Universit`a di Pisa Campi euclidei

Università di Pisa
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Laurea Specialistica in Matematica
Anno Accademico 2008/2009
Elaborato finale
Campi euclidei
Candidato
Antonino Leonardis
Relatore
Chiarissimo Prof.
Roberto Dvornicich
Ringraziamenti
Desidero ringraziare il mio relatore Roberto Dvornicich per avermi spinto e
seguito nella costruzione di questa tesi. Ringrazio inoltre mio padre, che mi
ha aiutato nella ricerca di molte fonti per questo lavoro e mi ha, a modo
suo, sostenuto psicologicamente. Molti altri meritano di essere ringraziati
per avermi seguito nel mio percorso fino a qui, ma per non sminuire il loro
ruolo preferisco evitare di farne una lista e lasciare invece in queste poche,
anonime righe tutta l’essenza della mia gratitudine.
Indice
Introduzione
iv
1 Risultati preliminari
1.1 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Condizioni di euclideicità . . . . . . . . .
1.2.1 Euclideicità generica . . . . . . . .
1.2.2 Euclideicità con la norma standard
1.3 Richiami sui campi di numeri . . . . . . .
1.4 Richiami sui campi globali qualsiasi . . . .
2 Campi quadratici
2.1 Campi quadratici complessi
2.1.1 Campi euclidei . . .
2.1.2 Campi principali . .
2.2 Campi quadratici reali . . .
2.2.1 Campi euclidei . . .
2.2.2 Campi principali . .
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8
8
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10
11
11
11
3 Campi di numeri di grado superiore a 2
3.1 Campi puri . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Campi cubici puri . . . . . . . .
3.1.2 Campi quartici puri complessi . .
3.1.3 Campi quartici puri reali . . . .
3.2 Campi biquadratici . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Caso reale (m, n > 0) . . . . . .
3.2.2 Caso complesso (m < 0) . . . . .
3.3 Campi ciclotomici . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Campi principali . . . . . . . . .
3.3.2 Campi euclidei . . . . . . . . . .
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4 Campi euclidei con norma qualsiasi
20
4.1 Ipotesi generalizzata di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.1 Dimostrazione 1 (Teorema di Weinberger) . . . . . . . 21
ii
INDICE
iii
4.2.2
4.2.3
Dimostrazione 2 (Teorema di Harper) . . . . . . . . .
Dimostrazione 3 (Teorema di Harper–Murty) . . . . .
5 Campi globali
5.1 Anelli euclidei . . . . . .
5.2 Anelli a ideali principali
5.2.1 Caso #S ≥ 2 . .
5.2.2 Caso #S = 1 . .
Bibliografia
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Introduzione
Lo scopo di questo elaborato è di determinare sotto quali condizioni l’anello degli interi R di un campo globale1 K (o più in generale un qualsiasi
sottoanello di S-interi) sia euclideo secondo una qualche norma f (x); un
campo siffatto verrà chiamato campo euclideo. Se K è un campo di numeri
un caso particolare di campo euclideo si ha quando la norma euclidea può
essere scelta uguale alla norma standard f (x) = |N(x)|; in tal caso K si
dice appunto euclideo secondo la norma standard. Un campo globale tale
che l’anello degli interi sia a ideali principali verrà chiamato per comodità
campo principale. Si ha facilmente che un anello euclideo è sempre a ideali
principali (un elemento di norma minima in un ideale è sempre un generatore), quindi tutti i campi euclidei sono anche principali; il viceversa invece
è falso in generale, sebbene vedremo che a parte un numero finito di casi
particolari ci sono buoni motivi per supporre che i campi principali siano
tutti euclidei.
Nel primo capitolo vedremo vari risultati importanti che verranno utilizzati nel corso dell’elaborato. Nel secondo e terzo capitolo vedremo quali
risultati sono noti a proposito dei campi di numeri più comuni, e quali di
questi siano euclidei secondo la norma standard; in particolare, nel secondo
verrà trattato in modo molto elementare il caso dei campi quadratici, mentre
nel terzo verranno analizzati alcune classi di campi di grado superiore. Nel
quarto capitolo vedremo alcuni teoremi importanti e generali sull’euclideicità dei campi di numeri. Nel quinto capitolo, infine, vedremo i risultati più
generali noti sui campi globali.
1
Si ricordi che i campi globali sono i campi di numeri K ⊂ Q e i campi di funzioni
K = Fpn (x1 , . . . , xi ) (con gli xj non necessariamente algebricamente indipendenti). Il loro
anello degli interi è l’anello R degli elementi con tutte le valutazioni positive; nel primo
caso si tratta semplicemente della chiusura integrale di Z in K.
iv
Capitolo 1
Risultati preliminari
Vedremo adesso i risultati di teoria fondamentali sui quali si baserà la trattazione
1.1
Notazioni
In tutto l’elaborato K sarà un campo globale e R il suo anello degli interi.
Se K è un campo di numeri, inoltre, indicheremo con N e Tr rispettivamente
le usuali norma e traccia del campo K su Q, ovvero:
Y
N(x) =
σ(x)
σ
Tr(x) =
X
σ(x)
σ
Ove sarà d’ora in poi sottinteso che si deve far variare σ tra gli omomorfismi
di K in Q.
1.2
Condizioni di euclideicità
Vedremo adesso quando un anello R è euclideo
1.2.1
Euclideicità generica
Definizione 1.2.1. Una funzione f : R → N è una norma euclidea su R se
∀x ∈ R vale:
1. f (x) = 0 =⇒ x = 0
2. ∀y ∈ R\{0} ∃q, r ∈ R : x = qy + r, f (r) < f (y)
L’anello R si dice allora euclideo se ammette una norma euclidea.
1
CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
2
Osservazione 1.2.2. Spesso viene considerata al posto di f la sua restrizione a R\{0}; siccome in questo caso la 3◦ condizione diventa inutilmente complicata preferiamo usare questa definizione. Alcuni testi richiedono
anche che f abbia la proprietà che f (xy) ≥ f (x) se y 6= 0 (condizione automaticamente soddisfatta per le norme moltiplicative), ma Veldkamp ha dimostrato (vedi [V]) che questa condizione non aggiunge nulla alla definizione
di anello euclideo.
Osservazione 1.2.3. Se I ⊆ R è un ideale e f è una norma euclidea su
R, si vede facilmente che un elemento y ∈ I\{0} di norma minima è un
generatore di I. Infatti si ha in tal caso che qualsiasi x ∈ I si può scrivere
come x = qy + r e siccome r = x − qy ∈ I, per minimalità si deve avere
r = 0. Dunque un anello euclideo è sempre a ideali principali.
Teorema 1.2.4 (Motzkin). Siano:
E0 = {0}
Ej = {a ∈ R|∀b ∈ R : b + (a) ∩ Ej−1 6= ∅}
Allora un anello R è euclideo se e solo se:
^
[
∀j : Ej 6= ∅ R =
Ej
(1.1)
(1.2)
j
In particolare, se vale quest’ultima ipotesi, allora R è euclideo con la norma
seguente, che si vede essere la minima possibile:
f (x) = min{j|x ∈ Ej }
(1.3)
Dimostrazione 1.2.4. Per la dimostrazione si rimanda a [Mt]
Osservazione 1.2.5. Si osservi che E1 − E0 non è altro che l’insieme delle
unità di R.
1.2.2
Euclideicità con la norma standard
Supponiamo adesso che K sia un campo di numeri e R il suo anello degli
interi.
Definizione 1.2.6. Diremo che R è euclideo secondo la norma standard se
f (x) = |N(x)| è una norma euclidea per R.
Osservazione 1.2.7. Date le proprietà di N, possiamo vedere che questa
definizione può essere riformulata nei modi seguenti:
∀x ∈ R, y ∈ R\{0} ∃q, r ∈ R : x = qy + r, |N(r)| < |N(y)|
(1.4)
∀x ∈ K ∃y ∈ R : |N(x − y)| < 1
(1.5)
∀x ∈ K ∃z ∈ K : |N(z)| < 1 ∧ x − z ∈ R
(1.6)
CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
1.3
3
Richiami sui campi di numeri
Sia K un campo di numeri e n il grado di K su Q.
