Capitolo 6 STABILITA` DELL`EQUILIBRIO ELASTICO (prof

Capitolo 6
STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO
ELASTICO (prof. Elio Sacco)
6.1
Sistemi articolati rigidi
Si consideri una mensola rigida vincolata tramite un supporto elastico di rigidezza k,
soggetta a carico assiale F , come illustrato in figura 6.1.
L’equazione di equilibrio può essere scritta nella configurazione indeformata ovvero
in quella deformata caratterizzata da una rotazione ϕ della trave. Nel secondo caso il
vincolo elastico reagisce con un momento proporzionale tramite k alla rotazione ϕ; in
tal caso l’equazione di equilibrio si scrive come:
k ϕ − F L sin ϕ = 0
(6.1)
Risolvendo l’equazione (6.1) rispetto alla forza adimesionalizzata f = F L/k, si ottiene:
f=
ϕ
F L
=
k
sin ϕ
(6.2)
In figura 6.2 è riportato il percorso di equilibrio per la mensola. Si evidenzia che per
f l 1 la mensola è in equilibrio per la sola configurazione definita da ϕ = 0, ovvero per
la configuazione indeformata. Per f > 1, nell’intervallo −π/2 < ϕ < π/2, per la trave
sono possibili 3 configurazioni di equilibrio: ϕ > 0, ϕ < 0, ϕ = 0. Per f = 1 si ha un
punto di biforcazione dell’equilibrio; il valore della forza per la quale si ha biforcazione
dell’equilibrio è generalmente definito carico critico.
L’equazione di equilibrio (6.1) si può anche ottenere come condizione di stazionarietà dell’energia potenziale totale, che nel caso in esame vale:
1
Π (ϕ) = k ϕ2 − F L (1 − cos ϕ)
2
75
(6.3)
76CAPITOLO 6. STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO (PROF. ELIO SACCO)
F
k
F
F
F
L
L (1-cosϕ)
M
ϕ
L sinϕ
F
Figura 6.1: Mensola soggetta a carico assiale.
ϕ
Figura 6.2: Percorso di equibrio della mensola caricata assialmente
6.1. SISTEMI ARTICOLATI RIGIDI
77
dove il primo termine rappresenta l’energia elastica del vincolo ed il secondo il potenziale dei carichi. Imponendo la condizione di stazionarietà si ottiene:
0=
∂Π
= k ϕ − F L sin ϕ
∂ϕ
(6.4)
Indagando inoltre sulla derivata seconda dell’energia è possibile stabilire la qualità
dell’equilibrio:
∂2Π
>0
∂ϕ2
∂2Π
<0
∂ϕ2
∂2Π
=0
∂ϕ2
equilibrio stabile
(6.5)
equilibrio stabile
equilibrio indifferente
L’equilibrio è stabile quando a partire da una configurazione iniziale di equilibrio,
perturbando tale configurazione di equilibrio la struttura tende a ritornare nella sua
posizione iniziale di equilibrio. L’equilibrio è instabile quando perturbando la configurazione iniziale di equilibrio la struttura tende ad allontanarsi dalla posizione iniziale
di equilibrio. L’equilibrio è indifferente quando a partire da una configurazione iniziale
di equilibrio, perturbando tale configurazione di equilibrio la struttura tende a restare
nella sua configurazione perturbata.
Nel caso in esame si ha:
∂2Π
= k − F L cos ϕ
(6.6)
∂ϕ2
Possono accadere i seguenti possibili casi:
1. f = F L/k < 1 per cui ϕ = 0; in tal caso si ha
∂2Π
=k−F L>0
∂ϕ2
(6.7)
l’equilibrio è stabile.
2. f = F L/k > 1 con ϕ = 0; in tal caso si ha
∂2Π
=k−F L<0
∂ϕ2
l’equilibrio è instabile.
(6.8)
78CAPITOLO 6. STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO (PROF. ELIO SACCO)
ϕ
Figura 6.3: Grafico della derivata seconda dell’energia potenziale totale nel caso f =
F L/k > 1 con ϕ/ sin ϕ = f.
3. f = F L/k > 1 con ϕ/ sin ϕ = f ; in tal caso si ha
∂2Π
kϕ
L cos ϕ = k
= k − F L cos ϕ = k −
2
∂ϕ
L sin ϕ
µ
1−
ϕ
tan ϕ
¶
>0
(6.9)
L’andamento della derivata seconda dell’energia potenziale totale è illustato in
figura 6.3.
