordinate spaziotemporali, consideriamo una base
o ∈ V4
e(1) , . . . , e(4)
in
V4
e un'origine
in modo che sussista la relazione
(x − o) = xi (x) e(i)
In tale ipotesi,
o, e(i)
∀ x ∈ V4
(3.2)
sarà detto un riferimento ane associato al riferimento
Per ogni coppia di vettori
a = ai e(i) , b = bi e(i) ∈ V4
deniamo poi il prodotto scalare
g(a, b) := ηij ai bj
Nota 3.1.1.
Siano
coordinate in
V4 .
I.
I, I 0
(3.3)
0 0
due sistemi di riferimento inerziali e o, e(i) , o , e(i) due
i
0i
riferimenti ani associati rispettivamente ad I e I', e x , x i corrispondenti sistemi di
In formule, ciò si traduce nelle relazioni:
(x − o0 ) = x0i (x)e0(i)
(x − o) = xi (x) e(i) ,
i
0
Supposto che il legame fra le basi sia espresso dalla relazione e(j) = e(i) B j , cerchii
0i
amo di stabilire la legge di trasformazione fra le coordinate x , x . A tale proposito, in0
dicato con x un generico elemento in V4 e posto a = (o−o ), osserviamo che sussistono
le relazioni:
(x − o) = (x − o0 ) + (o0 − o) = x0i (x) e0(i) − a
(x − o) = xj (x) e(j) = B ij xj (x) e0(i)
Omettendo l'argomento
x
e passando in componenti, deduciamo
x0i = B i j xj + ai
(3.4)
Abbiamo così stabilito il legame fra legge di trasformazione dei riferimenti ani e
legge di trasformazione delle coordinate. In particolare, anché l'eq. (3.4) rappresenti
↑
una trasformazione di Lorentz occorre e basta richiedere B = Λ ∈ L .
Verichiamo adesso che la denizione (3.3) non dipende dalla scelta del riferimento
0
0
inerziale: detto I un secondo riferimento inerziale, e indicata con g la corrispondente metrica per ogni coppia di vettori
a, b ∈ V4
sono infatti simultaneamente vere le
relazioni
a = ai e(i) = a0i e0(i) ,
b = bi e(i) = b0i e0(i)
3.2 Sistemi di riferimento
con
e(i) = e0(j) Λji , Λ ∈ L↑ .
9
Pertanto, con riferimento alla denizione (3.3), ricaviamo
g 0 (a, b) = ηij a0i b0j = ηij Λip Λjq ap bq = ηpq ap bq = g(a, b)
Abbiamo così ottenuto l'indipendenza cercata.
Nel seguito, il prodotto scalare (3.3) sarà indicato più brevemente con
varietà
3.2
V4 ,
(a, b).
La
dotata di tale prodotto scalare, sarà detta lo spazio-tempo di Minkowski.
Sistemi di riferimento
Finora abbiamo tacitamente confuso l'idea di sistema di riferimento con quella di sistema di coordinate in
V4 .
In realtà, questa identicazione è inutilmente riduttiva, in
quanto un dato osservatore può scegliere le coordinate cartesiane nel proprio tri-spazio
e l'origine dei tempi in inniti modi diversi: in quest'ordine di idee, due sistemi di
1
4
1
4
coordinate x , . . . , x , x̄ , . . . , x̄ legati da una trasformazione del tipo
(
x̄α = Rαβ xβ + aα
(3.5)
x̄4 = x4 + a4
(R
∈ O(3))
corrispondono a tutti gli eetti allo stesso osservatore.
Cerchiamo di mettere a fuoco questo punto. In linea di principio, nel concetto di
sistema di riferimento vorremmo codicare l'idea di una triplice innità di osservatori
V3 , ciascuno munito di un proprio
orologio ideale. L'evoluzione di ciascun punto ξ ∈ V3 è descritta in V4 da una corrispondente linea di universo. L'evoluzione dell'intero spazio V3 ossia, in senso
puntiformi, costituenti lo spazio di riferimento
gurato, l'evoluzione del sistema di riferimento è quindi descritta da una famiglia
Γ
di linee di universo, detta una congruenza, in modo che
Reciprocamente, se riguardiamo la congruenza
ricostruire lo spazio di riferimento
ciò si realizza introducendo in
a∼b
In tal modo, lo spazio
V3
V4
V3
Γ
∀ p ∈ V4 ∃ ! γ ∈ Γ : p ∈ γ.
come oggetto primitivo, possiamo
come l'insieme delle curve di
Γ.
Formalmente,
la relazione di equivalenza
⇐⇒
∃ γ ∈ Γ : a, b ∈ Γ
viene ad essere identicato con lo spazio quoziente
(3.6)
V4 / ∼,
i cui punti sono infatti, per denizione, le classi di equivalenza rispetto alla relazione
(3.6), ossia le linee di
Γ.
10
3. Spaziotempo di Minkowski
3.2.1
Riferimenti inerziali
Vediamo adesso come caratterizzare i riferimenti inerziali in ambito spaziotemporale.
i
A tale proposito, riprendendo quanto visto nel Capitolo 2, indichiamo con x un sistema
rispetto a
V4
associate ad un riferimento inerziale I . Ogni punto in quiete
α
4
avrà una linea di universo descritta da x = cost, x = var. Quest'ultima
di coordinate ani in
I
rappresenta evidentemente una retta nello spazio (ane)
di riferimento, la congruenza associata a
I
V4 .
Per la denizione stessa
è pertanto una famiglia di rette parallele,
univocamente determinata da un singolo versore tangente costante, ossia da un versore
di tipo tempo, indicato con
e(4) ,
nello spazio modellatore
V4 .
Per astrazione, d'ora innanzi identicheremo il riferimento col corrispondente versore
temporale. In tal modo, subordinatamente alla scelta di una base in
V4 , ogni riferimento
inerziale risulta individuato da tre parametri reali.
A prima vista ciò può sembrare strano: la più generale trasformazione di Lorentz è
infatti del tipo
x̄i = Λij xj + ai ,
Essendo
L↑
a ∈ R 4 , Λ ∈ L↑ .
(3.7)
un gruppo a sei parametri, la trasformazione in oggetto dipende da dieci
variabili reali e non da tre soli parametri, come sopra suggerito.
D'altronde, in virtù del Teorema 2.2.1 si vede facilmente che le informazioni contenute in
R
e in
a
corrispondono a operazioni puramente geometriche (rotazioni degli
assi, traslazione dell'origine degli assi e/o dei tempi), ossia, in ultima analisi, alla scelta
delle coordinate spazio-temporali all'interno dello stesso sistema di riferimento.
Il solo contenuto cinematico della trasformazione è quello espresso dalla matrice
ΛC ,
la quale dipende appunto da tre parametri, in pieno accordo con quanto detto.
In altri termini, l'identicazione di un generico riferimento inerziale con un versore di
tipo tempo in
V4
realizza lo scopo di depurare il concetto di sistema di riferimento
da ogni sovrastruttura geometrica non necessaria.
V3 associato ad un riferimento
A tal proposito, riprendiamo la denizione di V3 come quoziente di V4 rispetto
Vediamo come descrivere lo spazio di riferimento
inerziale.
alla relazione di equivalenza (3.6) e osserviamo che, nel caso di riferimento inerziale,
essendo la congruenza di riferimento
coppia di eventi
P, Q ∈ V4
V3 :=
spazio
V3
è
una famiglia di rette di versore
e(4) ,
per ogni
risulta:
P ∼Q
Lo
Γ
quindi
uno
⇐⇒
spazio
(P − Q) k e(4)
ane,
modellato
⊥
V4 /e(4) , chiaramente isomorfo al sottospazio di e(4)
sullo
⊂ V4
spazio
quoziente
perpendicolare ad
3.2 Sistemi di riferimento
e(4) .
11
Abbiamo pertanto la decomposizione in somma diretta ortogonale
V4 = V3 ⊕ L(e(4) )
Di conseguenza
∀X ∈ V4 ∃ ! PΣ (X) ∈ V3 , PΘ (X) ∈ R : X = PΣ (X) + PΘ (X) e(4)
L'eq. (3.8) denisce due applicazioni lineari
associati al riferimento
I,
PΣ
e
PΘ ,
(3.8)
dette operatori di proiezione
il cui scopo è quello di determinare le componenti spaziale e
temporale di un generico vettore libero in
V4 .
Dalla (3.8), ricordando la denizione del prodotto scalare in
V4 ,
otteniamo
(X, e(4) ) = (PΣ (X), e(4) ) + PΘ (X)(e(4) , e(4) ) = −PΘ (X)
da cui anche
PΘ (X) = −(X, e(4) )
(3.9a)
PΣ (X) = X − PΘ (X)e(4) = X + (X, e(4) ) e(4)
(3.9b)
Nota 3.2.1.
Utilizzando le notazioni precedenti, consideriamo due eventi a, b ∈ V4
4
e indichiamo con x la coordinata temporale associata al riferimento I . Essendo per
4
denizione x = ct, la separazione temporale ∆t tra i due eventi nel giudizio di I è
espressa dalla relazione
c∆t = ct(b) − ct(a) = x4 (b) − x4 (a) = −((b − a), e(4) )
Per confronto con la (3.9a), quest'ultima può essere posta nella forma
c∆t = PΘ (b − a)
PΣ (b − a) si identica col
occupate da a e b nel tri-spazio
Analogamente, il vettore
le posizioni spaziali
kPΣ (b − a)k
(3.10)
segmento orientato congiungente
associato a
I,
mentre la norma
rappresenta la distanza fra tali posizioni. A tale proposito, cfr. anche la
discussione successiva.
η : p = p(ξ) la linea di universo rappresentativa dell'evoluzione di un punto
materiale in V4 . Vogliamo determinare la velocità v del punto nel riferimento I e,
tramite questa, la rappresentazione in termini cinematici del versore tangente a η .
