I Giochi di Archimede - Gara Triennio

PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA
U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA
MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE
SCUOLA NORMALE SUPERIORE
I G iochi di A rchim ede - G ara Triennio
19 novembre 2008
4) Su Marte, il Gran Ciambellano dell’Istruzione Marziana ha dichiarato che il prossimo anno scolastico ridurrà del 30% il numero dei maestri di scuola e che a coloro
che rimarranno in servizio lo stipendio sarà aumentato del 35%. La spesa complessiva per gli stipendi dei maestri quindi:
(A) si ridurrà del 5,5%, (B) si ridurrà del 5%, (C) aumenterà del 5%,
(D) resterà invariata, (E) aumenterà del 7%.
1) La prova consiste di 25 problemi; ogni domanda è seguita da cinque risposte indicate 5) In un triangolo rettangolo ABC i cateti BC e CA misurano 7 cm e 24 cm rispettivamente. Sia H la proiezione di C sull’ipotenusa AB. Quanto vale il perimetro
con le lettere A, B, C, D, E.
del triangolo HBC?
2) Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono errate. Ogni risposta corretta
501
392
801
412
(A) 262
vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza
25 cm, (B) 49 cm, (C) 25 cm, (D) 49 cm, (E) 25 cm.
risposta vale 1 punto.
6) Per quanti valori distinti del numero reale b l’equazione
3) Per ciascuno dei problemi devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta
che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancelx2 + bx − 16 = 0 ,
lature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l’uso di alcun tipo di
ha due soluzioni reali (eventualmente coincidenti) e queste sono entrambe numeri
calcolatrice.
interi?
4) Il tempo totale che hai a disposizione per svolgere la prova è un’ora e mezza. Buon
(A) Due, (B) tre, (C) quattro, (D) cinque, (E) sei.
lavoro e buon divertimento.
Nome
Classe
Cognome
7) In un foglio a quadretti in cui il lato di un quadretto
è 2 cm, sono disegnati due cerchi come nella figura
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
a fianco. La misura della minima distanza tra i due
cerchiÏ:
√
10 cm, (B) 3 cm,
(C) ( 10+3) cm, (D)
(A)
√
√
1) Un pilota vuole stabilire un nuovo record su un percorso di 50 km: percorrerlo alla
( 10 − 2) cm, (E) ( 10 − 3) cm.
velocità media di 100 km/h. A causa di alcuni problemi tecnici impiega 40 minuti
per percorrere i primi 25 km. A quale velocità deve percorrere il resto del percorso 8) Per ogni numero naturale n indichiamo con Sn la somma dei primi dieci multipli
di n: ad esempio S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Quanto vale
(andando a velocità costante) per riuscire nel suo intento?
S1 + S2 + S3 + . . . + S10 ?
(A) Nessuna velocità glielo consente, (B) 50 km/h, (C) 100 km/h, (D) 150
(A) 2925, (B) 3025, (C) 3125, (D) 3225, (E) 3325.
km/h, (E) 200 km/h.
9)
2) Alberto, Barbara e Clara giocano in un grande piazzale dove ci sono 2008 birilli.
Alberto butta giù il triplo dei birilli buttati giù da Barbara, che a sua volta butta
giù il doppio dei birilli buttati giù da Clara. Quanti birilli al massimo può aver
buttato giù Alberto?
(A) 1321, (B) 1338, (C) 1342, (D) 1353, (E) 1362.
10)
Un quadrilatero ABCD ha le diagonali perpendicolari tra loro ed è inscritto in
una circonferenza c di diametro AC. L’area e il perimetro del quadrilatero sono
rispettivamente 48 cm2 e 28 cm. Quanto misura il raggio della circonferenza c?
(A) 4 cm, (B) 5 cm, (C) 6 cm, (D) 7 cm, (E) 8 cm.