Definizione 1.3.1. Siano σ1 , . . . , σr1 le immersioni reali di K e τ1 , τ1 , . . . , τr2 , τr2
quelle non reali (accoppiate per coniugazione); si noti che chiaramente
vale
N
la relazione r1 + 2r2 = n. Allora si ha l’R-algebra KR = K Q R con
l’inclusione (di spazi vettoriali su R) in Rn data da:
j
x ⊗ 1 −→ (σ1 (x), . . . , σr1 (x), <τ1 (x), =τ1 (x), . . . , <τr2 (x), =τr2 (x))
Teorema 1.3.2 (delle unità). Sia r = r1 + r2 − 1. Sia UR ⊆ R il gruppo
delle unità. Allora si ha:
M
Zr
(1.7)
UR ∼
= (S 1 ∩ R)
Dimostrazione 1.3.2. Consideriamo l’applicazione logaritmica:
L : (R∗ )n → Rr1 +r2
(x1 , . . . , xr1 , y1 , z1 , . . . , yr2 , zr2 ) → log |x1 | , . . . , log |xr1 | , log y12 + z12 , . . . , log yr22 + zr22 Dunque abbiamo un omomorfismo di gruppi Λ = L ◦ j : UR → Rr1 +r2 .
Affermiamo che im (Λ) è un reticolo1 massimale contenuto nell’iperpiano
(1, . . . , 1)⊥ . Siccome le radici dell’unità di UR formano il nucleo dell’omomorfismo ed è facile vedere che formano un fattore diretto, dall’affermazione
segue subito la tesi del teorema.
Si ha:
• La somma delle componenti del vettore Λ(x) non è altro che il logaritmo del modulo della norma standard di x, quindi è 0, ovvero il vettore
è nell’iperpiano (1, . . . , 1)⊥
• Si vede facilmente che ogni sottoinsieme limitato di im (Λ) è finito;
si può dimostrare che un sottogruppo di Rm con questa proprietà è
sempre un reticolo.
• Resta da provare la massimalità; senza andare nei dettagli, basta
dimostrare successivamente che:
1. Si fissi i, 1 ≤ ip≤ r + s. Allora ∀α ∈ R\{0} ∃β ∈ R\{0}
con |N(β)| ≤ π2 s |disc (R) | tale che Λ(β) < Λ(α). Per la dimostrazione si fa uso del lemma di Minkowski.
2. Si fissi i, 1 ≤ i ≤ r + s. Allora ∃u ∈ UR tale che Λ(u)j < 0 per
j 6= i.
1
ovvero un sottogruppo isomorfo a Zm con generatori linearmente indipendenti su R
CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
4
3. Sia A = (aij ) ∈ Rm×m tale che:
– ∀i : aii > 0
– ∀i =
6 j : aij > 0
P
–
j aij = 0
Allora A ha rango m − 1.
Osservazione 1.3.3. Si osservi che:
• Se r = 0 allora si deve avere:
– (r1 , r2 ) = (1, 0) cioè K = Q
– (r1 , r2 ) = (0, 1) cioè K è quadratico immaginario
• Se r = 1 allora si deve avere:
– (r1 , r2 ) = (2, 0) cioè K è quadratico reale
– (r1 , r2 ) = (1, 1) cioè K è cubico con una sola immersione reale
– (r1 , r2 ) = (0, 2) cioè K è quartico senza immersioni reali
• n≥r+1
• r≥
n−2
2
Osservazione 1.3.4. Le immersioni ϕ : K → C si possono estendere a tutta
l’algebra KR in modo unico. L’insieme di tali immersioni verrà denotato con
Φ.
Definizione 1.3.5. Sull’algebra KR possiamo definire:
• La norma e la traccia (estensione naturale di quelle su K) date da:
Y
N(x) =
ϕ(x) ∈ R
ϕ∈Φ
Tr(x) =
X
ϕ(x) ∈ R
ϕ∈Φ
• La misura generale µ (cfr. [L]) data da:
µ(x) = Tr(xx) = |j(x)|2 =
X
|ϕ(x)|2
(1.8)
ϕ∈Φ
Osservazione
1.3.6. Per la disuguaglianza tra le medie si ha N(x)2 ≤
n
µ(x)
. Inoltre vale l’uguaglianza solo se i |ϕ(x)| sono tutti uguali, ovvero
n
q
p
se vale che ∀ϕ ∈ Φ : |ϕ(x)| = n |N(x)| = µ(x)
n .
CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
5
Definizione 1.3.7. Definiamo il seguente dominio fondamentale:
F = {x ∈ KR |∀y ∈ R : µ(x) ≤ µ(x − y)}
(1.9)
c = max µ(x)
(1.10)
E il suo raggio:
x∈F
Definizione 1.3.8. Si noti che F + R = KR . Un numero reale c0 è detto
limite per F se c0 ≥ c; è detto inoltre utilizzabile se ∀x ∈ F ∩ K tale che
µ(x) = c0 c’è una radice dell’unità u ∈ R t.c. µ(x − u) = c0 . Si osservi
che un limite stretto (ovvero 6= c) è sempre utilizzabile; viceversa, un numero utilizzabile ∈ µ(K) è automaticamente un limite, non necessariamente
stretto.
Teorema 1.3.9. Se n = [K : Q] è un limite utilizzabile, allora R è euclideo
per la norma standard.
Dimostrazione 1.3.9. Utilizzeremo la condizione di euclideicità (1.5); sia
dunque x ∈ K. Possiamo supporre x ∈ F dato che F + R = KR . Per
l’osservazione 1.3.6 e per la definizione di limite si deve avere:
µ(x) n
2
N(x) ≤
≤1
n
µ(x − u) n
≤1
N(x − u)2 ≤
n
Se almeno una delle disuguaglianze è stretta si può prendere y = 0 oppure
y = u; altrimenti, sempre per la 1.3.6, si deve avere ϕ(x) = 1 e ϕ(x − u) = 1.
Vediamo che però questo caso non è possibile. Si vede subito che z = −xu
deve essere una radice cubica dell’unità (infatti si ha zz = N(x)2 N(u)2 = 1
e z + z = N(x − u)2 − N(x)2 − N(u)2 = −1; oppure, geometricamente, nella
figura 1.1 si vede subito che l’angolo tra −u e x è necessariamente di 120◦ ).
Dunque z ∈ R e anche x = −uz ∈ R, ma questo è assurdo perché si avrebbe
necessariamente x = 0.
1.4
Richiami sui campi globali qualsiasi
Nel corso di questo paragrafo K sarà un generico campo globale e R l’anello
degli interi di questo campo. Indicheremo con P l’insieme dei divisori primi
di K e con S∞ ⊆ P l’insieme di quelli infiniti2 su K. I valori assoluti corrispondenti saranno normalizzati nel modo usuale, cosicché valga la formula
del prodotto:
Y
|x|p = 1
(1.11)
p∈P
2
Ovvero quelli non archimedei nel caso dei campi di numeri, e un fissato p∞ nel caso
dei campi di funzioni
CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
Figura 1.1:
x
u
6
è radice cubica di 1
Definizione 1.4.1. Sia S ⊆ P un sottoinsieme finito di valori assoluti su K
tali che S∞ ⊆ S. Definiamo allora:
• L’anello degli S-interi di K:
OS = {x ∈ K |∀p ∈
/ S : |s|p ≤ 1 }
(1.12)
US = {x ∈ K |∀p ∈
/ S : |s|p = 1 }
(1.13)
• Le S-unità di OS :
• La S-norma su K:
φS (x) =
Y
|x|p
(1.14)
p∈S
Si osservi che per S contenente solo i valori assoluti infiniti si ottiene
semplicemente R, le sue unità e nel caso dei campi di numeri la norma
standard. L’anello degli S-interi OS è sempre un dominio di Dedekind.
Si noti infine che, per la formula del prodotto, la S-norma assume valori
in N su OS .
Definizione 1.4.2. Sia p un primo finito. Allora definiamo l’anello di
valutazione associato a p nel modo seguente:
Op = {x ∈ K ||s|p ≤ 1 }
(1.15)
CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
7
Questo anello è locale con ideale massimale:
mp = {x ∈ K ||s|p < 1 }
(1.16)
Osservazione 1.4.3. Vale chiaramente che:
\
Op
OS =
(1.17)
p∈S
/
In particolare R è l’intersezione di tutti gli anelli di valutazione di primi
finiti.