Sia ora
12
3. Spaziotempo di Minkowski
Innanzi tutto, detto
X = dp/dξ
η nel punto p(ξ), ricordiamo
P (ξ + ∆ξ) − P (ξ) = X∆ξ + . . .
il vettore tangente a
che, a meno di innitesimi di ordine superiore, risulta
Utilizzando quanto sopra detto circa il signicato delle proiezioni spaziale e temporale di un segmento orientato in
V4 ,
dalla denizione stessa di velocità si ha
quindi
v
c
= lim
∆ξ→0
X + (X, e(4) )e(4)
PΣ (X∆ξ)
PΣ (X)
X
=
=
=−
− e(4)
PΘ (X∆ξ)
PΘ (X)
−(X, e(4) )
(X, e(4) )
o, equivalentemente
v
X = −(X, e(4) )
+ e(4)
c
Inne, imponendo che
(X, e(4) )2
e quindi, essendo
X
v2
c2
X
sia un versore, otteniamo:
− 1 = −1
=⇒
Siano
temporali. Detta
v
1
1 − v 2 /c2
diretto verso il futuro:
v
X = γ e(4) +
c
Nota 3.2.2.
(X, e(4) )2 =
I
con
γ=p
I0
1
due riferimenti inerziali, ed e(4) ,
0
la velocità di I rispetto a I , poniamo
e
(3.11)
1 − v 2 /c2
e0(4) i corrispondenti versori
γ = γ(v). Ricordando che,
0
per denizione, e(4) rappresenta il versore tangente alle linee di universo dei punti in
0
quiete rispetto a I , per confronto con l'eq. (3.11) abbiamo l'espressione
v
e0(4) = γ e(4) +
c
3.2.2
Coordinate
Ad ogni riferimento inerziale
I
coordinate pseudo-cartesiane in
può essere associato, in inniti modi, un sistema di
V4 .
La cosa, ben nota, è stata posta a fondamento
della presente geometrizzazione. Per completezza, rifacciamo il punto della situazione,
alla luce dell'identicazione tra riferimenti inerziali e versori di tipo tempo in
A tal ne, detto
e(4) ∈ V4
il versore temporale di un riferimento inerziale
V4 .
I , cominci-
amo col completare a base ortonormale scegliendo ad arbitrio tre versori mutuamente
⊥
ortogonali e(1) , e(2) , e(3) in e(4) . Fissata poi ad arbitrio un'origine o ∈ V4 , utilizziamo
{o, e(1) , . . . , e(4) }
come riferimento ane in
V4 .
Tale riferimento, adattato al riferimen-
3.3 Operatori di proiezione
to
I,
determina in
V4
13
un corrispondente sistema di coordinate ani
xi ,
univocamente
denito dalla costruzione (3.2).
Ancora una volta, vediamo quindi che l'associazione tra sistemi di riferimento e
sistemi di coordinate presenta un ampio margine di discrezionalità, sia nel completamento di
e(4)
a base pseudo-ortonormale (tre parametri, corrispondenti alla scelta di
⊥
una base ortonormale in e(4) ) sia nella scelta dell'origine o ∈ V4 (quattro parametri).
3.3
Operatori di proiezione
Ricordiamo che gli operatori
ogni
X ∈ V4
PΘ e PΣ relativi ad un riferimento inerziale I
una componente temporale e una proiezione spaziale nel giudizio di
costruzione tale decomposizione dipende strettamente da
di
PΘ , PΣ
associano ad
determina univocamente il versore
e(4) ,
I.
I.
Per
Viceversa, la conoscenza
e quindi il riferimento
I.
Ciò signica, in sostanza, che un riferimento inerziale è completamente caratterizzato dal modo in cui esso scompone la realtà spazio-temporale in una parte spaziale e
una temporale. Pertanto, in analogia con quanto già visto in precedenza, il legame tra
riferimenti inerziali diversi può essere ecacemente descritto mettendo in relazione i
relativi operatori di proiezione.
3.3.1
Ritardo degli orologi in movimento
O in moto rettilineo uniforme con velocità v in un rifer0
imento inerziale I di versore temporale e(4) . Indichiamo con e(4) il versore temporale
associato al riferimento di quiete istantanea J di O .
Detti a e b due eventi appartenenti alla linea di universo di O , vogliamo stabilire
il legame tra la separazione temporale ∆t tra gli eventi stessi nel giudizio di I , e la
separazione ∆τ nel giudizio di J . Per la (3.10) si ha che
Consideriamo un orologio ideale
c∆t = PΘ (b − a)
Analogamente, indicando con
PΘ0
la proiezione temporale nel riferimento
c∆τ = PΘ0 (b − a) = − (b − a), e0(4)
Essendo
J
(3.12)
il riferimento di quiete istantanea di
O,
J:
l'espressione precedente comporta
c∆τ e0(4) = − (b − a) , e0(4) e0(4) = (b − a)
(3.13)
14
3. Spaziotempo di Minkowski
D'altronde, dalla Nota 3.2.2 otteniamo:
v
e0(4) = γ e(4) +
c
⇒
PΘ (e0(4) ) = γ
(3.14)
Dalle (3.12), (3.13) e (3.14) risulta inne:
c∆t = PΘ (b − a) = c∆τ PΘ (e0(4) ) = γ c ∆τ
r
v2
=⇒ ∆t = γ∆τ =⇒ ∆τ = 1 − 2 ∆t
c
Il fenomeno sopra descritto prende il nome di ritardo degli orologi in movimento .
3.3.2
Concetti metrici spaziali
1
4
il corrispondente versore temporale e x , . . . , x un
4
sistema di coordinate in V4 adattate a I ; indichiamo con t = x /c la variabile temporale.
Sia
I
Denizione 3.3.1.
I
e(4)
un riferimento inerziale,
all'istante
t0
Per ogni
t0 ∈ R,
deniamo iperpiano di simultaneità relativo ad
il luogo di punti
It0 =
x ∈ V4 x4 (x) = ct0 ⊂ V4
Tramite la Denizione 3.3.1, al variare di t,
I
determina una partizione di
V4
in una
famiglia a un parametro di iperpiani paralleli, ossia
V4 =
[
It
t∈R
Indicata con
it : It → V4
l'inclusione canonica, possiamo dotare ogni iperpiano di
∗
simultaneità It di una metrica ϕt := it (g), denita come pull-back rispetto a it della
metrica spaziotemporale.
It acquista una struttura di spazio euclideo tridimensionale
⊥
modellato sul sottospazio e(4) ⊆ V4 . In particolare, per ogni coppia di eventi a, b ∈ It ,
la distanza spaziale tra a e b nel giudizio di I coincide per denizione con la distanza
In tal modo, ciascun
spaziotemporale tra gli eventi stessi.
Posto
xα (a) = aα , xα (b) = bα , x4 (a) = x4 (b) = ct,
2
i
i
j
j
α
α
quest'ultima è data da
β
β
kb − ak = ηij (b − a )(b − a ) = δαβ (b − a )(b − a ) =
3
X
α=1
(bα − aα )2
3.3 Operatori di proiezione
15
Quanto detto consente di associare una struttura metrica allo spazio di riferimento
V3
relativo a
I.
Detta
π : V4 → V3
la proiezione canonica associata alla relazione
−1
d'equivalenza (3.6), sappiamo che, per ogni ξ ∈ V3 , l'immagina inversa π
(ξ) coincide
V4 rappresentativa dell'evoluzione di ξ .
L'applicazione πt := π|I : It → V3 è quindi un dieomorsmo tra V3 e It , il cui invert
−1
so πt
associa ad ogni punto in V3 la corrispondente posizione in It . Di conseguenza,
sfruttando la metrica ϕt , possiamo denire la distanza tra due punti ξ, η ∈ V3 come la
−1
−1
distanza tra le rispettive posizioni πt (ξ), πt (η) in It . Per ogni t ∈ R, ciò induce su
V3 una metrica
∗
ϕ
e0 := πt−1 ϕt
(3.15)
con la linea di universo in
Verichiamo che quest'ultima non dipende dal particolare iperpiano di simultaneità
utilizzato. A tal ne osserviamo che dall'eq. (3.15) seguono le identicazioni
ϕ
e0 = πt−1
∗
ϕt = πt−1
∗
∗
i∗t (g) = it ◦ πt−1 (g)
In virtù di queste, il tensore ϕ
e0 coincide col pull-back della metrica di V4 tramite
−1
1
2
3
l'applicazione it ◦ πt : V3 → V4 . D'altronde, utilizzando le variabili x , x , x come
−1
coordinate in V3 , l'applicazione it ◦ πt
è rappresentata da
it ◦ πt−1 (ξ) = it ◦ πt−1 x1 (ξ), x2 (ξ), x3 (ξ) = (xα (ξ), ct)
ξ ∈ V3 =⇒
Raccogliendo i risultati otteniamo la relazione
ϕ
e0 = it ◦ πt−1
∗
(g) = δαβ dxα ⊗ dxβ
dalla quale si deduce, in particolare, l'indipendenza di
Denizione 3.3.2.
riposo) dello spazio
3.3.3
ϕ
e0
(3.16)
dalla scelta di
t.
L'espressione (3.15) è detta la metrica propria (o metrica di
V3 .
Contrazione delle lunghezze
Con le notazioni precedenti, sia
I0
un secondo riferimento inerziale, e
It00
la corrispon-
Detti ξ, η ∈ V3 due punti in quiete nel
0
0
riferimento I , la loro distanza nel giudizio di I ad un generico istante t si identica
0
con la distanza fra le intersezioni delle rispettive linee di universo con l'iperpiano It0 .
0
In tal modo, anche il riferimento I induce una metrica ϕ
e0 sullo spazio V3 , diversa
dalla metrica propria ϕ
e0 . Per stabilire il legame tra ϕ
e0 e ϕ
e0 , scelto l'iperpiano It00 ,
dente famiglia di iperpiani di simultaneità.
16
3. Spaziotempo di Minkowski
sia
it0 : It00 → V4
l'inclusione canonica, e
ϕt0 = i∗t0 (g)
il pull-back su
It00
della metrica
spaziotemporale.
0
Nuovamente, la restrizione a It0 della proiezione π : V4
0
dieomorsmo χt0 : It0 → V3 , il cui inverso soddisfa la relazione
−1
0
χ−1
t0 (ξ) = π (ξ) ∩ It0
Tramite
giudizio di
→ V3
determina un
∀ ξ ∈ V3
(3.17)
0
χ−1
t0 possiamo valutare la distanza fra due punti ξ, η ∈ V3 all'istante t nel
I 0 : introdotto l'embedding ψt0 := it0 ◦ χ−1
t0 : V3 → V4 , consideriamo infatti il
pull-back
ϕ
e 0 := χ−1
t0
∗
(ϕt0 ) = χ−1
t0
∗
i∗t0 (g) = ψt∗0 (g)
(3.18)
v
v
0
0
il versore rappresentativo di I e
la velocità di I
0
rispetto a I , dalla Nota 3.2.2 segue l'identicazione e(4) = γ e(4) + /c .