Uno studente di Fibonacci inventò una sequenza di numeri definita in questo modo:
il primo e il secondo numero della sequenza sono 0 e 1 rispettivamente; ogni numero
3) Pietro e Paolo festeggiano il loro onomastico in pizzeria con i loro amici. Alla
della sequenza, dal terzo in poi, è pari alla somma di tutti i numeri che lo precedono
fine della cena il conto viene diviso in parti uguali tra tutti i presenti e ciascuno
(lui escluso!). Qual è il quindicesimo numero della sequenza?
dovrebbe pagare 12 Euro. Con grande generosità però, gli amici decidono di offrire
(A) 377, (B) 2084, (C) 2584, (D) 3012, (E) 4096.
la cena a Pietro e Paolo; il conto viene nuovamente diviso in parti uguali tra gli
!
√
√
3
45 + 29 2 = m + n 2. Quanto
amici di Pietro e Paolo (cioè tutti i presenti esclusi Pietro e Paolo), e ciascuno di 11) n e m sono due numeri interi positivi per cui:
vale m + n?
loro paga 16 Euro. Quanti sono gli amici di Pietro e Paolo?
(A) 3, (B) 4, (C) 5, (D) 6, (E) 7.
(A) 6, (B) 8, (C) 10, (D) 12, (E) 16.
12) La media aritmetica di ventisette numeri naturali consecutivi è 2008. Quanto vale 20) Le caselle di una scacchiera quadrata sono numerate
il più piccolo tra essi?
come illustrato nella figura a fianco. Nella seconda
(A) 1995, (B) 1997, (C) 1999, (D) 2001, (E) 2004.
colonna si trova la casella numero 38 e la casella della
terza colonna che sta sulla sua stessa riga ha il nu13) Sia N il più grande tra i numeri naturali n che verificano la disuguaglianza
mero 43. Quante caselle ha la scacchiera?
(A) 144, (B) 160, (C) 225, (D) 400, (E)
n
6024
<
.
625.
n+1
6027
1
2
21) Ogni volta che Agilulfo torna a casa da scuola dopo aver preso un brutto voto, se la
sua mamma è in casa lo mette in punizione. Sapendo che ieri pomeriggio Agilulfo
non è stato messo in punizione, quale delle seguenti affermazioni è certamente vera?
14) Quante sono le terne ordinate distinte (x, y, z) formate da numeri interi positivi
(A) ieri Agilulfo ha preso un brutto voto, (B) ieri Agilulfo non ha preso un brutto
(strettamente maggiori di zero) tali che
voto, (C) ieri pomeriggio la sua mamma era in casa, (D) ieri pomeriggio la sua
mamma non era in casa, (E) nessuna delle precedenti affermazioni è certamente
2
2
2
x + 2xy + y − z = 9 ?
vera.
Qual è la somma delle cifre di N ?
(A) 6, (B) 7, (C) 8, (D) 9, (E) 10.
(A) Nessuna, (B) due, (C) tre, (D) quattro, (E) più di sei.
15) Quanti sono i numeri interi positivi multipli di almeno uno tra 5 e 7 e minori o
uguali a 1000?
(A) 288, (B) 302, (C) 314, (D) 342, (E) 382.
22) La Polisportiva “I tropici” ha organizzato un torneo di calcio a cui partecipano 3
squadre ciascuna composta da 15 giocatori (riserve comprese) con maglie numerate
da 1 a 15. La notte prima delle partite ha nevicato e per poter giocare è necessario
spalare la neve dal campo. Viene deciso allora di nominare un gruppo di 3 spalatori
scegliendo un giocatore per squadra in modo che non ci siano due giocatori con lo
stesso numero di maglia. In quanti modi diversi può essere formato il gruppo degli
spalatori?
(A) 48, (B) 455, (C) 1125, (D) 2730, (E) 3375.