In realtà nella maggior parte delle applicazioni tecniche è di fondamentale importanza determinare esclusivamente il valore del carico critico ovvero dela carico di biforcazione dell’equilibrio, mentre risulta spesso poco interessante e particolarmente
complesso definire tutti i percorsi di equilibrio post-critici. Allo scopo di determinare il
carico critico si può svolgere un’analisi considerando configurazioni molto vicine a quella indeformata. Con tale fine, si sviluppano in serie fi Taylor le funzioni trigonometriche
fino al secondo ordine:
(6.10)
sin ϕ = ϕ
2
ϕ
2
Sostituendo le espressioni (6.10) nell’energia potenziale totale (6.3), si ottiene:
cos ϕ = 1 −
ϕ2
1
2
Π (ϕ) = k ϕ − F L
2
2
(6.11)
6.1. SISTEMI ARTICOLATI RIGIDI
ϕ1
79
ϕ3
ϕ2
F
∆ϕ2
∆ϕ1
Figura 6.4:
Imponendo la stazionarietà dell’energia potenziale nella sua forma approssimata (6.11)
si perviene all’equazione:
∂Π
0=
= k ϕ − F Lϕ
(6.12)
∂ϕ
che risolta assumendo ϕ 6= 0 fornisce il valore del carico critico:
k
F =
(6.13)
L
Si consideri ora la trave continua rappresentata in figura 6.4, costituita da tratti
rigidi connessi tra loro tramite elementi elastici concentrati.
L’energia potenziale totale apprissimata al secondo ordine vale:
1
1
ϕ2
ϕ2
ϕ2
Π = k ∆ϕ21 + k ∆ϕ22 − F L 1 − F L 2 − F L 3
2
2
2
2
2
dove ∆ϕ1 , ∆ϕ2 e ϕ3 si calcolano in funzione di ϕ1 e ϕ2 . In particolare, si ha:
ϕ3 = ϕ1 + ϕ2
∆ϕ1 = ϕ1 − ϕ2
∆ϕ2 = ϕ2 + ϕ3 = ϕ1 + 2ϕ2
(6.14)
(6.15)
L’energia (6.14) diventa allora:
ϕ22
(ϕ1 + ϕ2 )2
1
1
ϕ21
2
2
Π (ϕ1 , ϕ2 ) = k (ϕ1 − ϕ2 ) + k (ϕ1 + 2ϕ2 ) − F L − F L − F L
2
2
2
2
2
(6.16)
La condizione di stazionarietà dell’energia potenziale totale (6.16) conduce alle equazioni:
∂Π
= k (ϕ1 − ϕ2 ) + k (ϕ1 + 2ϕ2 ) − F Lϕ1 − F L (ϕ1 + ϕ2 )
(6.17)
∂ϕ1
= 2 (k − F L) ϕ1 + (k − F L) ϕ2
∂Π
0 =
= −k (ϕ1 − ϕ2 ) + 2k (ϕ1 + 2ϕ2 ) − F Lϕ2 − F L (ϕ1 + ϕ2 )
∂ϕ2
= (k − F L) ϕ1 + (5k − 2F L) ϕ2
0 =
80CAPITOLO 6. STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO (PROF. ELIO SACCO)
ovvero, in forma matriciale
¸½
∙
¾ ½ ¾
ϕ1
2 (k − F L) k − F L
0
=
k −F L
5k − 2F L
0
ϕ2
(6.18)
Il sistema di equazioni (6.18) risulta omogeneo; per avere una soluzione diversa
dalla banale, corrispondente a quella di trave indeformata, si deve imporre che il
determinante sia uguale a zero:
¸
∙
2 (k − F L) k − F L
= 9 k2 − 12 k F L + 3 F 2 L2 = 0
det
(6.19)
k −F L
5k − 2F L
che risolta rispetto a F fornisce i seguenti due valori:
F1 =
k
L
,
F2 = 3
k
L
(6.20)
Sostituendo il valore F = F1 nella seconda delle equazioni (6.17), si ottiene:
L) ϕ2
0 =¡(k − F1 L)
1 ¢
¢ ϕ1 +¡(5k − 2F
k
k
= k − L L ϕ1 + 5k − 2 L L ϕ2
= 3kϕ2
=⇒ ϕ1 6= 0
,
ϕ2 = 0
(6.21)
Analogamente, sostituendo il valore F = F2 sempre nella seconda delle equazioni
(6.17), si ottiene:
0 =¡(k − F2 L)¢ ϕ1 + (5k
¡ − 2Fk 2 L)
¢ ϕ2
k
= k − 3 L L ϕ1 + 5k − 6 L L ϕ2
= −2k ϕ1 − k L ϕ2
=⇒ ϕ1 = −ϕ2 /2
(6.22)
Le forme delle deformate corrispondenti ai due valori del carico critico determinati
sono riportati schematicamente in figura 6.5.