1
4
Osserviamo inne che, nelle coordinate x , . . . , x , gli iperpiani di simultaneità di
I 0 , in quanto perpendicolari a e0(4) , hanno equazione cartesiana
Ricordiamo poi che, detti
e0(4)
v α xα
− x4 = cost
c
con
vα = v, e(α)
Ciò premesso, per procedere al calcolo del tensore (3.18), determiniamo in primo
luogo la rappresentazione analitica dell'applicazione ψt0 . In virtù dell'eq. (3.17), per
α
1
4
ogni ξ ∈ V3 di coordinate x (ξ), l'immagine ψt0 (ξ) ∈ V4 avrà coordinate x , . . . , x con
xα = xα (ξ)
vα xα (ξ)
x4 = k +
c
Omettendo l'argomento
ξ,
ciò conduce alla relazione simbolica
1
2
3
ψt0 x , x , x
α
1
2
3 vα x
= x ,x ,x ,
−k
c
Unitamente all'eq. (3.18), questa dà luogo all'identicazione:
ϕ
e0 = ψt∗0 (g) = δαβ dxα ⊗ dxβ −
vα α vβ β vα vβ dx ⊗ dx = δαβ − 2 dxα ⊗ dxβ
c
c
c
Per confronto con l'eq. (3.16) ricaviamo inne la relazione
ϕ
e0 = ϕ
e0 −
vα vβ α
dx ⊗ dxβ
2
c
(3.19)
3.3 Operatori di proiezione
17
L'eq. (3.19) mostra che il legame tra la valutazione delle distanze nei riferimenti I e
0
in I dipende espressamente dalla velocità relativa tra i riferimenti stessi. Ad esempio,
0
data una sbarra in quiete rispetto ad I , e quindi in moto con velocità
rispetto a I ,
α
α
α
siano x e x + ∆x le coordinate degli estremi della sbarra nel tri-spazio di I , riferito
v
a coordinate adattate.
Dette allora l0 la lunghezza della sbarra a riposo, ossia valutata nel riferimento
0
e l la lunghezza nel giudizio di I , sussiste la relazione
l0 =
s
X
s
(∆xα )2 ,
l=
l02
α
−
vα ∆xα
c2
I,
2
≤ l0
Quest'ultima esprime il cosiddetto eetto di contrazione delle lunghezze dei corpi in
movimento .
3.3.4
L'operatore j
Al ne di esprimere la legge di trasformazione degli operatori di proiezione al variare
del riferimento inerziale introduciamo alcuni utili strumenti.
Denizione 3.3.3.
Detto
Z ∈ V4
jZ : V4 → V4
l'applica-
X ∈ V4
nelle sue
jZ (X⊥ ) = X⊥ , jZ Xk = −Xk )
(3.20a)
un versore di tipo tempo, sia
zione lineare denita da
jZ (X) := X + 2 (X, Z) Z
Sia inoltre
X = Xk + X⊥
la scomposizione di un generico vettore
componenti parallela e perpendicolare a
Teorema 3.3.1.
a)
b)
c)
d)
e)
L'operatore
jZ (X) = X⊥ − Xk
∀ Z ∈ V4
jZ
Z.
soddisfa le seguenti proprietà:
(in particolare,
jZ2 = id
(jZ (X), Y ) = (X, jZ (Y ))
∀ X, Y ∈ V4
(jZ (X), X) > 0 ∀ X ∈ V4 \ {0}
(jZ (X), jZ (Y )) = (X, Y )
∀ X, Y ∈ V4
(involutorio)
(3.20b)
(simmetrico)
(3.20c)
(denito positivo)
(3.20d)
(isometrico)
(3.20e)
18
3. Spaziotempo di Minkowski
Dimostrazione.
a)
dalla Denizione 3.3.3 si deducono le relazioni
jZ (X⊥ ) = X⊥ + 2(X⊥ , Z)Z = X⊥
jZ (Xk ) = Xk + 2(Xk , Z)Z = Xk − 2Xk = −Xk
= X ⊥ − Xk
jZ (X) = jZ (X⊥ + Xk )
b)
dalla (3.20a) si ottiene
jZ2 (X) = jZ (X⊥ − Xk ) = X⊥ − (−Xk ) = X⊥ + Xk = X
c)
sempre in virtù della Denizione 3.3.3:
(jZ (X), Y ) = (X, Y ) + 2(X, Z)(Z, Y ) = (X, Y ) + (X, 2(Z, Y )Z)
= (X, jZ (Y ))
d ) essendo Xk di tipo tempo risulta (Xk, Xk) ≤ 0.
pseudo-ortonormale di
Nell'ipotesi
X 6= 0,
V4 ,
Z a base
(X⊥ , X⊥ ) ≥ 0.
Inoltre, se completiamo
ragionando per componenti otteniamo
almeno una delle due disuguaglianze è stretta e quindi
(jZ (X), X) = X⊥ − Xk , X⊥ + Xk = (X⊥ , X⊥ ) − (Xk , Xk ) > 0
e)
per la (3.20b) e la (3.20c) possiamo scrivere:
(jZ (X), jZ (Y )) = (jZ2 , Y ) = (X, Y )
0
Consideriamo ora due riferimenti inerziali I, I e indichiamo con
0
versori temporali. Sia
la velocità di I relativa ad I .
v
Nota 3.3.1.
Il vettore
e(4) + e0(4)
e(4) , e0(4)
i rispettivi
è automaticamente di tipo tempo: essendo
v ∈ e⊥(4) ,
dalla Nota 3.2.2 ricaviamo infatti:
e(4) +
e0(4)
, e(4) +
e0(4)
v
= (1 + γ) e(4) + γ , (1 + γ) e(4) + γ
=
c
c
γ2
v2
= 2 v 2 − (γ + 1)2 = γ 2
− 1 − 2γ − 1 = −2 − 2γ < 0
c
c2
Con queste premesse, detto
seguente
v
Z :=
e(4) +e0(4)
ke(4) +e0(4) k
il versore di
e(4) + e0(4) ,
(3.21)
introduciamo la
3.3 Operatori di proiezione
Denizione 3.3.4.
ai riferimenti
I
e
I
0
L'applicazione
19
j := jZ
è detta l'operatore di riessione associato
.
Si osservi che, per costruzione,
j
non dipende dall'ordine in cui vengono scelti i
riferimenti.
Proposizione 3.3.1.
a)
b)
c)
Con le notazioni adottate, si ha:
j e(4) = −e0(4)
j e0(4) = −e(4)
0⊥
j e⊥
(4) = e(4)
Dimostrazione.
a)
Z=
in quanto
(3.22a)
(3.22b)
(3.22c)
dall'eq. (3.21) si ricavano le espressioni:
e(4) + e0(4)
(1 + γ) e(4) + γ v/c
p
p
=
=
0
ke(4) + e(4) k
2 (1 + γ)
2 (1 + γ)
e(4) + e0(4)
(3.23)
e(4) , e(4) + e0(4) = e(4) , (1 + γ) e(4) + γ v/c = −(γ + 1)
v, e(4) = 0 ed e(4) , e(4) = −1. Dalla Denizione 3.3.3 otteniamo pertanto:
j e(4) = e(4) + 2 e(4) , Z Z =
2
e(4) , e(4) + e0(4) e(4) + e0(4) =
= e(4) +
0
2
ke(4) + e(4) k
2
(1 + γ) e(4) + e0(4) = e(4) − e(4) + e0(4) =
= e(4) −
2 (1 + γ)
= −e0(4)
b)
grazie alla (3.20b) del Teorema 3.3.1 e a quanto appena visto possiamo scrivere
j e0(4) = j −j(e(4) ) = −j 2 e(4) = −e(4)
c)
essendo j un isomorsmo di spazi vettoriali, è suciente vericare
⊥
Ed infatti, per ogni X ∈ e(4) , utilizzando la (3.20e) otteniamo
j(X), e0(4) = − j (X) , j e(4) = − X, e(4) = 0
e quindi
j (X) ∈ e0⊥
(4)
come si voleva.
0⊥
j e⊥
(4) ⊆ e(4) .
20
3. Spaziotempo di Minkowski
Nota 3.3.2.
Dal punto di vista geometrico l'applicazione
j : V4 → V4
rappresenta
0
una riessione rispetto all'iperpiano passante per l'origine e ortogonale a e(4) + e(4) .
0
D'altronde, detti V3 e V3 gli spazi modellatori degli spazi di riferimento associati a I
0⊥
0
0
⊥
e I , sappiamo già che sussiste l'identicazione V3 = e(4) , V3 = e(4) . In questo senso,
l'aermazione c) del Teorema 3.3.1 indica che l'operatore j pone in corrispondenza
biunivoca i vettori spaziali relativi all'uno e all'altro riferimento, dando luogo ad un
isomorsmo
V3 ←→ V30
3.3.5
(3.24)
Trasformazioni di Lorentz
PΣ , PΘ gli operatori di proiezione associati al riferimento I e PΣ0 , PΘ0 quelli
0
associati ad I , siamo adesso in grado di determinare la legge di trasformazione tra gli
Detti
operatori stessi.
Teorema 3.3.2
.
(Trasformazioni di Lorentz: contenuto geometrico)
Con le notazioni
precedenti, sussistono le identicazioni:
a)
b)
v · PΣ γ
= j ◦ PΣ ◦ j = j PΣ + v (γ − 1)
− PΘ
v2
c
v · PΣ
PΘ0 = −PΘ ◦ j = γ PΘ −
c
PΣ0
(3.25a)
(3.25b)
Per quanto riguarda la trasformazione inversa, risulta similmente:
c)
d)
v · j ◦ PΣ0 γ 0
PΣ = j ◦
+ v (γ − 1)
+ PΘ
v2
c
v · j ◦ PΣ0
PΘ = γ PΘ0 +
c
Dimostrazione.