Definizione 1.4.4. Sia S come nella definizione 1.4.1. Allora possiamo
definire, ricalcando la definizione di E2 già vista nel teorema di Motzkin
1.2.4, il seguente insieme:
VS = {p ∈
/ S |π : {0} ∪ US → Op /mp è suriettiva }
(1.18)
Definizione 1.4.5. Definiamo il completamento infinito K∞ di K nei seguenti modi:
• Se K è un campo di numeri, poniamo K∞ = KR come nella definizione
1.3.1.
N
• Se K è un campo di funzioni su Fpk , poniamo K∞ = K F k (t) Fpk ((1/t)).
p
Capitolo 2
Campi quadratici
Iniziamo la trattazione parlando dei campi di numeri euclidei secondo la
norma standard
Il caso più semplice di campi
di numeri sono i campi quadratici, ovvero
√
quelli della forma K = Q( k) con k ∈ Z\Z2 . Con ragionamenti più o meno
elementari si possono trovare tutti i campi di questo
degli
√ tipo 2con anello
2
interi euclideo secondo la norma standard f (a + b k) = |a − kb |.
2.1
Campi quadratici complessi
√
Supponiamo n > 0 libero da quadrati e K = Q( −n); si hanno allora due
casi:
√
1. n ≡ 1, 2 mod 4: in questo caso si ha R = Z[i n]
h√
i
2. n = 4m − 1: in questo caso si ha R = Z i n+1
= Z[λ]
2
2.1.1
Campi euclidei
Per vedere quali sono euclidei con la norma standard ci basta vedere quando
con questa norma si ha un algoritmo di Euclide, ovvero ∀x, y ∈ R : ∃q ∈ R :
|qy − x| < |y|.
Primo caso
Fissiamo x, y ∈ R. Consideriamo il reticolo qy al variare di q ∈ R. Possiamo
√
vederlo come formato da tanti rettangoli di vertici qy, (q+1)y, (q+i n)y, (q+
√
1 + i n)y; in uno di questi vi si troverà x. Per simmetria possiamo supporre
√
che questo si trovi nel triangolo rettangolo di vertici qy, (q + 1)y, (q + i n)y
ed è chiaro che la distanza massima da √uno dei vertici sarà pari al raggio
della circonferenza circoscritta, ovvero n+1
2 |y|. Per n < 3 questo dà la
condizione cercata, dunque R è euclideo se n = 1, 2.
8
CAPITOLO 2. CAMPI QUADRATICI
9
Figura 2.1: Il triangolo OCM è simile a BCN quindi r :
l
2
=l:h
Secondo caso
Fissiamo x, y ∈ R. Anche in questo caso consideriamo il reticolo qy al
variare di q ∈ R. Il reticolo non è però formato da rettangoli ma da semplici
parallelogrammi. Anche in questo caso per simmetria possiamo supporre
che x si trovi nel triangolo di vertici qy, (q + 1)y, (q + λ)y, che si vede essere
√
√
isoscele di base b = |y|, altezza h = 12 |y| n e lato obliquo l = |y| m. Il
raggio della circonferenza circoscritta si trova in questo caso con la seguente
formula (si veda la figura 2.1):
r=
l2
|y|2 m
m
= √ = |y| √
2h
|y| n
n
Quindi per avere l’algoritmo di Euclide serve m <
da cui si ha m = 1, 2, 3 ovvero n = 3, 7, 11.
√
√
n, ovvero m < 2 + 3,
Nota
Queste dimostrazioni possono essere fatte anche usando il teorema 1.3.9; la
dimostrazione che ne risulta è più o meno analoga. Si noti infatti che per
un campo quadratico immaginario si ha:
CAPITOLO 2. CAMPI QUADRATICI
10
• La misura generale non aggiunge nulla al problema in quanto è legata
alla norma dalla relazione µ(x) = 2N(x); in particolare 2 è limite
stretto se e solo se ∀x ∈ K ∩ F si ha N(x) < 1, cioè se e solo se K è
euclideo.
• Si ha KR ∼
= C, quindi i ragionamenti del teorema si riferiscono al piano
complesso come quelli diretti che abbiamo appena fatto.
• Il dominio fondamentale F è nel primo caso il rettangolo di vertici i
circocentri dei 4 rettangoli del reticolo R che concorrono nell’origine,
mentre nel secondo caso è l’esagono con vertici i circocentri dei 6 triangoli acutangoli del reticolo R che concorrono nell’origine (il primo
caso non è altro che un caso limite del secondo).
• I punti per cui µ(x) = c sono appunto i circocentri dei rettangoli/triangoli
del reticolo e quindi c = 2r2 , dove r è il raggio della circonferenza
circoscritta ai rettangoli/triangoli del reticolo.
2.1.2
Campi principali
Esistono campi di questo tipo non euclidei ma principali? La risposta è
affermativa. Innanzitutto è noto che gli unici campi principali di questa
forma sono i 5 campi euclidei già trovati più quelli con n = 19, 43, 67, 163
(teorema di Stark–Heegner). Dimostreremo adesso che questi ultimi non
sono euclidei. Questo risultato non vale solo per la norma standard, ma
per qualsiasi norma: dunque in questo caso particolare non esiste alcuna
altra norma tale che K sia euclideo se non lo è con quella standard. Per
dimostrare questo fatto utilizzeremo il teorema
1.2.4. Sia n = 19, 43, 67, 163
√
i n+1
e siano come prima n = 4m − 1 e λ = 2 . In particolare m ≥ 5. Si ha:
• E0 = {0}
• E1 = {1, −1}
• E2 = {x ∈ R|π : E0 ∪ E1 → R/(x) è suriettiva} ⊆ {x ∈ R|N(x) < 4}1
Sia dunque x = a + bλ ∈ R\{−1, 0, 1} qualsiasi; allora si ha:
N(x) = |x|2 = a2 + ab + mb2 = (a2 + ab + b2 ) + (m − 1)b2
Si hanno due casi:
Caso b 6= 0 - In questo caso si ha N(x) > (m − 1)b2 ≥ 4
Caso b = 0 - In questo caso si deve avere |a| ≥ 2 da cui N(x) = a2 ≥ 4
Pertanto {x ∈ R\(E0 ∪ E1 )|N(x) < 4} non può che essere vuoto, quindi R
non può essere euclideo come affermato.
1
Si noti che N(x) è anche la cardinalità di R/(x)
CAPITOLO 2. CAMPI QUADRATICI
2.2
11
Campi quadratici reali
√
In questo caso supponiamo n > 1 libero da quadrati e K = Q( n).
2.2.1
Campi euclidei
Gli anelli euclidei con la norma standard di questa forma sono quelli per
cui n = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73; per la
dimostrazione si rimanda a [ChD]. Si potrebbe provare a usare anche in
questo caso il teorema 1.3.9 per vedere i casi più semplici. Anche in questo
caso si può trovare esplicitamente il raggio del dominio fondamentale:
Proposizione 2.2.1. Con le notazioni della definizione 1.3.7, il raggio del
√
dominio fondamentale di Q( n) (n > 1 libero da quadrati) è dato da:
(
1+n
2 se n ≡ 2, 3 mod 4
c=
(1+n)2
se n ≡ 1 mod 4
8n
Quindi, purtroppo, il teorema 1.3.9 funziona solo per i casi n = 2, 3, 5,
13. Un ragionamento simile ma un po’ più preciso, che si basa direttamente
sulla norma invece che sulla misura generale, dimostra l’euclideicità nei casi
n = 2, 3, 5, 6, 7, 13, 17, 21, 29. Si veda in proposito [N].
2.2.2
Campi principali
Come vedremo nel capitolo 4, supponendo vera l’ipotesi di Riemann generalizzata (GRH), tutti i campi principali, ad esclusione di quelli (già trattati)
quadratici immaginari, sono anche euclidei, ma non necessariamente con
la norma standard. In particolare questo risultato vale nel caso dei campi
quadratici reali; come vedremo sempre nel capitolo 4, per quelli di discriminante ∆ < 500 questo fatto vale incondizionatamente, ovvero senza dover
ricorrere alla GRH2 .
2
√
Tale risultato era già noto in precedenza nel caso particolare Q( 69): si veda [C]
Capitolo 3
Campi di numeri di grado
superiore a 2
Come al solito, ci interessa trovare i campi euclidei secondo la norma standard. Quando prendiamo in considerazione campi di grado superiore a 2 la
situazione si fa molto più complicata. Vediamo che risultati si hanno nei
casi più semplici.