Se ne deduce allora che in corrispondenza del valore del carico critico F1 < F2
la configurazione di equilibrio non banale è una qualsiasi proporzionale alla prima di
quelle riportate in figura 6.5. Mentre in corrispondenza del valore del carico critico
F2 > F1 la configurazione di equilibrio non banale è una qualsiasi proporzionale alla
seconda di quelle riportate in figura 6.5.
6.2
Travi con elasticità diffusa
Si consideri una trave soggetta a carico assiale in equilibrio in una configurazione deformata. Le equazioni di equilibrio del tratto di trave di lunghezza dz nella configurazione
deformata, schematicamente illustrato in figura 6.6, forniscono:
T0 = 0
M 0 − N v0 = T
(6.23)
6.2. TRAVI CON ELASTICITÀ DIFFUSA
ϕ1
81
ϕ3
F1
ϕ2=0
ϕ3
ϕ1
F2
ϕ2=−2ϕ1
Figura 6.5: fig5_sta
essendo F = N. Nell’ipotesi che le curvature siano comunque non troppo grandi e che
possa ancora valere la classica relazione tra momento flettente e curvatura, si ottiene
la seguente equazione differenziale:
EIvIV + NvII = 0
(6.24)
ovvero
v IV + α2 vII = 0
con
α2 =
N
EI
(6.25)
L’equazione (6.25) ammette soluzione del tipo:
v = A sin (α z) + B cos (α z) + C z + D
per cui si ha:
ϕ = −v0 = −αA cos (α z) + αB sin (α z) − C
M = EIϕ0 = α2 A sin (α z) + α2 B cos (α z)
(6.26)
T = M 0 − N v 0 = α3 A cos (α z) − αb B sin (α z)
+ N (−αA cos (α z) + αB sin (α z) − C)
Inoltre è necessario scrivere le opportune condizioni al contorno. Nel caso particolare
82CAPITOLO 6. STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO (PROF. ELIO SACCO)
F
M
v
v+dv
M+dM
N
T
N
T+dT
Figura 6.6: fig6_sta
di trave appoggiata-appoggiata, si ha:
v(0) = 0
M(0) = 0
v(L) = 0
M(L) = 0
−→
−→
−→
−→
B+D =0
B=0
A sin (α L) + B cos (α L) + C L + D
α2 A sin (α L) + α2 B cos (α L)
(6.27)
che, in definitiva forniscono:
B=C=D=0
A sin (α L) = 0
(6.28)
Qualora anche A fosse nulla, la soluzione sarebbe banale, ovvero l’equilibrio si avrebbe
nella configurazione indeformata; al contrario, poichè si intende determinare la condizione di equilibrio nella configurazione deformata, si deve porre:
−→
sin (α L) = 0
α L = nπ
(6.29)
Qindi si perviene alla condizione:
2
α =
³ nπ ´2
L
=
N
EI
da cui si ricava il valore del carico critico minore Nc :
³ π ´2
Nc = EI
L
avendo assunto n = 1.
(6.30)
6.2. TRAVI CON ELASTICITÀ DIFFUSA
83
N
z1
1
A
z3
z2
2
3
B
C
D
Figura 6.7: fig7_sta
6.2.1
Esercizio
Si intende determinare il carico critico della trave a sezione variabile in figura 6.7.
L’equazione differenziale che governa il problema è:
d4 v
d2 v
+
N
=0
dz 4
dz 2
dove v è l’inflessione della trave e z è l’asse della trave. Ponendo:
N
α2 =
EI
l’equazione (6.31) diventa:
2
d4 v
2d v
+
α
=0
dz 4
dz 2
La soluzione dell’equazione differenziale (6.33) è del tipo:
EI
v = A sin (αz) + B cos (αz) + Cz + D
(6.31)
(6.32)
(6.33)
(6.34)
dove A, B, C e D sono costanti di integrazione da determinare imponendo opportune
condizioni al contorno. Dalla soluzione (6.34) è possibile determinare la rotazione, il
momento flettente ed il taglio nella trave:
ϕ =
− dv
=
dz
d2 v
=
M =
−EI dz2
d3 v
dv
T = −EI dz3 − N dz =
− [αA cos (αz) + αB sin (αz) + C]
−EI [α2 A sin (αz) + α2 B cos (αz)]
−EI {[α3 A cos (αz) + α3 B sin (αz)]
+α2 [αA cos (αz) + αB sin (αz) + C]}
(6.35)
L’equazione differenziale (6.33) deve essere scritta 3 volte, una per ogni tratto della
trave in figura:
2
d4 v1
+ α21 ddzv21 = 0
dz 4
1
d4 v2
dz24
d4 v3
dz34
2
1
+ α22 ddzv22 = 0
+α
2
2 d2 v3
3 dz32
=0
(6.36)
84CAPITOLO 6. STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO (PROF. ELIO SACCO)
le cui soluzioni sono:
v1 = A1 sin (α1 z1 ) + B1 cos (α1 z1 ) + C1 z1 + D1
v2 = A2 sin (α2 z2 ) + B2 cos (α2 z2 ) + C2 z2 + D2
v3 = A3 sin (α3 z3 ) + B3 cos (α3 z3 ) + C3 z3 + D3
(6.37)
Si pone:
α21 =
N
EI1
α22 =
N
EI2
α23 =
α1 = α
α2 = β α
α3 = γ α
con:
q
β = II12
β 2 = II12
I2 = βI12
N
EI3
(6.38)
q
γ = II13
γ 2 = II13
I3 = γI12
(6.39)
Le condizioni al contorno da imporre per determinare le costanti di integrazione sono
le seguenti:
in A:
v1 (0) = 0
(6.40)
ϕ1 (0) = 0
in B:
v1 (L1 ) = v2 (0)
ϕ1 (L1 ) = ϕ2 (0)
M1 (L1 ) = M2 (0)
T1 (L1 ) = T2 (0)
(6.41)
v2 (L2 ) = v3 (0)
ϕ2 (L2 ) = ϕ3 (0)
M2 (L2 ) = M3 (0)
T2 (L2 ) = T3 (0)
(6.42)
in C:
in D:
M3 (L3 ) = 0 ¯
3¯
T3 (L3 ) = N dv
dz3 ¯
L3
(6.43)
6.2. TRAVI CON ELASTICITÀ DIFFUSA
85
Esplicitando si ha:
0 = B1 + D1
0 = αA1 + C1
0 = A1 sin (αL1 ) + B1 cos (αL1 ) + C1 L1 + D1 − [B2 + D2 ]
0 = αA1 cos (αL1 ) + αB1 sin (αL1 ) + C1 − [(β α) A2 + C2 ]
0 = α2 A1 sin (αL1 ) + α2 B1 cos (αL1 ) − (β α)2 B2
0 = α3 A1 cos (αL1 ) + α3 B1 sin (αL1 ) − (β α)3 A2
0 = A2 sin ((β α) L2 ) + B2 cos ((β α) L2 ) + C2 L2 + D2 − [B3 + D3 ]
(6.44)
0 = (β α) A2 cos ((β α) L2 ) + (β α) B2 sin ((β α) L2 ) + C2 − [(γ α) A3 + C3 ]
0 = (β α)2 A2 sin ((β α) L2 ) + (β α)2 B2 cos ((β α) L2 ) − (γ α)2 B3
3
0 = (β α)3£A2 cos ((β α) L2 ) + (β α)3 B2 sin ((β α) L2 ) − (γ α)
A3
¤
0 = −EI3 £(γ α)2 A3 sin ((γ α) L3 ) + (γ α)2 B3 cos ((γ α) L3 )¤
0 = −EI3 (γ α)3 A3 cos ((γ α) L3 ) + (γ α)3 B3 sin ((γ α) L3 )
−N [(γ α) A3 cos ((γ α) L3 ) + (γ α) B3 sin ((γ α) L3 ) + C3 ]
Ponendo:
s1 = sin (αL1 )
c1 = cos (αL1 )
s2 = sin ((βα) L2 ) s2 = cos ((βα) L2 )
s3 = sin ((γα) L3 ) s3 = cos ((γα) L3 )
(6.45)
si ottiene il seguente sistema di equazioni omogeneo:
(6.46)
MX=0
dove:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
M=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
α1
s1
α1 c1
α21 s1
α31 c1
0
0
0
0
0
0
1
0
c1
α1 s1
α21 c1
α31 s1
0
0
0
0
0
0
0
1
L1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−α2
0
−α32
s2
α2 c2
α22 s2
α32 c2
0
0
0
0
−1
0
−α22
0
c2
α2 s2
α22 c2
α32 s2
0
0
0
0
0
−1
0
0
L2
1
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−α3
0
−α33
−EI3 α23 s3
−2α33 c3
0
0
0
0
0
0
−1
0
−α23
0
−EI3 α23 c3
−2α33 s3
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
−α23
⎤
0
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
−1 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎦
0
(6.47)
86CAPITOLO 6. STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO (PROF. ELIO SACCO)
X=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A1
B1
C1
D1
A2
B2
C2
D2
A3
B3
C3
D3
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
0=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(6.48)
Per ottenere una soluzione del sistema di equazioni (6.46) diversa dalla banale, si
impone il determinate della matrice dei coefficienti uguale a zero:
det (M) = 0
(6.49)
Risolvendo l’equazione (6.49) rispetto a N, e scegliendo il valore minimo di N che
soddisfa la (6.49), si determina il carico critico Nc . In particolare si deve essere risolvere
l’equazione (6.49) rispetto da α, da cui si ricava Nc .
In definitiva, il carico critico vale: 632525 N.