PΣ0
a)
dalla relazione
(3.25c)
(3.25d)
PΣ + e(4) PΘ = PΣ0 + e0(4) PΘ0 = id
segue l'identità
j ◦ PΣ + e(4) PΘ ◦ j = PΣ0 + e0(4) PΘ0
Poiché l'operatore
PΘ
assume valori in
R,
per la linearità di
j ◦ e(4) PΘ ◦ j = j e(4) PΘ ◦ j
j
si ha
e dalla (3.20b)
3.3 Operatori di proiezione
21
da cui, ricordando l'eq. (3.22a) della Proposizione 3.3.1:
j ◦ PΣ ◦ j − e0(4) PΘ ◦ j = PΣ0 + e0(4) PΘ0
(3.26)
j un isomorsmo e PΣ la proiezione spaziale risulta inoltre PΣ ◦ j (V4 ) =
0⊥
= PΣ (V4 ) ⊆ e⊥
(4) , da cui, tenuto conto dell'eq. (3.22c), j ◦ PΣ ◦ j (V4 ) ⊆ e(4) .
0
0⊥
Inne, ricordando la scomposizione in somma diretta V4 = L(e(4) ) ⊕ e(4) , l'equazione
Essendo
(3.26) si spezza nella coppia di relazioni
PΣ0 = j ◦ PΣ ◦ j
(3.27)
PΘ0 = −PΘ ◦ j
(3.28)
Per completare la dimostrazione occorre solo sviluppare i calcoli: in virtù della (3.27)
e della Denizione 3.3.4 di
j,
per ogni
X
in
V4
risulta
2
v v
X, (1 + γ) e(4) + γ
(1 + γ) e(4) + γ
=
2(1 + γ)
c
c
1 v v
= PΣ (X) +
X, (1 + γ) e(4) + γ
γ
1+γ
c
c
PΣ (v) = v e PΣ e(4) = 0.
PΣ ◦ j(X) = PΣ X +
in quanto
Essendo per la (3.9a)
X, e(4) = −PΘ (X),
ed essendo altresì
(X, v) = PΣ (X) + PΘ (X) e(4) , v = PΣ (X), v = PΣ (X) · v
otteniamo
PΣ ◦ j(X) = PΣ (X) + v
Inne, utilizzando l'identità
γ2
c2
=
γ 2 −1
v2
γ PΘ (X)
γ 2 v · PΣ (X)
−
2
(1 + γ) c
c
=
(γ+1)(γ−1)
v2
e ripristinando la notazione
operatoriale l'eq. (3.27) si riscrive
PΣ0
b)
= j ◦ PΣ ◦ j = j PΣ + v
in modo analogo, elaboriamo la (3.28).
γ−1
γ
v · PΣ − PΘ
2
v
c
22
3. Spaziotempo di Minkowski
Poiché
PΘ e(4) = − e(4) , e(4) = 1
e
PΘ (v) = 0
per ogni
X ∈ V4
risulta:
γ PΘ ◦ j(X) = PΘ (X) + X , (1 + γ) e(4) + v =
c
γ
v · PΣ (X)
= PΘ (X) − (1 + γ) PΘ (X) + v · PΣ (X) = −γ PΘ (X) −
c
c
v · PΣ
=⇒
PΘ0 = −PΘ ◦ j = γ PΘ −
c
c ) per evidenti ragioni di simmetria, per ottenere la trasformazione inversa è suciente
w
0
determinare la velocità
di I rispetto a I , eettuare nella (3.25a) gli scambi
PΘ ↔ PΘ0 e sostituire ovunque con . Sviluppiamo quanto detto:
v
v
w
PΣ ↔ PΣ0 ,
j(v)
= γ e(4) +
=⇒ j
=⇒
= γ j e(4) +
c
c
j(v)
0
0
=⇒ e(4) = − j e(4) ) = γ e(4) −
=⇒ w = −j(v)
c
e0(4)
e0(4)
(3.29)
Eettuando gli scambi e le sostituzioni indicate ed utilizzando, ove necessario, le
0
identità j( ) · PΣ =
· j PΣ0 , j( )2 = v 2 , e quindi anche γ( ) = γ(j( )) , dovute alle
v
v
v
v
v
j elencate nelle equazioni (3.20), otteniamo
γ 0
−j(v) · PΣ0
0
− PΘ
=
PΣ = j PΣ − j(v) (γ − 1)
j(v)2
c
v · j PΣ0 γ 0
0
= j ◦ PΣ + v (γ − 1)
+ PΘ
v2
c
proprietà dell'operatore
d)
in completa analogia con quanto appena visto, partendo dalla (3.25b) e operando
nel modo descritto al punto
c) otteniamo
j(v) · PΣ0
v · j PΣ0
0
0
= γ PΘ +
PΘ = γ PΘ +
c
c
Nota 3.3.3.
Sotto il prolo sico, il contenuto dell'eq. (3.29) è facilmente interpretato
⊥
0⊥
osservando che, in virtù dell'identicazione j e(4) = e(4) , la velocità
= −j( ) altro
0
non è che l'opposta della velocità , convertita in vettore spaziale rispetto a I mediante
v
l'azione di
j
w
v
(cfr. Nota 3.3.2). Ciò costituisce un'evidente estensione di quanto avviene
in Fisica classica in cui, in virtù degli assiomi di spazio e tempo assoluti, risulta più
semplicemente
w = −v .
3.3 Operatori di proiezione
23
Il Teorema 3.3.2 esprime il contenuto geometrico delle trasformazioni di Lorentz:
esso stabilisce infatti la relazione fra i diversi modi di disaccoppiare i concetti di spazio
e di tempo nel giudizio di osservatori inerziali diversi.
Le equazioni (3.25) possono
quindi essere assunte come punto di partenza per lo studio del legame tra riferimenti
inerziali diversi.
3.3.6
Trasformazioni di Lorentz pure: espressione in coordinate
Scopo di questo paragrafo è esprimere in coordinate le equazioni (3.25a) e (3.25b) del
Teorema 3.3.2 e porle a confronto coi risultati tradizionali relativi alle trasformazioni
di Lorentz. A tal ne, mediante il procedimento descritto nel Ÿ 3.2.2, completiamo e(4)
i
ad un riferimento ane {o, e(1) , . . . , e(4) } in V4 e indichiamo con x le corrispondenti
coordinate.
0
Dalle equazioni (3.24), (3.20e) segue facilmente che i vettori e(α) := j
0
tuiscono a loro volta base ortonormale in V3 , per ciò stesso completando
e(α)
e0(4)
costi-
a base
pseudo-ortonormale di V4 . Preservando l'origine o, otteniamo così un riferimento ane
{o, e0(1) , . . . , e0(4) }, e quindi un sistema di coordinate x̄i adattate a I 0 .
In virtù di quanto detto, per ogni evento
x ∈ V4
coesistono le due rappresentazioni
(x − o) = xi (x) e(i) = x̄i (x) e0(i)
Tenuto conto dell'eq. (3.25a) e delle evidenti identicazioni
PΘ (x − o) = − xi (x) e(i) , e(4) = x4 (x) ,
PΣ (x − o) = xα (x) e(α)
possiamo scrivere
x̄α (x) e0(α) = PΣ0 (x − o) =
v · PΣ (x − o) γ
= j PΣ (x − o) + v (γ − 1)
− PΘ (x − o)
=
v2
c
v · PΣ (x − o) γ 4
= j xα (x) e(α) + v (γ − 1)
− x (x)
v2
c
da cui, posto
x̄
α
v = v α e(α)
(x) e0(α)
e
x4 = ct
α
α
= x (x) j e(α) + v j e(α)
Ricordando la denizione
e0(α) = j e(α)
vα xα (x) γ
(γ − 1)
− ct(x)
v2
c
, omettendo l'argomento
x
ed esplicitando
24
3. Spaziotempo di Minkowski
le componenti dei vari vettori coinvolti otteniamo in tal modo:
α
α
x̄ = x + v
α
vα xα
(γ − 1) 2 − γ t
v
(3.30)
Analogamente, utilizzando l'eq. (3.25b) del Teorema 3.3.2:
4
x̄ (x) =
PΘ0 (x
da cui, ponendo
− o) = γ PΘ (x − o) −
x̄4 = c t̄
v · PΣ (x − o)
c
vα xα (x)
4
= γ x (x) −
c
e procedendo come sopra:
vα xα
t̄ = γ t − 2
c
(3.31)
Le equazioni (3.30), (3.31) esprimono la cosiddetta trasformazione di Lorentz pura.
0i
0
Come più volte ricordato, ogni altro sistema di coordinate x̄
adattate a I è legato
i
alle x̄ da una trasformazione:
(
x̄0α = R αβ x̄β + aα
04
4
x̄ = x̄ + a
corrispondente a una rotazione
ine di un vettore
a.
4
a ∈ R4 , R ∈ O(3)
R della base spaziale e0(α)
(3.32)
e ad una traslazione dell'orig-
Queste operazioni, ancorché legittime, sono però prive di contenuto
cinematico in quanto, come già osservato, un sistema di riferimento sceglie ad arbitrio
il proprio sistema di coordinate.
Per quanto appena visto, la trasformazione di Lorentz pura caratterizza completamente il legame fra due osservatori inerziali assegnati: la più generale trasformazione è
ottenibile da questa mediante composizione col gruppo descritto dalle equazioni (3.32).
3.3.7
Concetto di non rotazione e trasformazioni pure
Esaminiamo ora un aspetto geometrico delle trasformazioni pure destinato a giocare
un ruolo essenziale nello studio del moto senza rotazione.
Proviamo cioè che tali
trasformazioni rappresentano la controparte relativistica delle trasformazioni di Galileo
ad assi paralleli, nel senso ordinario (tridimensionale) del termine.
Per procedere in tal senso, occorre introdurre una nuova nozione di non rotazione, in
quanto quella classica, legata al parallelismo degli assi, è inapplicable: con le notazioni
⊥
0
0⊥
0
0
del Capitolo precedente, posto V3 = e(4) , V3 = e(4) risulta infatti e(α) ∈ V3 , e(α) ∈ V3 .
3.3 Operatori di proiezione
25
e(α) , e0(α) appartengono a sottospazi diversi di V4 , seppure
resi isomor dall'azione dell'operatore j (vedi (3.24).