3.1
Campi puri
√
Un campo puro di grado d è un campo della forma Q( d n); in questo caso
verificare l’euclideicità è molto più semplice e molti risultati sono noti in
questo senso
3.1.1
Campi cubici puri
I campi cubici puri euclidei secondo la norma standard sono tutti e soli quelli
con n = 2, 3, 10 (vedi [Cf]).
3.1.2
Campi quartici puri complessi
I campi quartici puri complessi euclidei secondo la norma standard sono
tutti e soli quelli con n = −2, −3, −7, −12 (buona parte della dimostrazione
è sempre reperibile in [Cf]).
3.1.3
Campi quartici puri reali
I campi quartici puri reali euclidei secondo la norma standard sono tutti
compresi tra i seguenti otto casi: n = 2, 3, 5, 12, 13, 20, 61, 116 (vedi
[Lm1]). Inoltre è noto che per n = 2, 5, 12, 20 questi campi sono effettivamente euclidei; resta aperto il problema di decidere se per n = 3, 13, 61, 116
√
il campo Q( 4 n) sia euclideo o meno.
12
CAPITOLO 3. CAMPI DI NUMERI DI GRADO SUPERIORE A 2
m
-1
-1
-1
-1
-2
-3
-3
-3
-3
-7
-7
-11
-19
13
n
2
3
5
7
5
-2
2
5
17
-3
5
-3
-3
Tabella 3.1: Campi biquadratici euclidei secondo la norma standard
3.2
Campi biquadratici
√ √
Un campo biquadratico è un campo della forma Q( m, n), ove senza perdita di generalità possiamo supporre m < n. Vediamo quali risultati sono noti
in proposito.
3.2.1
Caso reale (m, n > 0)
Se il campo è totalmente reale i risultati noti in proposito sono molto scarsi. Sono noti alcuni campi biquadratici euclidei, mentre invece non ci sono
praticamente risultati negativi.
3.2.2
Caso complesso (m < 0)
In questo caso invece è nota la lista completa dei campi biquadratici con la
norma standard (vedi [Lm2]); questa è riassunta nella tabella 3.1. Si noti
che alcuni di questi casi si risolvono facilmente utilizzando il teorema 1.3.9
e la proposizione 2.2.1.
3.3
Campi ciclotomici
Un campo ciclotomico è un campo della forma K = Q(ζn ) con ζn una qualsiasi radice primitiva n-esima dell’unità. Si dimostra facilmente che il grado
di K su Q è ϕ(n)1 e che R = Z[ζn ]; infatti basta verificarlo per n = pm e in
questo caso si ha che {(1 − ζn )k }0<k<n,(k,p)=1 è una base intera per R con
1
Ovvero la funzione ϕ di Eulero
CAPITOLO 3. CAMPI DI NUMERI DI GRADO SUPERIORE A 2
14
discriminante p. Si noti che Q(ζn ) = Q(ζ2n ) se n è dispari, quindi d’ora in
poi supporremo senza perdita di generalità che n sia pari.
3.3.1
Campi principali
In questo caso è noto che gli unici campi principali di questo tipo sono
quelli con φ(n) ≤ 20 più i tre campi Q(ζ70 ), Q(ζ84 ), Q(ζ90 ) (vedi [Ms]).
Quindi eventuali campi euclidei secondo la norma standard vanno cercati
tra questi. Come vedremo nel capitolo 4, i campi ciclotomici principali sono
tutti euclidei secondo qualche norma.
3.3.2
Campi euclidei
Finora è noto che il campo Q(ζn ) è euclideo secondo la norma standard
per ϕ(n) ≤ 10 e per n = 26, 42. Vediamo il metodo di Lenstra per la dimostrazione dell’euclideicità di alcuni di questi campi (per la dimostrazione
completa si veda Lenstra [L], per i casi n = 13, 16 si vedano McKenzie
[McK] e Ojala [O]).
Teorema 3.3.1. Indichiamo con cn il raggio del dominio fondamentale (vedi
definizione 1.3.7) del campo Q(ζn ). Si hanno allora le seguenti regole:
1. Sia p ∈ N primo; allora cp =
per Q(ζp ).
p2 −1
12 .
Inoltre
p2 −1
12
è un limite utilizzabile
φ(n)
2. Sia m un divisore di n e sia d = φ(m)
. Allora cm ≤ d2 cn . Più precisamente, se c0 è un limite utilizzabile per Q(ζn ), allora d2 c0 è un limite
utilizzabile per Q(ζm ).
Corollario 3.3.1. Il campo ciclotomico Q(ζn ) è euclideo per n = 2, 4, 6,
8, 10, 12, 14, 18, 20, 22, 30. Basta infatti considerare il massimo primo p
che divide n e d = n/p (se n è potenza di 2 si deve prendere invece d = n)
ottenendo:
cn ≤ cp ϕ2 (d)
Nei casi considerati questo valore è sempre ≤ ϕ(n) e quindi si ha la tesi.
P
Lemma 3.3.2. Sia V l’iperpiano di Rn di equazione i xi = 0 e siano gli
ei le proiezioni della base canonica. Si consideri la forma quadratica:
X
q(x) =
(xi − xj )2
1≤i<j≤n
CAPITOLO 3. CAMPI DI NUMERI DI GRADO SUPERIORE A 2
15
Sia (x, y) la forma bilineare associata2 e sia L il reticolo generato da e1 , . . . , en .
Consideriamo il dominio fondamentale di L dato da:
E = {x ∈ V |∀y ∈ L : q(x) ≤ q(x − y)} =
q(y)
= x ∈ V ∀y ∈ L : (x, y) ≤
2
Allora E ha raggio:
b = max q(x) =
x∈E
n2 − 1
12
Inoltre, se q(x) = b, ∃!i tale che q(x − ei ) = b
Dimostrazione 3.3.2. Si osservi che a meno di un fattore di proporzionalità q(x) è la distanza euclidea di Rn . Dimostriamo innanzitutto che se
q(x) = b si deve avere per qualche permutazione σ ∈ Sn :
Pn
ieσ(i)
x = i=1
n
Infatti E non è altro
P che la regione contenente lo 0 tra quelle con cui gli
assi dei segmenti i∈I ei dividono V con I ⊆ {1, . . . , n}, 1 ≤ #I ≤ n − 1; i
vertici del P
politopo3 che si ottiene non sono altro che i baricentri dei simplessi
di vertici ji=1 eσ(i) per j = 0, . . . , n − 1, cioè i vettori della forma sopra
scritta. Essendo il politopo convesso ed essendo questi vettori alla stessa
distanza dall’origine, è chiaro che questi sono tutti e soli i punti di E di
massima distanza dall’origine. Resta dunque da dimostrare che b vale quanto
affermato. Si ha in effetti:
1 X
b= 2
(i − j)2 =
n
=
1
n2
1≤i<j≤n
n
X
(n − i)i2 =
i=1
Pn
ie
n2 − 1
12
0
Si noti infine che x − eσ(n) = i=1n σ (i) ove si è posto σ 0 (i + 1) = σ(i) e
σ 0 (1) = σ(n); dunque vale anche l’ultima affermazione del lemma e abbiamo
concluso la dimostrazione.
Lemma 3.3.3. Indichiamo con l’indice n le funzioni relative al campo Q(ζn )
e con m quelle relative a Q(ζm ).PIndichiamo con G il gruppo di Galois di
Q(ζn ) su Q(ζm ) e con Tr(·) =
σ∈G σ(·) la traccia relativa. Siano x ∈
2
3
Cioè (x, y) = 21 (q(x + y) − q(x) − q(y))
Per politopo intendiamo un qualsiasi “poliedro” n-dimensionale
CAPITOLO 3. CAMPI DI NUMERI DI GRADO SUPERIORE A 2
16
Q(ζm )R , y ∈ Q(ζn )R . Allora le misure generali sui due campi soddisfano le
seguenti relazioni:
1
1
µm (x) − µm (x − y) = d µn
Tr(x) − µn
Tr(x)
(3.1)
d
d
m
X
i
m · µm (x) =
µn (Tr(xζm
))
(3.2)
i=1
Dimostrazione 3.3.3.
