Curve e superfici Nurbs

Giovedì 6 Giugno 2013
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Curve e superfici Nurbs
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Le Nurbs, acronimo di Non Uniform Rational B-Spline, sono entità riconducibili a figure, linee e superfici, definite
da un particolare algoritmo che rappresenta oggi il più efficace ed avanzato grado evolutivo della modellazione
tridimensionale.
La rappresentazione Nurbs ha origine negli anni sessanta grazie agli studi ed alle ricerche del matematico
Francese Pierre Bèzier in quegli anni impiegato presso la casa automobilistica Renault e conseguentemente anche
dal matematico Paul de Casteljau suo collega ed impiegato presso la Citröen.
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In particolare, Bèzier per primo sviluppò a suo tempo delle particolari Curve (chiamate appunto Curve di Bèzier)
grazie alle quali, e con poco sforzo, fu possibile ottenere curve analiticamente efficienti e flessibili. Tali entità
vengono controllate mediante dei Punti di Controllo.
Curve di Bézier
Le curve di Bézier sono un tipo di curve vettoriali utilizzate per definire forme morbide freeform. Programmi
come Adobe Illustrator, Macromedia FreeHand fanno largo uso delle curve di Bézier. Un punto di controllo (un
vertice) di una curva di Bézier consiste in un punto e due maniglie; Il punto nel mezzo, è usato per spostare
l'intero punto di controllo
In seguito, nel corso degli anni, sulla base degli studi di Bézier e de Casteljau sono state sviluppate le B-Splines e
le Nurbs che altro non sono che una generalizzazione degli algormi creati in precedenza. In particolare, le
matematica Nurbs nasce dall'esigenza di poter rappresentare correttamente archi di circonferenza e curve
coniche cosa che, con le B-Spline tradizionali, non è possibile ottenere. Rhinoceros è un modellatore Nurbs di
Superfici a tutti gli effetti che si avvale proprio delle Nurbs per rappresentare al meglio le curve, le superfici ed i
solidi. Fatta questa importante ma necessaria introduzione vediamo come viene descritta una curva Nurbs senza
naturalmente sconfinare in temi puramente matematici.
Una Curva Nurbs è definita da una equazione parametrica di grado n in funzione di un parametro U che varia
nell'intervallo [0,1]
Una Nurbs è determinata dai seguenti quattro parametri: - n numeri di Punti di Controllo denominati anche
Poli;
Il Grado del polinomio che descrive la curva (grado 1,2,3,4,5 ecc)
Un certo numero di Archi o Spans che compongono la curva;
Il grado della continuità dei suddetti archi (G0 Posizione, G1 Tangenza, G2 di Curvatura)
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Questi quattro parametri sono tra loro legati dalla seguente relazione np = (gr - con) na + con + 1
dove:
np è il numero di punti di controllo che compongono la curva Nurbs
gr è il grado della curva
con è la continuità tra gli Archi
na è il numero di archi.
A tutti questi parametri si aggiungono anche il Peso ed i Nodi. Il Peso consente di attrarre localmente, in
corrispondenza di un Punto di Controllo, una porzione di curva; per la spiegazione relativa ad i Nodi vi rimandiamo
al Box mostrato qui sotto. Per modificare invece la forma generale di una curva Nurbs è sufficiente spostare
anzichè i Nodi, uno o più Punti di Controllo
Grado di una curva Nurbs
Il Grado di una Curva Nurbs è un numero che di norma ha un valore pari a 1,2,3,4,5 ecc. Per Default in Rhino le
Linee e le Polilinee possiedono un grado pari a 1 (Linerare); I cerchi, curve nurbs Specializzate, hanno invece Grado
2 (Quadratiche). Le Curve Nurbs definite tramite Punti di Controllo oppure Le Curve Nurbs Interpolate presentano
di Default Grado 3 (Curva Cubica)
Punti di Controllo
I Punti di controllo che compongono una Curva Nurbs sono una serie di punti in numero pari al Grado della curva
stessa + 1. I punti di controllo sono quindi dei punti di riferimento su una curva e vengono utilizzati per
modificarne la forma.
Nodi
In una Curva Nurbs i I nodi possono esser aggiunti senza modificare la forma di una curva NURBS mentre, al
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contrario, la rimozione di nodi cambia inevitabilmente la forma della curva stessa.
Nota: E’ importante non confondere un Nodo con un Punto di Controllo. Nelle curve di grado 1 Nodi e Punti di
Controllo coincidono.
Peso
In corrispondenza di ogni Punto di Controllo vi è associato un Peso; Una curva Nurbs viene denominata non
razionale quando tutti i Punti di Controllo della curva presentano il medesimo Peso. in caso contrario la curva
Nurbs viene definita Razionale. In Rhinoceros, per conoscere i parametri propri di una curva Nurbs (grado,
numero di punti ecc.) , si utilizza il comando Proprietà Oggetto; si seleziona la curva e si richiama in seguito il
comando Proprietà Oggetto. In alternativa, si può utilizzare la scorciatoia da tastiera F3.
Una curva Nurbs può essere disegnata aperta oppure chiusa; le curve chiuse vengono chiamate anche curve
Periodiche
Nota. In Rhinoceros, qualsiasi forma bidimensionale disegnata, una Curva definita tramite Punti Controllo, Curva
Interpolata, Ellisse, Cerchio, Polilinea, Segmenti, Poligoni, Raccordi tra due curve sono tutti quanti da considerarsi
elementi Nurbs. Le uniche entità che in Rhino si dissociano dalla manetatica Nurbs, sono le PolyMesh ovvero tutte
quelle geometrie realizzate mediante elementi poligonali
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