0
Indichiamo con V2 := V3 ∩V3 il bi-spazio formato dai vettori aventi carattere spaziale
0
nel giudizio di entrambi gli osservatori I e I e osserviamo che, per ogni Y ∈ V2 , la
0
validità delle relazioni Y, e(4) = Y, e(4) = 0 comporta automaticamente
Pertanto, in generale, i versori
j(Y ) = Y
(3.33)
k ∈ V3 un versore ortogonale a V2 . Per il Teorema 3.3.1 il vettore k 0 := j(k) è
0
allora un versore appartenente a V3 ed ortogonale a V2 . Infatti, l'eq. (3.20e) comporta
2
2
la relazione kj(k)k = kkk = 1, mentre per le (3.20c), (3.33), per ogni Y ∈ V2 risulta
(k 0 , Y ) = (j(k), Y ) = (k, j(Y )) = (k, Y ) = 0.
Sia ora
Sussistono pertanto le seguenti scomposizioni in somma diretta:
V3 = V2 ⊕ L(k)
le quali, essendo
k
e
V30 = V2 ⊕ L(k 0 )
(3.34)
determinato a meno del segno, risultano univocamente stabilite.
Denizione 3.3.5.
Un vettore
X 0 ∈ V30
è detto non ruotato rispetto a un vettore
X ∈ V3 se ambedue hanno la stessa proiezione ortogonale su V2 e soddisfano
(X, k) = (X 0 , k 0 ). Equivalentemente, con riferimento alle scomposizioni (3.34), X 0
è non ruotato rispetto a X se e solo se esistono un vettore Y ∈ V2 ed uno scalare
α ∈ R tali da dar luogo alle rappresentazioni
X = Y + αk ,
X 0 = Y + αk 0
La Denizione 3.3.5 soddisfa il principio di corrispondenza: due vettori appartenenti
0
all'intersezione V3 ∩ V3 risultano infatti non ruotati l'uno rispetto all'altro se e solo se
0
sono uguali. Nel caso in cui sussista l'identicazione V3 = V3 (come accade in Fisica
classica), i concetti di non rotazione e parallelismo vengono pertanto a coincidere.
Il Teorema seguente esplicita il legame tra l'operatore
j e il concetto di non rotazione,
già anticipato (a parole) nella Nota 3.3.2.
Teorema 3.3.3.
Il vettore
X 0 ∈ V30
è non ruotato rispetto a
X ∈ V3
se e solo se
X 0 = j(X).
0
0
Dimostrazione. Comunque si scelgano X ∈ V3 , X ∈ V3 , in virtù delle scomposizioni
0
0
(3.34), esistono due vettori Y, Y ∈ V2 e due scalari α, α ∈ R tali da dar luogo alle
rappresentazioni
X = Y + αk
X 0 = Y 0 + α0 k 0
26
3. Spaziotempo di Minkowski
0
0
è non ruotato rispetto a X se e solo se Y = Y e α = α , la
0
qual cosa, unitamente alle relazioni k = j(k) e j(Y ) = Y , è chiaramente equivalente a
j(X) = X 0 .
Ora, per denizione,
X0
Siamo adesso in grado di esplicitare l'annunciata caratterizzazione geometrica delle
trasformazioni pure.
Corollario 3.3.1.
0 0
due osservatori inerziali, {o, e(i) }, {o , e(i) } due riferi
i
imenti ani adattati agli osservatori stessi, e x , x̄ i corrispondenti sistemi di coi
i
j
i
ordinate pseudo-cartesiane in V4 . La trasformazione x̄ = Λ j x + a è allora una
0
trasformazione di Lorentz pura se e solo se i vettori e(α) sono non ruotati rispetto
agli
Siano
I, I 0
e(α) .
La dimostrazione segue direttamente dal Teorema 3.3.3, essendo una trasformazione
0
pura caratterizzata dalla condizione e(α) = j e(α) .
3.4
Quadrivelocità e quadriaccelerazione
Per completezza, riprendiamo alcune denizioni già viste nei corsi istituzionali. Consideriamo l'evoluzione di una particella, descritta da una linea di universo di tipo tempo
p : xi = xi (ξ), con xi coordinate adattate ad un riferimento inerziale I . Sia τ il tempo proprio lungo
p,
identico, per denizione, al tempo misurato da un orologio ideale
solidale alla particella.
Denizione 3.4.1.
La quadrivelocità di
p
dxi
V =
dτ
ossia il vettore tangente alla curva
p,
è il vettore
∂
∂xi
V ∈ V4
denito da
p
parametrizzata mediante il tempo proprio.
Ricordiamo che il riferimento di quiete istantanea di
to inerziale identicato dal versore tangente a
p
p
all'istante
all'istante stesso.
τ
è il riferimen-
Al variare di
τ
viene quindi determinata una famiglia a un parametro di riferimenti inerziali, cui ci si
riferisce con l'appellativo generico di riferimento di quiete. Detta
riferimento di quiete istantanea rispetto ad
cella nel riferimento
con
γ = γ(v).
I,
I,
v
la velocità del
ossia la velocità istantanea della parti-
il postulato degli orologi garantisce l'identicazione
γdτ = dt,
3.4 Quadrivelocità e quadriaccelerazione
Indicate con
v α = dxα /dt
27
v
le componenti di
nel sistema di coordinate
xi ,
quanto
detto comporta l'identicazione
X
3
∂
dxi
∂
α 2
2
2
(V, V ) = γ
(v ) − c =
,
=γ
∂xi p dt ∂xi p
α=1
1
= γ 2 v 2 − c2 =
v 2 − c2 = −c2
1 − v 2 /c2
2
dxi
dt
Come conseguenza otteniamo che:
•
il versore tangente a
p
diretto verso il futuro è
V
V
V
p
= p
=
c
− (V, V )
− (−c2 )
•
(3.35)
s lungo p coincide, a meno del fattore c, con il tempo proprio
ds = cdτ .
l'ascissa curvilinea
τ:
soddisfa cioè
In particolare, confrontando l'eq. (3.35) con la (3.11), otteniamo la rappresentazione
v
V
= γ e(4) +
=⇒ V = γ ce(4) + v
c
c
La conoscenza di
V
Denizione 3.4.2.
è quindi equivalente a quella di
La quadriaccelerazione di
A :=
Essendo
(V, V ) = cost,
p
v in qualsiasi riferimento inerziale.
è la derivata assoluta di
V
lungo
p
1
:
DV
Dτ
la quadriaccelerazione risulta ortogonale alla quadrivelocità.
Per le proprietà della derivata covariante risulta infatti
(A, V ) =
Detta
a
l'accelerazione di
1 Ricordiamo
DV
,V
Dτ
p
=
1 d
(V, V ) = 0
2 dτ
relativa ad
che, per denizione, la derivata
si operi in coordinate pseudo-cartesiane.
I
D
Dτ
=⇒
A⊥V
(3.36)
e ricordando il postulato degli orologi, si
coincide con la derivata ordinaria
d
dτ
ogniqualvolta
28
3. Spaziotempo di Minkowski
hanno inoltre le identicazioni
A=
DV
DV
D
=γ
=γ
γ ce(4) + v =
Dτ
Dt
Dt
Dv
= γ γ̇ ce(4) + v + γ 2
= γ̇ V + γ 2 a
Dt
Tramite la (3.37) valutiamo l'eetto degli operatori di proiezione su
PΣ (A) = γ γ̇ v + γ 2 a
In particolare, nel sistema di quiete istantanea di
PΣ (A) = a ,
PΘ (A) = γ γ̇ c
(3.37)
A:
(3.38)
p, l'eq. (3.38) implica l'identicazione
PΘ (A) = 0 ⇒ A = PΣ (A) = a
(3.39)
La quadriaccelerazione coincide pertanto con l'accelerazione ordinaria, valutata nel
riferimento di quiete istantanea.
Capitolo 4
Moto senza rotazione
4.1
Trasporto senza rotazione
Dopo aver stabilito il signicato dell'operatore
j
e introdotto le principali nozioni di
cinematica in ambito quadridimensionale, siamo in grado di stabilire sotto quali ipotesi
il moto di un corpo risulti intrinsecamente non rotatorio, e di descrivere come ciò
appaia nel giudizio di un generico riferimento inerziale.
Innanzi tutto, riprendiamo la nozione di riferimento di quiete istantanea lungo una
linea di universo
riferimento
Iτ
p.
τ , col
p(τ ).
Come già detto, tale riferimento coincide, ad ogni istante
identicato dal versore
e(4) (τ ) = V (τ )/c
tangente a
p
nel punto
In determinate circostanze (ad esempio, nel caso attualmente in studio, per dare
signicato operativo al concetto di rotazione di un corpo) può essere utile associare
a
Iτ
un sistema di coordinate pseudo-cartesiane centrate in
volte indicato, è suciente completare
tre versori
e(α) (τ ).
versore tangente a
e(4) (τ )
p(τ ):
a tal ne, come più
a base pseudo-ortonormale di
Ciò determina una base ortonormale mobile lungo
p
p,
V4
con
formata dal
e da una terna di assi spaziali centrati nella particella in moto.
Per aiutare l'intuizione, può essere utile materializzare la situazione, pensando ad
un corpo in movimento di dimensioni trascurabili, ma in grado di identicare ad ogni
istante tre direzioni spaziali mutuamente ortogonali: ad esempio tre sbarrette saldate
l'un l'altra ad angolo retto, o un piccolo ellissoide (non di rotazione).
Con queste premesse, cerchiamo adesso un criterio atto a caratterizzare la non rotazione del corpo.
Sottolineiamo che l'obiettivo è quello di stabilire un criterio in-
trinseco , da non confondere con quello di non rotazione nel giudizio di un assegnato
riferimento inerziale, concettualmente più semplice, ma privo dei necessari requisiti di
invarianza al variare del riferimento adottato.
29
30
4. Moto senza rotazione
Denizione 4.1.1.
Indichiamo con
[
⊥
V3 p =
e(4) (τ )
τ ∈R
R formato dalla totalità dei vettori ortogonali a e(4) (τ ) lungo p.