16) In un sacchetto ci sono 20 palline e su ciascuna è scritto un numero intero compreso
tra 0 e 10 (0 e 10 inclusi). Il numero scritto su ogni pallina se non è zero è la somma
dei numeri scritti su tutte le altre palline. Allora le palline su cui è scritto zero
sono:
23) Su un foglio del quaderno di Carlo c’è un rettangolo con due lati gialli di 24 cm e
(A) non più di cinque, (B) dieci, (C) tredici, (D) sedici, (E) almeno
due lati rossi di 36 cm. Carlo colora ogni punto del rettangolo dello stesso colore
diciotto.
del lato più vicino al punto stesso. Quale sarà l’area della parte del rettangolo
colorata di giallo?
17) La figura a fianco è la pianta di un quartiere: i punti A, B, C e D
B
(A) 144 cm2 , (B) 288 cm2 , (C) 364 cm2 , (D) 442 cm2 , (E) 524 cm2 .
sono le case e i segmenti sono le strade. Da quante delle quattro
A
C
case è possibile partire per fare un percorso che passi una e una sola
24) C e T sono rispettivamente un cono e un cilindro circolari retti, che hanno lo stesso
volta da ogni strada (passando eventualmente più di una volta per
asse e hanno le basi nello stesso piano (e sono rivolti dalla stessa parte rispetto a
D
una stessa casa)?
questo piano). L’area di base di C misura 400 π cm2 mentre il raggio di base di
(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.
T misura 10 cm. Inoltre le altezze di C e T misurano entrambe 20 cm. Quale
percentuale
C e T?
18) La somma di tutti i numeri naturali formati da due cifre distinte è:
√ del volume di C è contenuta dall’intersezione tra√
(A) 20 2 %, (B) 40 %, (C) 50 %, (D) 60 %, (E) 50 2 %.
(A) 3840, (B) 3960, (C) 4140, (D) 4260, (E) 4410.
19) Il raggio della circonferenza a fianco è di 5 cm; inoltre i punti A, B e C dividono la circonferenza in tre archi di uguale
lunghezza. Calcolare l’area delimitata dalle corde AC e BC e
dall’arco di estremi
A e B contenente
√
√
√ D.
(A) 25( π3 + 23 ) cm2 , (B) 25( π6 + 3) cm2 , (C) 15( π3 + 23 )
√
√
π
3/2) cm2 .
cm2 , (D) 252 3 cm2 , (E) 25
2 (3 +
D
A
B
C
25) Giovanni vuole disegnare un quadrato formato da nove caselle (tre caselle per lato)
e scrivere in ogni casella un numero a scelta tra 0, 1, 2, 3, 4, in modo che fissata
comunque una riga, una colonna o una diagonale del quadrato, la somma dei numeri presenti nelle sue caselle sia sempre uguale a 4. Quanti diversi quadrati può
costruire?
(A) Nessuno, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.
PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA
U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA
MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE
SCUOLA NORMALE SUPERIORE
I G iochi di A rchim ede -- Soluzioni triennio
19 novembre 2008
Griglia delle risposte corrette
Problema
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Risposta corretta
A
B
A
A
C
D
E
B
B
E
B
A
D
Problema
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Risposta corretta
D
C
E
C
E
A
D
E
D
B
C
A
Risoluzione dei problemi
1. La risposta è (A).
Se il pilota vuole percorrere 50 km alla velocità media di 100 km/h il tempo complessivo per
percorrerli deve essere di mezz’ora. D’altra parte per coprire solo la prima metà del percorso ha
già impiegato più di mezz’ora e qualsiasi sia la velocità media con cui copre la seconda metà,
il tempo complessivo di percorrenza sarà strettamente maggiore di mezz’ora.
2. La risposta è (B).
Indichiamo con A, B e C il numero di birilli buttati giù da Alberto, Barbara e Clara rispettivamente. Abbiamo A + B + C ≤ 2008; inoltre A = 3B e B = 2C quindi A = 6C. Allora
6C + 2C + C = 9C ≤ 2008 da cui segue
C≤
1
2008
= 223 + .
