Lezione 20 Caratteristica e sottocampo fondamentale di un campo.

Lezione 20
Prerequisiti: Definizione di campo. Campi » p .
Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 5.9; [H] Sezione 3.2; [PC] Sezione 4.10
Caratteristica e sottocampo fondamentale di un campo.
In questa sezione, K indicherà sempre un campo.
Definizione 20.1 Si dice che il campo K ha caratteristica zero se non esiste un intero positivo n tale
che n ⋅1K = 0 K . Altrimenti si dice che K ha caratteristica finita, e si pone la sua caratteristica uguale
al minimo n siffatto.
Osservazione 20.2 Se K ha caratteristica finita, la sua caratteristica n è pari al periodo di 1 nel
gruppo additivo di K, ossia l’ordine del sottogruppo:
1 = {h ⋅1 h ∈ »}
Si noti che questo è anche un sottoanello di K ed è isomorfo all’anello » n . Poiché ogni sottoanello
di un campo è integro, segue che n è necessariamente un numero primo. In effetti, un campo di
caratteristica finita si dice anche di caratteristica prima.
Esempio 20.3 Sono campi di caratteristica zero: », », ». Per ogni primo p, il campo » p ha
caratteristica (prima) p.
Definizione 20.4 Si dice sottocampo fondamentale di K il più piccolo sottocampo contenuto in K: è
l’intersezione di tutti i sottocampi di K.
Osservazione 20.5 Il sottocampo fondamentale di K contiene 0 e 1, e, insieme con 1, anche tutti i
suoi multipli interi, gli inversi di quei multipli interi che sono diversi da zero, e tutti i prodotti che è
possibile formare con questi elementi. Dunque il sottocampo fondamentale di K è
{( n ⋅1) (m ⋅1)
−1
» se K ha caratteristica zero 
n, m ∈ », m ⋅1 ≠ 0 ≅ 

 » p se K ha caratteristica p 
}
Esempio 20.6 Il campo » 3 [ x] /( x 2 + 1) ha caratteristica 3, il suo sottocampo fondamentale è » 3 .