Ogni sezione X : R → V3 (p), ossia ogni campo vettoriale soddisfacente
X(τ ) ∈ e(4) (τ )⊥ ∀τ ∈ R, sarà detto un campo vettoriale spaziale lungo p.
il brato vettoriale su
Per ogni coppia
τ, τ 0 ∈ R,
introduciamo il versore
e(4) (τ ) + e(4) (τ 0 )
V (τ ) + V (τ 0 )
=
Z (τ, τ ) :=
ke(4) (τ ) + e(4) (τ 0 )k
kV (τ ) + V (τ 0 )k
0
e indichiamo con
j(τ,τ 0 ) := jZ(τ,τ 0 )
il corrispondente operatore di riessione, chiaramente
legato allo studio delle trasformazioni tra i riferimenti
Denizione 4.1.2.
lungo
p
Un campo vettoriale spaziale
X
Iτ
e
Iτ 0 .
è detto trasportato senza rotazione
se
X (τ + δτ ) − j(τ,τ +δτ ) (X (τ ))
=0
∀τ ∈ R
δτ →0
δτ
ossia se la dierenza X (τ + δτ ) − j(τ,τ +δτ ) (X (τ )) è innitesima di ordine
δτ per δτ → 0 1 .
lim
Proposizione 4.1.1.
lungo
p
Un campo vettoriale spaziale
X
(4.1)
superiore a
è trasportato senza rotazione
se e solo se
PΣ
D
dove Dτ è la derivata assoluta lungo
p,
DX
Dτ
e
PΣ
=0
l'operatore di proiezione associato a
Dimostrazione. In virtù della denizione 3.3.3 dell'operatore
j
Iτ .
abbiamo:
e(4) (τ ) + e(4) (τ + δτ )
j(τ,τ +δτ ) (X (τ )) = X(τ ) + 2 X(τ ) ,
Z(τ, τ + δτ )
ke(4) (τ ) + e(4) (τ + δτ )k
Essendo per ipotesi
X(τ ), e(4) (τ ) = 0
nulla vieta di riscrivere l'espressione a
secondo membro nella forma più conveniente
e(4) (τ ) + e(4) (τ + δτ )
X(τ ) + 2 X(τ ), e(4) (τ + δτ ) − e(4) (τ )
ke(4) (τ ) + e(4) (τ + δτ )k2
1 Tale
dierenza è interpretabile intuitivamente come la rotazione innitesima subita dal vettore X
tra gli istanti τ e τ + δτ .
4.2 Trasporto di FermiWalker
31
In tal modo, la condizione di trasporto senza rotazione si riscrive
X(τ + δτ ) − X(τ )
=
δτ →0
δτ lim
e(4) (τ + δτ ) − e(4) (τ )
= lim 2 X(τ ) ,
δτ →0
δτ
e(4) (τ ) + e(4) (τ + δτ )
ke(4) (τ ) + e(4) (τ + δτ )k2
Utilizzando l'identità
e(4) (τ ) + e(4) (τ + δτ )
1
= e(4) (τ )
2
δτ →0 ke(4) (τ ) + e(4) (τ + δτ )k
2
lim
e passando al limite otteniamo:
De(4)
DX
, e(4) e(4)
X,
e(4) = −
Dτ
Dτ
l'ultima uguaglianza essendo conseguenza dell'identità X, e(4) = 0.
DX
k e(4) , da cui la tesi.
segue immediatamente
Dτ
DX
=
Dτ
(4.2)
Dall'eq. (4.2)
Per mezzo della Proposizione 4.1.1 abbiamo convertito il contenuto della Denizione
4.1.2 in una più immediata, e probabilmente anche più naturale (vedi la (4.1)),
espressione dierenziale.
4.2
Trasporto di FermiWalker
Generalizziamo quanto visto nel paragrafo precedente mediante la seguente
Denizione 4.2.1.
denito lungo
p,
Detto
X
un campo vettoriale (non necessariamente spaziale)
deniamo
DF W X
= PΣ
Dτ
L'operatore
vettoriale
X
DPΣ (X)
Dτ
+
DPΘ (X)
e(4)
Dτ
DF W
prende il nome di derivata di FermiWalker lungo p. Un campo
Dτ
DF W X
soddisfacente
= 0 è detto trasportato secondo FermiWalker lungo
Dτ
p.
Vediamo alcune conseguenze della Denizione 4.2.1. Grazie alla Proposizione 4.1.1,
per i campi vettoriali spaziali (che soddisfano l'evidente identità
PΣ (X) = X )
il
32
4. Moto senza rotazione
trasporto di FermiWalker coincide col trasporto senza rotazione.
In questo senso,
la Denizione 4.2.1 si può considerare un'estensione della 4.1.2.
In generale, per denizione, un campo vettoriale generico soddisfa la condizione
DF W X
= 0 se la componente spaziale è trasportata senza rotazione e se la compoDτ
nente temporale (che è in eetti uno scalare nel senso spaziale del termine) è costante.
In questo senso, un vettore trasportato secondo FermiWalker costituisce la naturale
generalizzazione del concetto di vettore avente la parte spaziale e la parte temporale
costanti nel giudizio del riferimento di quiete istantanea.
Osserviamo che il versore
DF W e(4)
identicamente
Dτ
= 0,
e(4) ,
o equivalentemente, la quadrivelocità di
p,
soddisfa
ed è quindi trasportato secondo FermiWalker lungo
Esplicitiamo la condizione di trasporto per un campo vettoriale generico
dando la scomposizione in somma diretta
V4 = V3 ⊕ L(e(4) ),
l'equazione
X.
DF W X
Dτ
p.
Ricor-
=0
è
equivalente alla coppia di condizioni:
DPΣ (X)
+
Dτ
DPΣ (X)
, e(4) e(4) = 0
Dτ
DPΘ (X)
=0
Dτ
Queste possono essere raccolte nella singola relazione:
DPΣ (X)
D
DX
=
+
PΘ (X) e(4) =
Dτ
Dτ
Dτ
De(4)
DPΣ (X)
, e(4) e(4) − X, e(4)
=
=−
Dτ
Dτ
De(4)
De(4)
= PΣ (X) ,
e(4) − X, e(4)
=
Dτ
Dτ
De(4)
De(4)
=
= X,
e(4) − X, e(4)
Dτ
Dτ
i
1 DV V
V 1 DV
1h
= X,
− X,
= 2 (X, A) V − (X, V ) A
c Dτ
c
c c Dτ
c
Proposizione 4.2.1.
V4 ,
La derivata di FermiWalker commuta con il prodotto scalare di
ossia per ogni coppia
(4.3)
X, Y
di campi vettoriali deniti lungo
DF W X
,Y
Dτ
p
DF W Y
d
+ X,
=
(X, Y )
Dτ
dτ
vale la relazione
4.2 Trasporto di FermiWalker
33
Dimostrazione. Per ogni coppia di campi vettoriali
X, Y
lungo
p
sussiste la seguente
catena di uguaglianze, da cui segue direttamente la tesi:
DF W X
DF W Y
DPΣ (X)
DPΘ (X)
, Y + X,
= PΣ
+
e(4) , Y +
Dτ
Dτ
Dτ
Dτ
DPΣ (Y )
DPΘ (Y )
+ X, PΣ
+
e(4) =
Dτ
Dτ
DPΣ (X)
DPΣ (X)
DPΘ (X)
=
+
, e(4) e(4) +
e(4) , PΣ (Y ) + PΘ (Y )e(4) +
Dτ
Dτ
Dτ
DPΣ (Y )
DPΘ (Y )
DPΣ (Y )
+
, e(4) e(4) +
e(4) =
+ PΣ (X) + PΘ (X)e(4) ,
Dτ
Dτ
Dτ
D
D
DPΘ (X)
=
PΣ (X), PΣ (Y ) + PΣ (X),
PΣ (Y ) −
PΘ (Y )+
Dτ
Dτ
Dτ
d
DPΘ (X)
DPΘ (Y )
=
(PΣ (X), PΣ (Y )) −
PΘ (Y )+
Dτ
dτ
Dτ
DPΘ (Y )
d
d
− PΘ (X)
=
[(PΣ (X), PΣ (Y )) − PΘ (X)PΘ (Y )] =
(X, Y )
Dτ
dτ
dτ
− PΘ (X)
Nota 4.2.1.
a
τ
Se si preferisce descrivere la curva
da una trasformazione invertibile
τ = τ (ξ),
p
in termini di un parametro
=
dτ DF W
. In particolare, se
dξ Dτ
legato
la legge di derivazione delle funzioni
composte consente di denire la derivata di FermiWalker rispetto a
DF W
Dξ
ξ
ξ
nella forma
t indica la variabile temporale relativa ad un qualsiasi
riferimento inerziale, sussiste la relazione:
1 DF W
DF W
=
Dt
γ Dτ
Proposizione 4.2.2.
L'operatore
termini, per ogni campo vettoriale
C ∞ sussiste la relazione:
DF W
soddisfa l'usuale regola di Leibniz . In altri
Dt
X
lungo
p
e per ogni funzione
f = f (t)
di classe
DF W f X
df
DF W X
= X +f
Dt
dt
Dt
Dimostrazione. Per la Denizione 4.2.1 e le proprietà della derivazione covariante,
34
4. Moto senza rotazione
possiamo scrivere la catena di uguaglianze seguente da cui si deduce la tesi.
DF W f X
D PΣ (f X)
D PΘ (f X)
D f PΣ (X)
D f PΘ (X)
= PΣ
+
e(4) = PΣ
+
e(4) =
Dt
Dt
Dt
Dt
Dt
df
D PΣ (X)
df
DPΘ (X)
= PΣ
PΣ (X) + f
+ PΘ (X) e(4) + f
e(4) =
dt
Dt
dt
Dt
df DF W X
df
DF W X
=
PΣ (X) + PΘ (X) e(4) + f
= X +f
dt
Dt
dt
Dt
Tornando al problema originario, concludiamo che una terna ortonormale spaziale
e(α) (τ )
e(α) (τ ) è
De(α)
= 0,
trasportato secondo FermiWalker lungo p, ossia se sussistono le relazioni PΣ
Dτ
α = 1, 2, 3.
4.3
identica un riferimento non ruotante lungo
p
se ciascun versore
Il moto iperbolico
Come primo esempio di utilizzo del trasporto di FermiWalker, studiamo il caso in
cui la quadriaccelerazione
A
associata ad una linea di universo
p
subisca trasporto di
FermiWalker lungo
p.
Denizione 4.3.1.
