Da Euclide alle reti sociali: ovvero parliamo di ALGORITMI

Da Euclide alle reti sociali:
ovvero parliamo di ALGORITMI
Rossella PETRESCHI
Dipartimento di Informatica/ Sapienza Università di Roma
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Algoritmo:
una parola di gran moda che piace …..
 L’algoritmo sbagliato che gonfiava le multe delle quote latte
(18/11/2013 Corriere della Sera)
 L’algoritmo dei sentimenti legge le emozioni sul tuo viso
(2/12/2013 Corriere della Sera)
 L’algoritmo della casalinga
(29/01/2014 Repubblica)
 C’è una falla nell’algoritmo per la ripartizione dei voti nei
seggi
(13/02/2014 Polisblog)
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
……ma che fa anche paura
Abbasso gli algoritmi (M.Gramellini / La Stampa 06/11/2013)
Scandagliando milioni di pagine Facebook, due ricercatori americani (Backstrom e
Kleinberg) hanno messo a punto un algoritmo che consente di prevedere la durata di
una coppia (all‘interno di una rete che modella un insieme di relazioni sociali, i
legami di coppia sono solitamente riconoscibili grazie a particolari caratteristiche
topologiche).
……………………………………..
La dittatura dell’algoritmo è l’ultimo rifugio di un certo tipo di persone, per lo più
maschi intellettuali con il cuore a forma di granchio e gli occhi a forma di dollaro,
che non riuscendo più a sentire niente si illudono di domare le loro insicurezze con
una serie di algide formulette attinte dalla marea di dati personali che le nuove
tecnologie mettono a disposizione. Ormai esiste un algoritmo per tutto: il giornale
perfetto, il pranzo perfetto, il delitto perfetto. Questi aridi manichini del sapere
moderno pensano di controllare la realtà, racchiudendola in una previsione
statistica che consenta di anticipare i comportamenti umani per offrirli in pasto ai
pubblicitari. Poi per fortuna arriva sempre qualcuno posseduto dal coraggio e dalla
sana follia della passione che tira un calcio agli algoritmi e, azzardando ciò che
Accademia Nazionale dei Lincei
nessuno aveva ancora previsto, ci salva.
Roma, 06/05/2014
In risposta a “Abbasso gli algoritmi”
…scrivere “Abbasso gli algoritmi” e deprecarne la dittatura è un po’ come scrivere “Abbasso
la forza di gravità” o “Abbasso la postura eretta”….. Gli aridi manichini di cui parla sono
persone non diverse da lui……alcuni li chiamano scienziati…
(M.Cattaneo/Le ScienzeBlog/ 7-11-2013)
…. errore è quello di farsi guidare da un (purtroppo molto diffuso) senso di superiorità della
cultura umanistica rispetto a quella scientifica, e dalla assurda convinzione che ciò che è
scientifico è per forza arido, grigio, privo di passione…(Blog di Mr Palomar/ 7-11-2013)
……..per arrivare alla spiegazione di cosa è davvero un algoritmo…….anzi, a dirla tutta,
seguendo il suo pseudo-ragionamento non avrebbe nemmeno dovuto scrivere “algoritmo” ma
“formula”, cioè la macchinetta che presi in pasto una serie di dati ti sputa fuori un numero.
Chissà, forse la parola “algoritmo” gli sarà sembrata più accattivante come titolo…
(M.Codogno/Il Post/ 7-11-2013)
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Etimologia della parola algoritmo
Abu Jà far Mohammed ibn Musa al-Khowarizm, (padre di
Jafar, Mohammed, figlio di Mosé, nativo di Al-Khowarizm)
(circa 780-850).
Matematico, astronomo e geografo, Al-Khowarizmi fu uno
dei maggiori studiosi che affollarono “Bayt al-Hilma”, una
delle massime istituzioni culturali di tutti i tempi del mondo
arabo-islamico.
Al-Khowarizmi fu autore di un’opera diffusissima, dove, tra
i primi, fece riferimento al concetto di procedimento per
risolvere un problema in un numero finito di passi. Per
questo, il suo nome, trascritto in latino, un po’ deformato, e
forse anche influenzato dalla parola greca “arithmos”
(numero), passò ad identificare le regole di calcolo.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Dal vocabolario della lingua italiana Treccani.it
algoritmo (ant. algorismo) s. m. [dal lat. mediev. algorithmus o algorismus,
dal nome d’origine, al-Khuwārizmī…………………….
1. Termine che indicò
nel medioevo i procedimenti di calcolo numerico fondati sopra l’uso delle
cifre arabiche. Nell ’ uso odierno, anche con riferimento all ’ uso dei
calcolatori, qualunque schema o procedimento matematico di calcolo; più
precisamente, un procedimento di calcolo esplicito e descrivibile con un
numero finito di regole che conduce al risultato dopo un numero finito di
operazioni, cioè di applicazioni delle regole. Esem., a. euclideo, METODO
per determinare il massimo comune divisore di due numeri interi a e b,
basato su divisioni successive. ……………………………..