9
9
Poichè C è un numero naturale abbiamo che il numero massimo di birilli che Cliara può aver
buttato giù è 223. Di conseguenza il numero massimo di birilli che Alberto può aver buttato
giù è 223 × 6 = 1338.
3. La risposta è (A).
Indichiamo con N il numero di amici di Pietro e Paolo che partcipano alla festa in pizzeria,
1
(esclusi Pietro e Paolo stessi). Il conto della cena in Euro deve coincidere sia con 12(N + 2) che
con 16N. Uguagliando queste due quantità si ottiene 12N + 24 = 16N da cui si ricava N = 6.
4. La risposta è (A).
Indichiamo con N il numero di maestri presenti quest’anno e con S il loro stipendio per que7
st’anno. La spesa complessiva per quest’anno è dunque SN. Il prossimo anno ci saranno N
10
135
S. La spesa complessiva sarà allora
maestri e lo stipendio di ciscuno di loro sarà di
100
7 135
945
N
S = SN
10 100
1000
ovvero il 94, 5 % della spesa di quest’anno. Quindi la spesa complessiva diminuirà del 5, 5 %.
5. La risposta è (C).
√
2
2
In base al teorema
√ di Pitagora l’ipotenusa AB del triangolo ABC misura 7 + 24 cm =
√
49 + 576 cm = 625 cm = 25 cm. Quindi il perimetro del triangolo ABC è di (24 + 7 +
25) cm = 56 cm. Il triangolo HBC è anch’esso rettangolo ed è simile ad ABC. Quindi il
rapporto tra il perimetro di HBC e quello di ABC è pari al rapporto tra le misure delle loro
7
392
7
. Quindi il perimetro di HBC è 56
cm =
cm.
ripettive ipotenuse ovvero è pari a
25
25
25
6. La risposta è (D).
Data un’equazione di secondo grado che ammetta due soluzioni reali e che abbia coefficiente del
termine di secondo grado uguale a 1, la somma delle soluzioni coincide con il termine di primo
grado cambiato di segno, e il loro prodotto è pari al termine noto. Quindi, se l’equazione del
problema ammette due soluzioni reali, la loro somma deve essere uguale a −b e il loro prodotto
deve essere −16. Se richiediamo inoltre che le soluzioni siano intere si hanno solo le seguenti
possibilità:
• una delle soluzioni è 1 e l’altra è −16 ⇒ b = 15;
• una delle soluzioni è −1 e l’altra è 16 ⇒ b = −15;
• una delle soluzioni è 8 e l’altra è −2 ⇒ b = −6;
• una delle soluzioni è −8 e l’altra è 2 ⇒ b = 6;
• una delle soluzioni è −4 e l’altra è 4 ⇒ b = 0.
Pertanto b può assumere 5 valori distinti.
7. La risposta è (E).
Indichiamo con O e O ! i centri del cerchio grande e del cerchio piccolo rispettivamente e siano P e
P ! i punti in cui il segmento OO ! interseca il cerchio grande e il cerchio piccolo, rispettivamente.
La lunghezza del segmento P P ! è la distanza minima tra i due cerchi. D’alra parte la lunghezza
di questo segmento è data dalla lunghezza di OO ! meno la somma dei due raggi dei cerchi. In
base al Teorema di Pitagora abbiamo
√
√
OO ! = 12 + 32 cm = 10 cm .
Quindi
√
√
P P ! = ( 10 − (2 + 1)) cm = ( 10 − 3) cm .
2
8. La risposta è (B).
Fissato comunque un numero naturale n abbiamo
Sn = n + 2n + · · · + 10n = n(1 + 2 + · · · + 10) = n 55 .
Quindi
S1 + S2 + · · · + S10 = 55(1 + 2 + · · · + 10) = 55 · 55 = 3025 .
9. La risposta è (B).
Osserviamo che i triangoli ABC e ACD sono rettangoli perchè inscritti in una semicirconferenza. Chiamiamo a e b le misure dei lati AB e BC rispettivamente. L’area del quadrilatero
ABCD è la somma delle aree dei triangoli ABC e ACD, quindi
ab ab
+
= ab = 48 cm2 .