Il moto di una particella descritto da una linea di universo
A tale riguardo introduciamo la seguente
è detto iperbolico se la corrispondente quadriaccelerazione
FermiWalker lungo
p,
A
è trasportata secondo
ossia se
DF W A
= 0
Dτ
(4.4)
Ricordiamo che, grazie alla (3.39), la quadriaccelerazione
azione di
p
p
A
è identica all'acceler-
nel riferimento di quiete istantanea. Pertanto, per il signicato stesso di
trasporto di FermiWalker, i moti iperbolici rappresentano la controparte relativistica
dei moti ad accelerazione costante in Fisica classica.
Esaminiamo in dettaglio la situazione. Essendo
(A , V ) = 0,
per la (4.3) la richiesta
(4.4) porta all'equazione dierenziale
DA
1
= 2 (A, A) V
Dτ
c
(4.5)
Sfruttando ancora le proprietà (3.36) e (3.39), grazie alle note proprietà della
4.3 Il moto iperbolico
35
derivata assoluta si ricava:
d
DA
2
(A, A) = 2 A ,
= 2 (A, A) (A, V ) = 0 =⇒ (A, A) = a2 = cost
dτ
Dτ
c
Sostituendo nella (4.5),
second'ordine nell'incognita
otteniamo così la seguente equazione dierenziale del
V:
D2 V
a2
DA
= 2V
=
Dτ 2
Dτ
c
Ricordando la condizione di normalizzazione
(4.6)
(V, V ) = −c2 , si verica facilmente che
l'eq. (4.6) ammette l'integrale generale
V (τ ) = V0 cosh
con
aτ
aτ
+ cK0 sinh
c
c
(V0 , V0 ) = −c2 , K0 ⊥ V0 , kK0 k = 1.
(4.7)
Infatti, dalle proprietà delle funzioni
iperboliche, risulta:
a2
aτ
a2
aτ
a2
D2 V
=
V
cosh
+
cK
sinh
=
V
0
0
Dτ 2
c2
c
c2
c
c2
e
aτ
aτ
(V, V ) = (V0 , V0 ) cosh2
+ c2 (K0 , K0 ) sinh2
=
c
c
2 aτ
2 aτ
2 aτ
2 aτ
2
2
2
= −c cosh
+ c sinh
= −c cosh
− sinh
= −c2
c
c
c
c
Consideriamo ora un riferimento inerziale
I
con coordinate adattate
x1 , . . . , x 4 .
Mediante integrazione della (4.7) ricaviamo le equazioni nite di movimento:
xi (τ ) − xi0 =
c i
aτ
aτ
c2 i
V0 sinh
+
K0 cosh
a
c
a
c
Senza ledere la generalità, scegliendo opportunamente il sistema I , possiamo sempre
2
ridurci al caso in cui risulti V0 = ce(4) , K0 = e(1) e x0 = (−c /a, 0, 0, 0). Si ottiene in
tal caso:
x1 (τ ) =
c2
aτ
c2
cosh
− ,
a
c
a
x2 (τ ) = x3 (τ ) = 0,
ct(τ ) =
c2
aτ
sinh
a
c
36
4. Moto senza rotazione
da cui anche
2
c2
c4
1
x +
− c2 t 2 = 2
a
a
Il diagramma orario del moto è quindi un'iperbole equilatera nel piano
x1 , x 4 ,
la
qual cosa giustica il termine moto iperbolico.
Esplicitiamo la variabile spaziale nell'espressione precedente
r
x1 =
La velocità
s

2
2
2
c4
c
c
at
=  1+
− 1
+ c2 t2 −
a2
a
a
c
v della particella nel giudizio di I
v=
1
dx
e(1)
dt
(4.8)
assume quindi il valore
a2 t
2
c
at
s c e(1) = s
=
2 e(1)
2
a
at
at
1+
1+
c
c
2
(4.9)
da cui si deduce che
lim v = c
t→∞
t → ∞ la velocità v della particella tende al valore nito c indipenvalore di a, in contrasto con le previsioni della Meccanica newtoniana,
In altri termini, per
dentemente dal
ma in pieno accordo con quelle dello schema relativistico.
Al tempo stesso, constatiamo che l'approssimazione classica è corretta per
la qual cosa, in virtù della (4.9), equivale a
v c.
at c,
Riscriviamo infatti l'espressione
(4.8) trascurando i termini della serie di Taylor di ordine
≥3
c2
1 a2 t2
1
x =
1+
− 1 = at2
2
a
2 c
2
1
Ciò prova che, a basse velocità, il moto iperbolico è in eetti un moto ad accelerazione
costante nel senso classico del termine.
4.4
La precessione di Thomas
Nel contesto del Ÿ 4.1, consideriamo una terna spaziale
lungo una linea di universo
p.
e(α)
trasportata senza rotazione
Vogliamo stabilire con quale velocità angolare
terna sia vista ruotare nel giudizio di un assegnato osservatore inerziale I.
ω
tale
4.4 La precessione di Thomas
ê(4)
A tal proposito, siano
{ê(1) , . . . , ê(4) }
Posto
Z =
in
V (τ )
quello
c
Consideriamo inoltre un sistema di coordinate
il versore temporale di
del sistema di quiete istantanea
pseudo-cartesiane adattate ad
37
I,
Iτ .
ossia completiamo
I,
ê(4)
ed
e(4) (τ ) =
a base pseudo-ortonormale
V4 .
ê(4) +e(4) (τ )
, sia
kê(4) +e(4) (τ )k
istante, ai riferimenti
I
e
j = jZ
l'operatore di riessione associato, istante per
Iτ .
In virtù del Teorema 3.3.3, sappiamo che la terna e(α) (τ ) individua per ogni valore
⊥
di τ una base ortonormale j e(α) (τ ) in ê(4) , non ruotata rispetto alla e(α) .
Al ne di determinare
ω occorre studiare la rotazione fra le basi ê(α) e e(α) .
Come già
osservato, la cosa non si può fare direttamente, in quanto, dal punto di vista spaziale,
tali basi non generano il medesimo tri-spazio. Possiamo però utilizzare il fatto che la
di
I
j e(α)
è, istante per istante, non ruotata rispetto alla e(α) ed è ubicata nello
⊥
stesso tri-spazio e(4) . Precisamente, j e(α) rappresenta la base nel tri-spazio di quiete
terna
che insegue la rotazione della terna solidale al corpo in movimento.
Indichiamo con
R
soddisfa la relazione
riferimento
la matrice di rotazione che lega le terne
j e(α) = Rαβ ê(β) ,
e con
Ṙ
la derivata di
j e(α) e ê(α) , ossia che
R rispetto al tempo nel
I.
Teorema 4.4.1.
Con le notazioni precedenti, dette
velocità e l'accelerazione di
t
p
nel riferimento
RṘ
µβ
=
I,
v = vα ê(α)
e
a=
sussiste la relazione
dv
= aα ê(α)
dt
γ2
(aµ vβ − vµ aβ )
(1 + γ)c2
Dimostrazione. La matrice di rotazione
R
soddisfa per denizione:
j e(α) = Rαβ ê(β) =⇒ Rαβ = j e(α) , ê(β) = e(α) , j ê(β)
=⇒
=⇒ e(α) = Rαβ j ê(β)
Tenuto conto dell'eq. (4.2), e indicando con
τ
il tempo proprio lungo
p,
calcoliamo
De(α)
dRαβ
d
D
=
e(α) , j ê(β) =
, j ê(β) + e(α) ,
j ê(β)
=
dτ
dτ
Dτ
Dτ
De(4)
D
=
e(α) ,
e(4) , j ê(β) + e(α) ,
ê(β) + 2 ê(β) , Z Z
Dτ
Dτ
la
38
4. Moto senza rotazione
Essendo
j ê(β) ∈ e⊥
(4)
e
ê(β)
una terna ssa otteniamo:
D
D
e(α) ,
2 ê(β) , Z Z
= 2 Rαλ j ê(λ) ,
Dτ
Dτ
D
= 2Rαλ ê(λ) , j
ê(β) , Z Z
=
Dτ
DZ
DZ
= 2Rαλ ê(λ) , j
ê(β) ,
Z + ê(β) , Z
Dτ
Dτ
dRαβ
=
dτ
ê(β) , Z Z
=
Osserviamo adesso che dalle proprietà dell'operatore j segue l'identità
DZ
DZ
Essendo Z un versore si ha inoltre
⊥ Z , e quindi anche j DZ
= Dτ .
Dτ
Dτ
Stante il carattere ortogonale di
R
j(Z) = −Z .
possiamo allora scrivere
DZ
dRαβ
DZ
Rαµ
= 2Rαµ Rαλ ê(λ) , j
ê(β) ,
Z + ê(β) , Z
=
dτ
Dτ
Dτ
DZ
DZ
ê(β) , Z − ê(β) ,
ê(µ) , Z
=
=2
ê(µ) ,
Dτ
Dτ
d
d
ê(µ) , Z − ê(µ) , Z
ê(β) , Z
= 2 ê(β) , Z
dτ
dτ
Grazie alle identicazioni (cfr. eq. (3.23))
Z=
(1 + γ) ê(4) + γ vc
p
,
2(1 + γ)
d
d
=γ
dτ
dt
otteniamo inne:
t
RṘ
µβ
dRαβ
= Rαβ
=
" dt
#
ê(µ) , γ vc d ê(β) , γ vc
ê(β) , γ vc d ê(µ) , γ vc
2
p
p
p
=
− p
=
γ
2(1 + γ) dτ 2(1 + γ)
2(1 + γ) dτ 2(1 + γ)
"
#
2γ
γ vβ
d
γ vµ
γ vµ
d
γ vβ
p
p
p
=
=
− p
γ c 2(1 + γ) dt c 2(1 + γ) c 2(1 + γ) dt c 2(1 + γ)
γ2
γ2
=2
(v
a
−
v
a
)
=
(aµ vβ − vµ aβ )
β µ
µ β
2c2 (1 + γ)
(1 + γ)c2
Abbiamo inne gli strumenti necessari per il calcolo di
ω.
4.5 La precessione dello spin
Corollario 4.4.1.