• Per quanto riguarda la prima uguaglianza, si ha:
µm (x) − µm (x − y) = Trn (Tr(xy + xy − yy)) =
1
1
= d · Trn
Tr(x)y + Tr(x)y − yy =
d
d
1
1
= d µn
Tr(x) − µn
Tr(x)
d
d
• Per quanto riguarda la seconda uguaglianza, si ha:


m
m
X
X
X
i
j
−j 
µn (Tr(xζm
)) =
Trn 
σ(x)τ (x)σ(ζm
)τ (ζm
) =
i=1
σ,τ ∈G
i=1

= Trn 
X
σ(x)τ (x)
m X
σ(ζm ) j
σ,τ ∈G
i=1
τ (ζm )
=


= Trn 
!
X
σ(x)τ (x)mδστ  =
σ,τ ∈G
!
= m · Trn
X
σ(x)σ(x)
= m · µm (x)
σ∈G
Dimostrazione 3.3.1.
1. Sia K = Q(ζp ). Dimostriamo che la coppia KR , µ (vedi definizione
1.3.5) è isomorfa alla coppia V, q (vedi lemma 3.3.2). In effetti gli
elementi ζpi sono
P uni sistema di generatori per KR che soddisfano l’unica relazione i ζp = 0 (infatti togliendone uno si ottiene una base).
CAPITOLO 3. CAMPI DI NUMERI DI GRADO SUPERIORE A 2
17
Inoltre si ha:

!
µ
X
xi ζpi
= Tr 

XX
i
i
=
XX
i
=n
xi xj ζpi−j  =
j
xi xj Tr ζpi−j =
j
X
x2i −
i
X
xi xj =
X
(xi − xj )2
i<j
i6=j
Dunque si ha effettivamente l’isomorfismo. Da questo, utilizzando il
lemma 3.3.2, si deduce immediatamente la formula per il raggio cn .
Inoltre l’ultima affermazione dello stesso lemma ci assicura che cn è
un limite utilizzabile.
2. Utilizziamo il lemma 3.3.3 e le sue notazioni. Si osservi che per la
prima parte del lemma si ha per ogni j ∈ Z che:
j
x ∈ Fm ⇒ xζm
∈ Fm ⇒
1
j
Tr(ζm
x) ∈ Fn
d
In questo caso si ha anche, per la seconda parte del lemma, che:
m
1 X
i
µn (Tr(xζm
)) =
m
i=1
m
d2 X
1
i
Tr(xζm ) ≤
=
µn
m
d
µm (x) =
≤
i=1
m
2
d X
m
cn = d2 cn
(3.3)
i=1
Cioè cm ≤ d2 cn . Resta da dimostrare che nel caso cm = d2 cn , se cn
è utilizzabile, lo è anche cm (negli altri casi d2 c0 è un limite stretto e
quindi utilizzabile). Sia x tale che µm (x) = cm e sia x0 = d1 Tr(x); allora, siccome nella (3.3) si deve avere l’uguaglianza, si ha in particolare
che µn (x0 ) = cm . Siccome cm è utilizzabile, si può trovare una radice
dell’unità u tale che µn (x0 − u) = cm ; ma allora la prima parte del
lemma ci dice che µm (x) − µm (x − u) = d(µn (x0 ) − µn (x0 − u)) = 0 e
quindi anche cm è utilizzabile.
Dunque abbiamo visto quali campi ciclotomici principali sono noti essere euclidei secondo la norma standard; vediamo invece adesso un esempio abbastanza semplice di campo ciclotomico principale che non è euclideo secondo
la norma standard, iniziando da alcuni utili lemmi per i campi ciclotomici
di ordine 2k .
CAPITOLO 3. CAMPI DI NUMERI DI GRADO SUPERIORE A 2
18
Lemma 3.3.4. Per k ≥ 2 il gruppo delle unità di Z[ζ2k ] modulo torsione
ammette come sottogruppo di indice pari al numero di classi quello generato
dai seguenti elementi:
(
)
1 − ζ22i+1
k
ui =
1 − ζ2k
k−2
i∈{1,...,2
−1}
In particolare, se R è a ideali principali, queste ultime sono generatori liberi
di tale gruppo (si ricordi il teorema 1.3.2).
Dimostrazione 3.3.4. Per la dimostrazione completa rimandiamo a [Ws].
Ci limitiamo a fare alcune osservazioni:
• Le ui hanno norma 1 in quanto rapporto di coniugati e stanno nell’anello in quanto si possono scrivere facilmente come combinazione
lineare degli ζ2jk ; in particolare si ha che le ui sono unità.
• Si ha la seguente fattorizzazione:
2k−1
x
+1=
k−1
2Y
x − ζ22i+1
k
i=1
Cioè, ponendo x = 1:
2=
k−1
2Y
i=1
1−
ζ22i+1
k
=
k−2
2Y
1 − ζ22i+1
k
1 + ζ22i+1
k
i=1
Quindi 2 si fattorizza come potenza di un ideale primo principale, con
inerzia 1 (si noti che il campo residuo è ovviamente F2 ). Siccome il
discriminante di K è una potenza di 2, l’unico primo razionale che si
ramifica è 2.
• A meno di moltiplicare per una potenza di ζ2k si può supporre che
NK/Q(i) (u) = 1. Per il teorema 90 di Hilbert allora si deve avere
a
u = σ(a)
dove σ è il generatore del gruppo di Galois di K su Q(i).
Fattorizzando l’ideale (a) si ottiene che, affinché si abbia u ∈ R, il
prodotto dei primi diversi da (1 − ζ2k ) deve essere invariante rispetto
all’azione di σ e quindi in particolare dà un ideale principale generato
da un elemento di Q(i); dividendo a per questo elemento si ottiene
a0
0
s
a0 tale che u = σ(a
0 ) e (a ) = (1 − ζ2k ) . Il teorema dice qualcosa in
più: se R è a ideali principali si può prendere a0 che sia un prodotto
di elementi della forma 1 − ζ22i+1
, e in ogni caso le unità di questo tipo
k
formano un sottogruppo di indice finito dato dal numero di classi.
CAPITOLO 3. CAMPI DI NUMERI DI GRADO SUPERIORE A 2
19
Lemma 3.3.5. Sia k ≥ 1. Se z ∈ R = Z[ζ2k ] è dispari 4 , allora 2k |N(z) − 1.
Dimostrazione 3.3.5. Possiamo supporre che z sia irriducibile, dato che
il caso in cui z non sia irriducibile segue immediatamente da questo per
la moltiplicatività della norma. Riduciamo il problema modulo z, cioè
k
lavoriamo nel campo residuo R/(z). Sia f (x) = x2 − 1. Allora:
df (x)
k
= 2k x2 −1
dx
Siccome questo polinomio è chiaramente coprimo con f (x) (infatti 2 è invertibile dato che z è dispari), le radici ζ2i k di f (x) sono tutte distinte.
Dunque il gruppo moltiplicativo del campo residuo R/(z) ammette come
sottogruppo ciclico di ordine 2k l’insieme di queste radici; pertanto si deve
avere 2k |N(z) − 1, come affermato.
Proposizione 3.3.6. Il campo Q(ζ32 ) non è euclideo secondo la norma
standard.
Dimostrazione 3.3.6. Sia η = 1 + ζ32 . Si osservi che N(η) = 2. Dimostreremo che, posto x = 1 + η 5 e y = η 6 , se x = qy + r allora r non
può avere norma minore di N(y) = 64. Per assurdo, supponiamo che questo
sia possibile. Allora per il lemma 3.3.4 r avrebbe norma 1 o 33 (si osservi
che per le estensioni di Q(i) la norma è sempre positiva). Il secondo caso
è da escludersi in quanto r dovrebbe essere prodotto di due irriducibili di
norma rispettivamente 3 e 11, e passando per Q(i) si vede subito che questo
è impossibile; quindi r è un’unità. Ragioniamo adesso modulo η 6 . Si ottiene
che:
6
4
2
Z[ζ32 ]/η 6 = F2 [ζ32 ]/η 6 = F2 [ζ32 ]/(ζ32
+ ζ32
+ ζ32
+ 1)
Con un calcolo non troppo complicato si dimostra che il sottogruppo moltiplicativoLgenerato dai rappresentanti delle ui (vedi lemma 3.3.4) è isomorfo
a Z/2Z Z/8Z con l’isomorfismo:
2
1 + ζ32 + ζ32
= u5 = u1 → (1, 3)
u6 = u2 → (1, 0)
ζ32 =
u−1
7
= u−1
3 → (0, 1)
u4 = 1 → (0, 0)
2 + ζ 3 non è un elemento di questo
In particolare r = 1 + (1 + ζ32 )5 = 1 + ζ32
32
k oppure ζ k (1 + ζ + ζ 2 ) e si verifica
gruppo (dovrebbe essere della forma ζ32
32
32
32
facilmente che non è cosı̀), e quindi non può essere un’unità, ottenendo cosı̀
un assurdo come voluto.