2
2
B
A
C
D
Inoltre
2a + 2b = 28 cm ⇒ a + b = 14 cm .
Quindi conosciamo somma e prodotto di a e b e sappiamo allora che essi sono le soluzioni
dell’equazione di secondo grado
x2 − 14x + 48 = 0 ,
da cui si ricava a = 8 cm e b = 6 cm oppure a = 6 cm e b = 8 cm. In ciascuno di questi due
casi abbiamo
√
AC = 62 + 82 cm = 10 cm
e quindi il raggio di c misura 5 cm.
10. La risposta è (E).
Se calcoliamo “a mano” i primi termini della sequenza troviamo:
0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , . . .
Ovvero, eccettuato il primo termine, sono tutti potenze di 2 e più precisamente dal terzo
termine in poi vale
Fn = 2n−3 ,
dove Fn indica il termine n–esimo della sequenza. Questa uguaglianza può essere dimostrata
cosı̀: per n ≥ 3 possiamo scrivere
Fn = Fn−1 + · · · + F0 ,
Fn+1 = Fn + Fn−1 + · · · + F0 = Fn + Fn = 2Fn .
Quindi ogni termine della sequenza (dal quarto in poi) è il doppio del precedente. Poichè il
terzo termine è F3 = 1 = 20 segue che Fn = 2n−3 . In particolare F15 = 212 = 4096.
3
11. La risposta è (B).
Se eleviamo al cubo entrambi i termini dell’uguaglianza troviamo:
√
√
√
√
45 + 29 2 = m3 + 2 2n3 + 3 2m2 n + 6mn2 = m(m2 + 6n2 ) + n(3m2 + 2n2 ) 2 .
√
Da questa relazione, sapendo che 2 non può essere espresso come rapporto di due numeri
interi, segue
m(m2 + 6n2 ) = 45 , n(3m2 + 2n2 ) = 29 .
29 è un numero primo che può essere scomposto solo come 1 · 29. Quindi, poiché n è minore di
(3m2 + 2n2 ), deve essere n = 1 e 3m2 + 2 = 29, da cui si trova facilmente m = 3 e m + n = 4.
12. La risposta è (A).
Sia n il quattordicesimo dei ventisette numeri di cui si fa la media aritmetica, ovvero n si trova
esattamente a metà della sequenza dei numeri consecutivi di cui stiamo facendo la media; allora
la media è data da
(n − 13) + (n − 12) + · · · + (n − 1) + n + (n + 1) + · · · + (n + 12) + (n + 13)
27n
=
= n.
27
27
Quindi n = 2008 e il più piccolo dei numeri di cui si fa la media è n − 13 = 1995.
13. La risposta è (D).
6024
2008
Osserviamo che
=
; quindi la disuguaglianza che deve essere verificata può essere
6027
2009
scritta nella forma
2008
n
>
.
2009
n+1
Si vede allora che la disuguaglianza è vera per n = 2007 ed è falsa per n = 2008. Daltra parte
la quantità
1
n
=1−
n+1
n+1
1
cresce al crescere di n, poichè la frazione
decresce al crescere di n. Quindi la disuguagliann+1
za è vera per n = 2007 e per tutti i valori n ≤ 2007 mentre è falsa per n ≥ 2008. Concludiamo
che N = 2007 e la somma delle sue cifre è 9.
14. La risposta è (D).
Dalla relazione contenuta nel problema si ricava:
(x + y)2 − z 2 = 9 ,
ovvero
(x + y + z)(x + y − z) = 9 .