39
ω con cui l'osservatore I
ruotante e(α) è data da
La velocità angolare
terna d'assi intrinsecamente non
ω=
dove il simbolo
∧
γ2
(1 + γ)c2
a∧v
rappresenta il prodotto vettoriale nello spazio
Dimostrazione. Indicando con
j e˙(α)
vede ruotare una
la derivata di
j e(α)
V3 = ê⊥
(4)
rispetto a
t
la denizione
stessa di velocità angolare comporta l'identicazione
1
1
ω = j e(α) ∧ j e˙(α) = j e(α) ∧ Ṙαβ ê(β) =
2
2
1
1
= Rαµ Ṙαβ ê(µ) ∧ ê(β) = t R Ṙ µβ ê(µ) ∧ ê(β)
2
2
(4.10)
Grazie al Teorema 4.4.1 giungiamo così all'espressione nale
ω=
4.5
1
γ2
γ2
(a
v
−
v
a
)
ê
∧
ê
=
a∧v
µ
β
µ
β
(µ)
(β)
2 (1 + γ)c2
(1 + γ)c2
La precessione dello spin
Discutiamo alcuni risultati che interverranno negli sviluppi successivi.
Il primo,
riguardante un'estensione relativistica della formula di Poisson, è espresso dal seguente
Teorema 4.5.1.
p,
e
ω
Siano
p
una linea di universo,
la velocità angolare di Thomas di
dichiamo con
t
la coordinata temporale di
istante per istante, a
I
X
un campo vettoriale spaziale lungo
p relativa a un riferimento inerziale I . InI e con j l'operatore di riessione associato,
e al riferimento di quiete istantanea. Allora
FW d
D X
j(X) = j
+ ω ∧ j(X)
dt
Dt
Dimostrazione. Secondo il procedimento seguito nel Ÿ 4.4 indichiamo con e(α) una terna
ortonormale non ruotante lungo
relativo ad
I.
p e con ê(α) una terna ortonormale (ssa) nel trispazio
Poniamo
j e(α) = Rαβ ê(β) ,
X = Xα e(α) ,
X̂β = Xλ Rλβ ,
con
R ∈ SO(3)
40
4. Moto senza rotazione
Allora:
j(X) = Xα j e(α) = Xα Rαβ ê(β) = X̂β ê(β) ,
Come abbiamo visto, l'operatore
carattere spaziale nel riferimento
d
j(X) =
dt
I.
j
trasforma il vettore
Xα = Rαβ X̂β
X
nel vettore
j(X),
avente
Ha quindi perfettamente senso l'espressione
dXα
dXα
Rαβ + Xα Ṙαβ ê(β) =
j e(α) + Rαλ Ṙαβ X̂λ ê(β)
dt
dt
e(α)
In virtù della Proposizione 4.2.2, utilizzando il fatto che
(4.11)
è una terna non
ruotante, abbiamo inoltre:
DF W X
j
Dt
DF W
dXα
dXα
=j
Xα e(α) = j
e(α) =
j e(α)
Dt
dt
dt
(4.12)
Ricordando l'espressione (4.10) della velocità angolare otteniamo
ω=
1 t
R Ṙ λµ ê(λ) ∧ ê(µ) =⇒ ω · ê(λ) ∧ ê(µ) =
2
t
R Ṙ
λµ
Da questa deduciamo
Rαλ Ṙαβ X̂λ ê(β) = ω · ê(λ) ∧ ê(β) X̂λ ê(β) = ê(β) · ω ∧ X̂λ ê(λ) ê(β) =
= ω ∧ X̂λ ê(λ) = ω ∧ j(X)
(4.13)
Inne dalle relazioni (4.11), (4.12) e (4.13) si ottiene immediatamente la tesi.
Corollario 4.5.1.
Walker lungo
p
δ
Nelle ipotesi precedenti, indicando con δτ la derivata di Fermi
rispetto al tempo proprio, risulta:
d
1
δX
j(X) = j
+ ω ∧ j(X)
dt
γ
δτ
Ricordiamo inne un risultato riguardante le proprietà di trasformazione del campo
elettromagnetico.
v la velocità di I 0 rispetto a I .
Supponiamo che in I sia presente un campo elettrostatico E e campo magnetico nullo.
Teorema 4.5.2.
Siano
I, I0
due riferimenti inerziali, e
4.5 La precessione dello spin
Allora nel riferimento
I0
41
è presente un campo magnetico
B0 dato da 2
B0 = − cγ2 j (v ∧ E)
e1 , . . . , e(4) e e01 , . . . , e0(4) due basi pseudoortonormali di V4 as
0
sociate rispettivamente a I , I e soddisfacenti j e(α)
= e0(α) . Sia e0(i) = e(j) Λji la
↑
0
trasformazione tra le basi, con Λ ∈ L . Come già sappiamo, essendo j e(α) = e(α) ,
Λ descrive una trasformazione di Lorentz pura. Nel riferimento I , utilizzando la base
e(i) , il tensore elettromagnetico F avrà la forma
Dimostrazione. Siano

0
B3

 −B 3
0
F ij = 
 B 2 −B 1


−B 2 −E 1 /c

B 1 −E 2 /c

0
−E 3 /c

E 1 /c E 2 /c E 3 /c
0
Per denizione, risulta
B =
0
B 0 α e0(α)
1 0 αβ 0
1 0 αβ
0
= F e(α) ∧ e(β) = j F e(α) ∧ e(β)
2
2
D'altronde, per eetto della trasformazione di Lorentz, sussiste la relazione
F 0 αβ = Λαi Λβj F ij = Λα4 Λβµ F 4µ + Λαµ Λβ4 F µ4 =
Λα4 Λβµ − Λαµ Λβ4
Eµ
c
matematicamente equivalente a
Eµ
µ
1 α β
α
α β
β E
B = j Λ 4Λ µ − Λ µΛ 4
e(α) ∧ e(β) = j Λ 4 e(α) ∧ Λ µ
e(β)
2
c
c
0
Ma, essendo
Λ
una trasformazione pura
v
vα
= −γ
e(α) = −γ
c
c
µ
2
1
γ
β E
Λµ
e(β) =
E + 2 v·E v
c
c
c
Λα4 e(α)
µ
⇒ Λα4 e(α) ∧ Λβµ E e(β) = − γ v ∧ E
c
c2
da cui la tesi.
2 Si
noti il coinvolgimento dell'operatore j , necessaria per convertire il vettore
al tri-spazio di quiete di I , in un vettore spaziale nel riferimento I 0 .
v ∧ E , appartenente
42
4. Moto senza rotazione
A conclusione dell'argomento presentiamo un esempio concreto di applicazione dei
concetti descritti nora.
Anché le correzioni che la precessione di Thomas appor-
ta ai valori della velocità angolare siano sicamente apprezzabili, è necessario che
siano soddisfatte due condizioni:
in primo luogo occorre che la particella in stu-
dio possa essere portata a velocità molto elevate, in modo che gli eetti relativistici siano sperimentalmente apprezzabili (si veda, in particolare, l'espressione di
ω
nel
Corollario 4.4.1).
Inoltre si deve poter associare al corpo in questione, istante per istante, un vettore spaziale, del quale si dovrà calcolare sia la velocità angolare intrinseca, sia quella
percepita da un osservatore inerziale.
Queste condizioni sono soddisfatte, ad esempio, da un elettrone immerso in un campo elettrico, prendendo espressamente in considerazione il momento angolare intrinseco
(spin) dell'elettrone stesso. Analizziamo la situazione in dettaglio.
In un riferimento inerziale
I
si consideri un elettrone mobile in un campo elettro-
statico (ad esempio, fra le armatura di un condensatore o in orbita intorno al nucleo
atomico). Come conseguenza del Teorema 4.5.2, nel riferimento di quiete istantanea
0
dell'elettrone è presente un campo magnetico
= − cγ2 j ∧ , essendo la velocità
B
dell'elettrone nel riferimento
Indichiamo con
s
v E
v
I.
lo spin dell'elettrone, avente carattere spaziale nel riferimento
µ il corrispondente momento magnetico, legato a s dalla
µ = − me0 s, essendo e e m0 rispettivamente la carica e la
di quiete istantanea, e con
relazione fenomenologica
massa a riposo dell'elettrone.
Grazie al principio di corrispondenza, nel riferimento di quiete istantanea vale la
seconda equazione cardinale
e 0
δs
γe
= µ ∧ B0 =
B ∧s=−
j
v
∧
E
∧s
δτ
m0
m0 c2
Applicando ora il Teorema 4.5.1 e il Corollario 4.4.1 otteniamo:
γe
−
(v ∧ E) ∧ j(s) = j
m 0 c2
δs
δτ
=γ
d
j(s) − γω ∧ j(s)
dt
(4.14)
da cui segue che
d
j(s) =
dt
ω−
2
e
1
γ
eE
v ∧ E ∧ j(s) = 2
a∧v+
∧ v ∧ j(s)
m0 c2
c γ+1
m0
(4.15)
4.5 La precessione dello spin
Inoltre, nel riferimento
I
43
risulta
d
dm
e
mv = F = −eE =⇒ ma +
v = −eE =⇒ a ∧ v = − E ∧ v
dt
dt
m
Utilizzando il legame
m = γm0
tra massa relativistica e massa di riposo riscriviamo la
(4.15) tenendo conto di quanto appena visto:
d
1
j(s) = 2
dt
c
γ
−
+1
γ+1
eE
1
e
∧ v ∧ j(s) = 2
(E ∧ v) ∧ j(s)
m0
c (γ + 1) m0
Confrontando ora con la (4.14) otteniamo la relazione
d
1
δs
1
δs
j(s) =
j
' j
dt
γ (γ + 1)
δτ
2
δτ
Pertanto l'evoluzione di
s nel giudizio del riferimento inerziale risente del fenomeno di
precessione, dimezzando l'eetto dell'interazione tra spin e campo elettromagnetico, in
pieno accordo coi risultati sperimentali di Thomas descritti nell'Introduzione.
Bibliograa
[1] L.H. Thomas, The motion of the spinning electron, Nature, 1926.
[2] C. Møller The theory of relativity, Oxford University Press, 1972.
[3] E. Massa, S. Pasquero Lorentz Transformations and Reection Operators in
Minkowski Space-time, Università di Genova, 1991.
[4] W. Rindler Essential relativity: special, general, and cosmological, Springer Verlag,
1977.
[5] E. Massa Appunti di Relatività Speciale, Università di Genova, 2009.
[6] A. O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles,
Macmillan, 1964.
[7] L. D. Landau, E. M. Lif²its, Teoria dei Campi, Mir, 1981.
[8] C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, Freeman, 1973.
45