4
Ovvero non è divisibile per 1 − ζ2k
Capitolo 4
Campi euclidei con norma
qualsiasi
4.1
Ipotesi generalizzata di Riemann
Va sotto il nome di ipotesi generalizzata di Riemann (abbreviazione: GRH)
la seguente:
Congettura
Sia K un campo di numeri con anello degli interi R e, indicando con I
l’insieme degli ideali di R, definiamo come:
ζK (s) =
X
I∈I
1
N(I)s
la zeta di Riemann generalizzata sul campo K, che possiamo continuare
analiticamente su quasi ogni punto del piano. Allora se ζK (s) = 0 e 0 <
<s < 1 si deve avere <s = 12 .
4.2
Teoremi fondamentali
Vediamo adesso i risultati principali ad oggi noti di equivalenza tra nozione
di principale e quella di euclideo per un campo di numeri
Teorema 4.2.1. (Weinberger) Supponiamo vera la GRH; allora, con le
notazioni usate finora, per r > 0 (e per l’osservazione 1.3.3 è il risultato
migliore possibile) K è euclideo se e solo se è principale.
Teorema 4.2.2. (Harper) Se K è un campo quadratico oppure è un campo
ciclotomico, allora è euclideo se e solo se è principale.
20
CAPITOLO 4. CAMPI EUCLIDEI CON NORMA QUALSIASI
21
Teorema 4.2.3. (Harper–Murty) Se K/Q è un’estensione di Galois di grado
n e per il campo K vale1 r > 3 (si noti che per l’osservazione 1.3.3 questa
condizione è automaticamente soddisfatta quando n > 8), allora K è euclideo
se e solo se è principale.
4.2.1
Dimostrazione 1 (Teorema di Weinberger)
Per la dimostrazione completa si veda [W].
Utilizzeremo come al solito il criterio di Motzkin 1.2.4; in particolare ne
utilizzeremo le notazioni. Dimostreremo il teorema nella seguente forma
equivalente:
Teorema
Supponiamo che K sia un campo principale e che R abbia infinite unità.
Allora, se vale la GRH, K è euclideo.
Preliminari
Definizione 4.2.4. Sia p = (p) un ideale primo di R. Sia I il gruppo
moltiplicativo degli ideali frazionari di K primi con p. Allora definiamo:
H = {a ∈ I : a ≡ (1) (mod p)}
(4.1)
Si osservi che H ha indice finito, ovvero I/H è un gruppo finito.
Definizione 4.2.5. Sia ε un’unità di R. Allora ε si dice unità fondamentale se non è una potenza positiva di un’altra unità. Si dice inoltre radice
primitiva dell’ideale p = (p) se genera il gruppo ciclico moltiplicativo R/p× .
Proposizione 4.2.6. Nelle ipotesi del teorema, con le notazioni appena
introdotte, fissata una unità fondamentale ε, ogni classe di ideali in I/H
contiene infiniti ideali primi p per cui ε è radice primitiva.
Dimostrazione 4.2.6. Questa proposizione è il passo cruciale della dimostrazione del teorema di Weinberger: la presenza di una radice primitiva
per un primo, come vedremo, dà automaticamente l’appartenza di questo
primo ad E2 . La dimostrazione dell’asserto è però lunga e molto tecnica
e non verrà pertanto affrontata. Per chi fosse interessato rimandiamo alla
dimostrazione completa.
Proposizione 4.2.7. Nelle ipotesi del teorema, gli elementi irriducibili di
R sono in E3 .
1
Ricordiamo che r indica il rango delle unità di K, come definito nel teorema 1.3.2.
CAPITOLO 4. CAMPI EUCLIDEI CON NORMA QUALSIASI
22
Dimostrazione 4.2.7. Sia p un irriducibile e p = (p) l’ideale principale corrispondente; sia x un elemento qualsiasi dell’anello coprimo con p.
Vogliamo far vedere che x + (p) contiene un elemento di E2 , da cui avremo
la tesi. Per ipotesi si ha (x) ∈ I/H; sia ε una qualsiasi unità fondamentale. Allora la proposizione 4.2.6 ci assicura l’esistenza di un ideale primo
q = (q) ≡ (x) (mod p) che sia coprimo con p e per cui ε sia una radice
primitiva. Allora si ha:
• q ∈ E2 perché ogni classe non nulla di R/(q) contiene una potenza
di ε in quanto radice primitiva, e questa potenza è chiaramente un
elemento di E1 .
• q ∈ x + (p) perché q ≡ x (mod p)
E quindi q è proprio l’elemento che stavamo cercando.
Dimostrazione
Ci serve ancora un piccolo lemma:
Lemma 4.2.8. Sia m ∈ R\{0}. Allora ogni classe residua coprima2 di
R/(m) contiene infiniti elementi irriducibili. In particolare, se vale la proposizione 4.2.7, ogni tale classe contiene un irriducibile di E3 .
Dimostrazione 4.2.8. Sia x un qualsiasi elemento coprimo con m. Allora un’estensione del teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche ci
assicura che esistono infiniti ideali primi (q) coprimi con (m) t.c. (q) ≡
(x) (mod (m)). Pertanto si ha per definizione che q ∈ x + (m) come voluto.
Per la dimostrazione ci baseremo principalmente sulla proposizione 4.2.7.
Dimostreremo in particolare che, se a è prodotto di n2 irriducibili di E2 e di
n3 irriducibili di E3 (diciamo che a è di tipo (n2 , n3 )), posto3 :
ht (a) = max(2n2 + 3n3 , 1)
(4.2)
Si ha allora a ∈ Eht(a) . Da questo risultato discende chiaramente il teorema.
Vediamo dunque di dimostrare l’asserto per induzione; il caso ht (a) < 3 è
chiaramente soddisfatto. Supponiamo dunque di avere a di tipo (n2 , n3 ) e
cerchiamo di dimostrare che ogni classe residua modulo a ha un elemento di
Eht(a)−1 ; queste classi sono della forma:
b(t2 , t3 ) · (r + I)
Dove I è l’ideale generato da c(n2 − t2 , n3 − t3 ) e b = b(i, j) e c = c(i, j) sono
divisori di a di tipo (i, j). Si hanno i seguenti casi:
2
Ovvero che sia un’unità dell’anello quoziente
Il massimo nella formula serve ad avere ht (a)=1 nel caso che a sia un’unità, come è
auspicabile
3
CAPITOLO 4. CAMPI EUCLIDEI CON NORMA QUALSIASI
23
• (t2 , t3 ) = (n2 , n3 ): in questo caso si ha solo la classe nulla che non ci
dà problemi: l’elemento cercato non è altro che lo 0
• (t2 , t3 ) = (n2 − 1, n3 ): in questo caso r + I contiene sempre un’unità u
e quindi bu è l’elemento cercato
• (t2 , t3 ) = (n2 , n3 −1): in questo caso r +I contiene sempre un elemento
w ∈ E2 (se non, meglio ancora, un’unità) e quindi bw è di tipo (n2 +
1, n3 − 1) cioè è l’elemento cercato
• t2 < n2 e t3 < n3 : in questo caso per il lemma 4.2.8 si ha un elemento
irriducibile w ∈ r + I in E3 , ovvero di tipo (δ2 , δ3 ) con δ2 + δ3 ≤ 1;
allora l’elemento bw è di tipo (t2 + δ2 , t3 + δ3 ) cioè è l’elemento cercato
4.2.2
Dimostrazione 2 (Teorema di Harper)
Per la dimostrazione completa si veda [H].
La dimostrazione di questo teorema (di cui vedremo adesso una traccia) si
basa su una variante del teorema 1.2.4; utilizzeremo in questo paragrafo le
notazioni del suddetto teorema. Indichiamo con PR ⊆ R l’insieme degli
irriducibili di R e con UR ⊆ R il gruppo delle unità.
Definizione 4.2.9. Sia K un campo principale. Siano p1 , . . . , ps ∈ PR .