Quindi (x + y + z) e (x + y − z) devono essere divisori di 9. In particolare, poichè x, y e z sono
positivi, (x + y + z) è positivo e quindi lo deve essere anche (x + y − z). Il numero 9 può essere
scomposto solo nei due modi 9 = 9 × 1, 9 = 3 × 3, come prodotto di interi positivi. Poichè
(x + y + z) > (x + y − z) (dato che z > 0) l’unica possibilità è
!
x+y+z =9
x+y−z =1
Questo sistema porta a z = 4 e x + y = 5 e successivamente alle terne (1, 4, 4), (2, 3, 4), (3, 2, 4),
(4, 1, 4). In tutto abbiamo quindi quattro soluzioni.
4
15. La risposta è (C).
Dobbiamo considerare i multipli di 5 minori o uguali a 1000 che sono 200; a questi dobbiamo
aggiungere i multipli di 7 minori o uguali a 1000, che sono 142. Otteniamo cosı̀ 200+142 = 342.
A questi dobbiamo togliere i numeri che sono sia multipli di 5 che di 7, (perchè questi sono
stati contati due volte): questi sono tutti e soli i multipli di 35 minori o uguali a 1000, ovvero
28. Complessivamente i numeri cercati sono 342 − 28 = 314.
16. La risposta è (E).
Supponiamo che ci siano almeno tre palline con su scritti numeri strettamente maggiori di zero;
siano p, q e r i tre numeri scritti su queste tre palline. Il numero p, dovendo essere la somma
dei numeri scritti su tutte le altre palline, sarà uguale alla somma di q, r e tutti i numeri scritti
sulle altre 17 palline. Quindi p ≥ q + r e poichè r > 0 segue p > q. Ribaltando i ruoli di p e q
si dimostra esattamente alla stessa maniera che q > p e quindi si arriva ad una contraddizione.
È quindi assurdo supporre che ci siano almeno tre palline con numeri strettamente positivi.
17. La risposta è (C).
Consideriamo un percorso che parta da B; supponiamo che la prima strada percorsa sia BA.
Se successivamente andiamo in C, non possiamo poi andare in B perchè rimarremmo bloccati,
senza aver percorso tutte le strade. Se invece andiamo in D siamo poi obbligati ad andare
in A rimanendo di nuovo bloccati e senza aver percorso la strada BC. Analogamente (il
ragionamento è del tutto simmetrico) si dimostra che se partendo da B si va in C non è
possibile completare il percorso con le caratteristiche richieste. Ancora per simmetria, questo
dimostra anche che non esistono percorsi con le caratteristiche richieste che partano da D. Il
percorso che parte da A:
A → C → B → A → D → C
ha invece le caratteristiche richieste. Analogamente il percorso che parte da C:
C → A → B → C → D → A
ha le proprietà richieste.
partendo da A e da C.
In conclusione, esistono percorsi con le proprietà richieste solo
18. La risposta è (E).
La somma di tutti i numeri con due cifre è
10 + 11 + · · · + 98 + 99 = (1 + 2 + · · · + 98 + 99) − (1 + 2 + · · · + 8 + 9) =
99 · 100
− 45 = 45 · 109 .
2
A questa somma devo sottrarre la somma dei numeri formati da due cifre uguali:
11 + 22 + · · · + 88 + 99 = 11(1 + 2 + · · · + 8 + 9) = 11 · 45 .
Il risultato è quindi 45 · 109 − 45 · 11 = 45 · 98 = 4410.
19. La risposta è (A).
" è di 120◦ e quindi l’angolo ACB
"
Chiamiamo O il centro della circonferenza. L’angolo AOB
◦
è di 60 . Inoltre, essendo corde che sottendono ad archi di lunghezza uguali AC e AB hanno
lunghezza uguale. Deduciamo che il triangolo ABC è equilatero. Di conseguenza
√
3
area(AOC) = area(BOC) = 25
cm2 .
4
5
L’area del settore circolare delimitato dall’arco ADB è pari ad un terzo dell’area del cerchio,
ovvero è
π
25 cm2 .