L’insieme {p1 , . . . , ps } (eventualmente vuoto) si dice ammissibile se ∀α1 , . . . , αs
interi positivi e ∀b coprimo con i pi si ha:
∃u ∈ UR : b − u ∈ (pα1 1 · · · pαs s )
(4.3)
Indicheremo con smax il massimo di #A per A insieme ammissibile di primi.
Proposizione 4.2.10. Nella definizione precedente basta controllare il caso
α1 = . . . = αs = 2. La dimostrazione di questo fatto si può trovare in [CM].
Definizione 4.2.11. Similmente a quanto fatto nel teorema 1.2.4, dato un
insieme ammissibile {p1 , . . . , ps }, definiamo la seguente successione4 :
F0 = h{p1 , . . . , ps } ∪ UR i
Fj = {p ∈ PR |∀x ∈ R : x + (p) ∩ (Fj−1 ∪ F0 ) 6= ∅}
S
Proposizione 4.2.12. Se PR ⊆ ∞
j=0 Fj allora R è euclideo.
(4.4)
Dimostrazione
4.2.12. Sia β ∈ R. Vogliamo far vedere che β ∈ E =
S
E
;
per
far
ciò
sarà sufficiente controllare che ogni classe residua non
i i
4
hAi è il monoide generato da A
CAPITOLO 4. CAMPI EUCLIDEI CON NORMA QUALSIASI
24
nulla modulo β ha un rappresentante in E. Definiamo le seguenti quantità
per i primi p ∈ PR :
g(p) = max{j|p ∈ Fj }
1 if p ∈ F0
Ω(p) =
0 if p 6∈ F0
0 if p ∈ F0
Ω0 (p) =
1 if p 6∈ F0
Si estendano g, Ω, Ω0 in modo completamente additivo su tutto R. Ragioniamo per induzione su (Ω0 (β), Ω(β), g(β)) ordinato lessicograficamente.
• Il caso (0, 0, 0) corrisponde a β ∈ R∗ e chiaramente si ha in questo
caso β ∈ E. Sia dunque β ∈ R, con β 6= 0 e β 6∈ R∗ .
• Altrimenti, sia α rappresentante di una classe residua non nulla modulo β. Vogliamo far vedere per induzione completa che esiste α0 che
rappresenta la stessa classe e tale che α0 ≤ β secondo l’ordinamento
introdotto. Se necessario, dividiamo sia α che β per un fattore comune in modo tale che diventino coprimi (in questo modo si ha che
comunque β non è un’unità, altrimenti α rappresenterebbe la classe
nulla). Si ha che:
– Nel caso Ω0 (β) = 0 si ha β ∈ F0 ; allora per definizione si può
trovare un’unità α0 che rappresenti la stessa classe residua, e ci
siamo.
– Nel caso Ω0 (β) = 1, Ω(β) = 0, sempre per definizione possiamo
trovare un elemento α0 ∈ B0 o un primo α0 ≤ β che soddisfi le
richieste.
– Negli altri casi β è maggiorante di PR ; un analogo del teorema
di Dirichlet per campi di numeri qualsiasi ci dice che possiamo
trovare un primo α0 che rappresenti la stessa classe di α, e per
quanto detto questo è l’elemento che cercavamo.
A questo punto resta da far vedere che nei casi considerati nel teorema si può
trovare un insieme di primi ammissibili tali che valgano le ipotesi dell’ultima
proposizione. Questa parte, abbastanza tecnica e poco interessante, non
verrà affrontata in questa sede; per gli interessati si rimanda all’articolo
di riferimento. Ci limitiamo a riportare un criterio importante che verrà
utilizzato nella dimostrazione del teorema successivo:
Proposizione 4.2.13. Sia fj (x) = #{p ∈ Fj : N(p) ≤ x}; allora R è
euclideo se vale:
x
f1 (x) (4.5)
log 2 x
CAPITOLO 4. CAMPI EUCLIDEI CON NORMA QUALSIASI
4.2.3
25
Dimostrazione 3 (Teorema di Harper–Murty)
Per la dimostrazione completa si veda [HM].
Diamo anche in questo caso una rapida traccia della dimostrazione. Sia G
il gruppo di Galois di K su Q. Innanzitutto si analizza il caso abeliano,
dimostrando il seguente:
Teorema 4.2.14. Con le notazioni della definizione 4.2.9, se K/Q è abeliana
il teorema vale nell’ipotesi più generale che si abbia r + smax ≥ 3.
Questo viene fatto utilizzando i metodi utilizzati da Harper nella dimostrazione
del teorema 4.2.2. Veniamo adesso al caso generale. Tramite metodi di crivello, che mirano a utilizzare il criterio 4.2.13 tramite una stima sui numeri
primi, ci si riduce a controllare che un certo valore limite η soddisfi la condizione5 η < r+1
2 . Supponiamo che G non sia abeliano ma contenga un
sottogruppo abeliano H di ordine massimo e e indice minimo d 6= 1. Si
hanno i seguenti casi:
• Caso d ≤ 4: in questo caso si può prendere η = 2 cioè r > 3, e ci
siamo.
• Caso d ≥ 4: in questo caso si può prendere η = d − 2. Distinguiamo
due sottocasi:
– Caso e ≥ 4: in questo caso si ha:
r = r1 + r2 − 1 ≥
r1 + 2r2 − 2
n−2
2n
=
≥
− 1 = 2d − 1
2
2
e
dunque r > 2d − 5 e la condizione è soddisfatta.
– Caso e ≤ 4: in questo caso, n non può essere divisibile né per
un primo e0 > 3, né per e0 = 9, né per e0 = 4, altrimenti G conterrebbe un sottogruppo abeliano di ordine e0 contraddicendo la
massimalità di e. Siccome G per ipotesi non è abeliano, resta solo
il caso G = S3 . Utilizzando un caso particolare di una congettura
di Artin sulle L-serie, anche in questo caso si trova che è possibile
prendere η = 2.
5
Utilizziamo come al solito le notazioni del teorema 1.3.2.
Capitolo 5
Campi globali
5.1
Anelli euclidei
Vediamo adesso un teorema sorprendente sulla presenza di sottoanelli euclidei in un campo globale.
Teorema
Sia K un campo globale. Allora, con le notazioni della definizione 1.4.1,
∃S ⊇ S∞ tale che gli S-interi formano un anello euclideo con la S-norma.
Preliminari
Definizione 5.1.1. Definiamo l’anello degli adeli di K come il seguente
prodotto:
Y
KA =
Kp
(5.1)
p
Su KA viene utilizzata la topologia prodotto ristretta rispetto agli anelli Rp ;
con questa topologia KA è uno spazio topologico compatto. Identifichiamo
inoltre K con l’immersione diagonale in KA . Si osservi che si può
Q considerare
K∞ (vedi definizione 1.4.5) immerso in KA come K∞ = p∈S∞ Kp . Se
ζ ∈ KA , indichiamo con ζp la sua componente in Kp .
Definizione 5.1.2. Sia x ∈ K∗ . Allora definiamo i seguenti insiemi:
|ζp |p < |x|p se p ∈ S∞
V (x) = ζ ∈ KA (5.2)
|ζp |p ≤ |x|p se p ∈
/ S∞
Si dimostra facilmente che questi insiemi sono aperti in KA .
26
CAPITOLO 5. CAMPI GLOBALI
Lemma 5.1.3. Con le notazioni appena introdotte, si ha:
[
KA =
(V (x) + K)
27
(5.3)
x∈K∗
Q
Dimostrazione 5.1.3. Sia RA = K∞ × p∈S
/ ∞ Rp . Allora chiaramente si
ha che RA = X + K. Dunque ci basta dimostrare che:
[
RA ⊆
(V (x) + K)
(5.4)
x∈K∗
Sia dunque ζ ∈ RA . Sia ω1 , . . . , ωn una base intera di R. Sia R0 l’anello
degli interi del campo base1 . Allora non è difficile trovare q, p1 , . . . , pn ∈ R0
con q 6= 0 tali che:
|qζp − (p1 ω1 + . . . + pn ωn )|p < 1 per p ∈ S∞
|qζp − (p1 ω1 + . . . + pn ωn )|p ≤ 1 per p ∈
/ S∞
Da cui ζ ∈ V (1/q) + K come voluto.
Dimostrazione
Utilizziamo il lemma 5.1.3. Per la compattezza di KA /K, possiamo trovare
un sottoinsieme finito {xi }i∈I ⊂ K∗ tale che:
[
KA =
(V (xi ) + K)
(5.5)
i∈I
Sia S = S∞ ∪ S 0 dove S 0 è l’insieme dei valori assoluti p tali che per qualche
i si ha |xi |p 6= 1, ovvero quelli che intervengono nella scomposizione in
primi2 degli ideali frazionari (xi ). Allora S è chiaramente finito; resta da
dimostrare che OS è euclideo secondo la S-norma. Si osservi che anche
per la S-norma possiamo utilizzare le condizioni di euclideicità (1.4), (1.5)
e (1.6) sostituendo φS a |N| e OS a R. A questo punto con metodi di
approssimazione si trasporta la condizione di euclideicità agli adeli; non
analizzeremo però in dettaglio il procedimento.
5.2
Anelli a ideali principali
Utilizziamo le notazioni del paragrafo 1.4. Vogliamo vedere quando vale
l’implicazione OS dominio a ideali principali =⇒ OS euclideo; nel caso S =
S∞ si ritrova il problema già affrontato per i campi di numeri nel capitolo
4. Distinguiamo due casi:
1
2
Ovvero R0 = Z oppure R0 = Fpk [t] nei due casi
Si ricordi che OS è un dominio di Dedekind.
CAPITOLO 5. CAMPI GLOBALI
5.2.1
28
Caso #S ≥ 2
Osservazione 5.2.1. Se K è un campo di numeri si ha #S∞ = r1 + r2 (vedi
definizione 1.3.1). Quindi #S ≥ 2 se il rango delle unità di R è ≥ 1 oppure
se S contiene almeno un primo finito.
Teorema 5.2.2. Supponiamo vera la GRH per i campi di numeri. Sia
#S ≥ 2. Allora OS è euclideo se e solo se è a ideali principali.
Osservazione 5.2.3. Il teorema 5.2.2 è una generalizzazione del teorema
di Weinberger (vedi capitolo 4).
Dimostrazione 5.2.2. Diamo come al solito solo una traccia della dimostrazione nel caso dei campi di funzioni, che può essere trovata in S[Q1].
Similmente a quanto fatto nella definizione 4.2.4, dato un primo q ∈
/ S VS ,
definiamo:
• Il gruppo dei divisori: I
• Il gruppo dei divisori primi con q: I(q) ⊆ I
• Il gruppo dei divisori principali generati da un elemento congruo a 1
modulo q: P (q) ⊆ I
• Il gruppo dei divisori generato dagli elementi finiti di S: IS ⊆ I
• HS (q) = P (q) · IS ⊆ I(q)
A questo punto viene dimostrato il seguente importante lemma:
∀C ∈ HS (q)/I(q) ∃∞ q ∈ C : q ∈ VS
Questo lemma viene dimostrato utilizzando la densità di Dirichlet sui divisori primi finiti3 :
ζM (σ)
ω(M ) = lim
σ→1+ ζP (σ)
Grazie alla congettura di Riemann generalizzata, che è valida sui campi di
funzioni (e che abbiamo supposto valida sui campi di numeri), si dimostra
appunto che questa densità è > 0. Da questo, se ne deduce la suriettività
dell’omomorfismo θS : I → Z definito sui divisori primi come:

 0 se p ∈ S
1 se p ∈ VS
θS (p) =

2 altrimenti
Si dimostra infine che l’omomorfismo fS : K∗ → Z definito come fS (x) =
θS ((x)) dà una norma euclidea se ristretto a OS \{0} (ovviamente ponendo
fS (0) = 0). Più precisamente, si dimostra che questa norma è la norma
minima (vedi teorema 1.2.4).
3
Nella definizione di ω indichiamo con ζ la funzione zeta di Riemann generalizzata sul
1
campo K e con ζM la stessa funzione in cui però si fa la sommatoria solo dei termini N(I)
con I ∈ M .
CAPITOLO 5. CAMPI GLOBALI
5.2.2
29
Caso #S = 1
Teorema 5.2.4. Supponiamo vera la GRH per i campi di numeri. Allora,
con le notazioni usate finora, se OS è un dominio a ideali principali non
euclideo, si deve avere #S = #S∞ = 1 (e in particolare OS = R) e K
compreso tra i seguenti otto campi globali:
√
• K = Q( −n) con n = 19, 43, 67, 163
• K = F2 (x, y) con y 2 + y = x3 + x + 1 oppure y 2 + y = x5 + x3 + 1
• K = F3 (x, y) con y 2 = x3 + 2x + 2
• K = F4 (x, y) con y 2 + y = x3 + ζ
Ove si è posto F4 = {0, 1, ζ, 1 + ζ = ζ 2 }.
Dimostrazione 5.2.4. Si ha subito la condizione #S = #S∞ = 1 per il
teorema 5.2.2 appena dimostrato. Il caso dei campi di numeri deriva allora
dal teorema di Weinberger (vedi capitolo 4), o equivalentemente dal teorema
5.2.2 (vedi osservazione 5.2.3), e dalla trattazione fatta al paragrafo 2.1.
Vediamo adesso il caso dei campi di funzioni. Senza scendere nei dettagli,
gli unici campi principali di questo tipo (si veda [LMQ]) sono Fq (x) (da
escludersi, analogamente al caso Q nei campi di numeri) e i quattro campi
elencati nella tesi del teorema. Vediamo che questi ultimi non sono euclidei,
utilizzando il solito criterio di Motzkin (teorema 1.2.4). Una delle condizioni
che si trovano è che R non può avere primi di grado 1; questo però significa
che E2 \E1 = ∅ e quindi R non può essere euclideo. Per la dimostrazione
completa si rimanda a [Q1].
Bibliografia
[C] David A. Clark, A quadratic field which is Euclidean but not normEuclidean, Manuscripta Math. 83 (1994), pp. 327-330
[Cf] V. Cioffari, The euclidean condition in pure cubic and complex quartic
fields, Math. Comp. 33. (1979), pp. 389–398
[ChD] H. Chatland; H. Davenport, Euclid’s algorithm in real quadratic
fields, Canadian J. Math. 2 (1950), pp. 289–296.
[CM] David A. Clark, M. Ram Murty, The Euclidean algorithm for Galois
extensions of Q, J. Reine Angew. Math 459, pp. 151–162
[H] Malcolm Harper, Z[14] is euclidean, Canadian J. Math. 56 (2004), pp.
55-70
[HM] Malcolm Harper, M. Ram Murty, Euclidean rings of algebraic integers,
Canadian J. Math. 56 (2004), pp. 71-76
[L] H. W. Lenstra, Jr., Euclid’s Algorithm in Cyclotomic Fields, J. London
Math. Soc. 10/2 (1975), pp. 457–465.
[Lm1] F. Lemmermeyer, The Euclidean Algorithm in Algebraic Number
Fields, Expo. Math. 13/5 (1995)
[Lm2] F. Lemmermeyer, Euklidische Ringe, Diplomarbeit Heidelberg (1989)
[LMQ] J. R. Leitzel, M. Madan, C. Queen, Algebraic function fields of small
class number, Journal of Number Theory 7/1 (1975), pp. 11–27
[McK] R. G. McKenzie, The ring of cyclotomic integers of modulus thirteen
is norm-euclidean, Ph.D. thesis, Michigan State University (1988)
[Ms] J. M. Masley, On the class number of cyclotomic fields, Ph.D. thesis,
Princeton University (1972)
[Mt] T. S. Motzkin, The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55
(1949), pp. 1142–1146.
30
BIBLIOGRAFIA
31
[N] Wladyslaw Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic
Numbers, pp. 120–125
[O] T. Ojala, Euclid’s algorithm in the cyclotomic field Q(ζ16 ), Math.
Comp. 31 (1977), pp. 268–273
[Q1] Clifford S. Queen, Arithmetic euclidean rings, Acta Arith. 26 (1974),
pp. 105–113.
[Q2] Clifford S. Queen, Euclidean subrings of global fields, Bulletin of
American Mathematical Society 79/2 (1973), pp. 437–439
[V] G. R. Veldkamp, Remark on Euclidean rings, Nieuw Tijdschr. Wisk. 48
(1960/61), pp. 268–270
[W] Peter J. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers, Analytic
number theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ.,
St. Louis, Mo., 1972), pp. 321–332. Amer. Math. Soc., Providence, R.
I., 1973.
[Ws] L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Springer–Verlag
1982.