3
L’area cercata è la somma delle aree dei triangoli AOC e BOC e da quella del settore circolare
che abbiamo appena calcolato:
#√
$
√
√
3
3
3 π
π
2
2
2
25
cm + 25
cm + 25 cm = 25
+
cm2 .
4
4
3
2
3
20. La risposta è (D).
Indichiamo con N il numero delle caselle di ciascuna riga e di ciascuna colonna della scacchiera.
Indichiamo inoltre con M il numero di caselle della seconda colonna, successive, secondo la
numerazione indicata, alla casella con il numero 38. Nella terza colonna ci sono allora M
caselle che precedono la casella 43 nella numerazione indicata. Quindi 38 + M + M + 1 = 43 da
cui si ricava M = 2. Allora l’ultima (nella numerazione indicata) casella della seconda colonna
ha il numero 38 + M = 40, ma chiaramente questa casella ha il numero 2N e quindi N = 20 e
il numero di caselle della scacchiera è N 2 = 400.
21. La risposta è (E).
Dal fatto che Agilulfo non sia stato messo in punizione deduciamo che: ieri Agilulfo non ha
preso un brutto voto, oppure ieri pomeriggio la mamma non era in casa. D’altra parte non
possiamo dire con certezza che proprio una di queste due circostanze si sia verificata, nè, a
maggior ragione, possiamo affermare che una delle due sia falsa. Quindi non si può essere certi
che nessuna delle affermazioni (A), (B), (C), (D) sia vera.
22. La risposta è (D).
Supponiamo di aver scelto uno qualsiasi dei quindici giocatori della prima squadra; nella seconda
squadra abbiamo la possibilità di scegliere tra quatordici giocatori (tutti eccettuato quello con
lo stesso numero di maglia del giocatore scelto dalla prima squadra). Scelto anche il giocatore
della seconda squadra, per scegliere il giocatore della terza squadra abbiamo tredici possibilità.
Complessivamente abbiamo 15 × 14 × 13 = 2730 possibilità distinte.
23. La risposta è (B).
Facendo riferimento alla figura, i punti del rettangolo per i quali il lato più vicino è uno dei
due lati lunghi 24 cm sono quelli appartenenti ai triangoli isosceli AED e BCF , rettangoli in
24
242
E ed F rispettivamente. La lunghezza di DE è √ cm e quindi l’area di AED è di
cm2
4
2
= 144 cm2 e questa è anche l’area di BCF . Quindi la misura della parte di foglio colorata di
giallo è = 288 cm2
D
C
E
F
A
B
6
24. La risposta è (C).
Nella figura vediamo una sezione assiale del cono e del cilindro. L’intersezione dei due solidi è
formata da un cilindro circolare retto di raggio di base 10 cm e altezza 10 cm, e da un cono
circolare retto di raggio di base 10 cm e altezza 10 cm. Quindi il volume dell’intersezione è
100π · 10 cm3 +
100π · 10
4000π
cm3 =
cm3 .
3
3
D’altra parte il volume del cono C è
400π · 20
8000π
cm3 =
cm3 .
3
3
Quindi il volume della parte di C contenuta nel cilindro T è la metà del volume complessivo di
C e quindi rappresenta il 50 % del volume di C.
25. La risposta è (A).
Se abbiamo un quadrato di tre caselle per ogni lato in cui, fissata una qualsiasi riga, colonna o
diagonale, la somma dei numeri scritti nelle sue caselle (che supponiamo numeri interi) è uguale
sempre allo stesso numero S, allora S deve essere un multiplo di tre.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
Infatti, facendo riferimento alla figura abbiamo:
(d + e + f ) + (b + e + h) + (a + e + i) + (c + e + g) = S + S + S + S = 4S .
D’altra parte
(a + b + c) + (d + e + f ) + (g + h + i) = S + S + S = 3S .
Sottraendo termine a termine la seconda uguaglianza dalla prima, troviamo
3e = S ,
ovvero S è un multiplo di 3. Quindi non esiste nessun quadrato con le caratteristiche richieste in cui
S = 4.
7