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Il metodo di Euclide per il MCD
Il metodo di Euclide si trova nel VII libro degli Elementi, la
principale opera di Euclide, in tredici volumi, scritta nel IV
secolo a.C., e rimasta per due millenni uno dei testi
fondamentali per lo studio della matematica, in particolare della
geometria e della teoria dei numeri.
Il metodo affronta il problema del calcolo del massimo comun
divisore fra due numeri interi positivi; procede per divisioni
successive e tiene conto che il massimo comun divisore fra due
numeri è uguale al più piccolo fra i due, se il resto della loro
divisione è pari a zero.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Programma Euclide
Programma Euclide (n,m : interi)
Passo1: Si assegna r ← n e n ← m;
Passo2: Fintantoché (r ≠ 0)
r=0
si assegna m ← n e n ← r
e si calcola il nuovo r: r ← m− n
n=8
r=8
m = 10
n =10
r = 8 r=2
m=10;8
m/n ;
n=8;2
Passo 3: Si assegna l’ultimo valore di n al risultato: MCD ← n;
Passo 4: Si fornisce MCD come risposta.
MCD = 2
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
La formulazione di Euclide in termini geometrici
Supponiamo che siano dati due numeri AB e GD non primi tra loro e che GD sia il
più piccolo. Si deve trovare la più grande misura comune dei numeri AB e GD . Se
GD misura AB allora GD è la misura comune di AB e GD perché GD misura
anche se stesso; è evidente che esso è la misura comune più…………………Ciò
che si doveva dimostrare.
Da NOTARE:
che il metodo viene formulato in termini astratti, facendo riferimento
a grandezze qualsiasi e non a specifici valori numerici esemplificativi
(IV secolo avanti Cristo!!!).
Euclide non lo chiama certo algoritmo…..
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Algoritmo secondo Donald Knuth
Un algoritmo dato un particolare input, deve generare un output
proseguendo per passi successivi (sequenza di operazioni elementari)
caratterizzati dalle seguenti proprietà:
Definitezza: ogni regola di un algoritmo deve essere definita in
modo chiaro e non ambiguo, ovvero deve dar luogo alla stessa
sequenza di operazioni, indipendentemente da chi la esegue e in
qualunque momento venga eseguita.
Finitezza: ogni algoritmo deve sempre terminare dopo l’esecuzione
di un numero finito di regole.
Effettività: ogni algoritmo deve essere effettivamente eseguibile,
ovvero ogni operazione deve essere sufficientemente di base da poter
essere eseguita “a carta e penna” in una quantità finita di tempo.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Programma Euclide è un algoritmo
Programma Euclide (n,m : interi)
INPUT:n,m
Passo1: Si assegna r ← n e n ← m;
Passo2: Fintantoché (r ≠ 0)
si assegna m ← n e n ← r
e si calcola il nuovo r: r ← m− n
m/n ;
Passo 3: Si assegna l’ultimo valore di n al risultato: MCD ← n;
Passo 4: Si fornisce MCD come risposta.
OUTPUT: MCD
FINITEZZA ad ogni passo r viene decrementato di un valore positivo. Si arriverà
quindi alla condizione r = 0 in un numero finito di passi.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Valgono anche definitezza e effettività
Definitezza : La definitezza dell’algoritmo é ovvia, una volta che si
conoscano le operazioni aritmetiche fondamentali e il concetto di parte
intera inferiore.
Effettività : L’effettività dell’algoritmo è garantita dal fatto che le
operazioni su cui si basa sono semplici operazioni aritmetiche. Si noti
che la divisione m/n é sempre ben definita: infatti n non può mai valere
0, perché il ciclo while si interrompe non appena il valore di r diventa
uguale a 0.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Quanto tempo è necessario?
Al più n passi, dato che r, inizialmente uguale ad n, viene decrementato almeno di
1 ad ogni passo
Programma Euclide (n,m : interi)
Passo1: Si assegna r ← n e n ← m;
Passo2: Fintantoché (r ≠ 0)
si assegna m ← n e n ← r
e si calcola il nuovo r: r ← m− n
m/n
Passo 3: Si assegna l’ultimo valore di n al risultato: MCD ← n
Passo 4: Si fornisce MCD come risposta
L’algoritmo di Euclide è un algoritmo EFFICIENTE e il problema della ricerca
del MCD è considerato FACILE.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Cosa vuol dire che un algoritmo è efficiente?
Ricordiamo che: un algoritmo arriva alla risoluzione di un
problema procedendo passo per passo e, ad ogni passo, un
algoritmo compie operazioni elementari che possono essere
operazioni di assegnazione, di confronto, aritmetiche o logiche.
Il computo del numero di operazioni elementari compiute
dall’algoritmo ci fornisce una funzione che misura l’efficienza
dell’ algoritmo. Quanto meno la funzione cresce al crescere della
dimensione dell’input, tanto più l’algoritmo verrà considerato
efficiente.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Funzioni tipiche del calcolo della efficienza
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Confronto al crescere di n
Ipotizziamo che ogni operazione richieda un nanosecondo (nsec = 10-9 sec). Per n= 64,
f1 impiegherebbe 6nsec. Con f2 , f3 , f4, , f5, passeremmo ai sec (sec = 10-6 sec),
rispettivamente 0,06; 0,38; 4,10; 262. Ma con f6 parliamo di secoli, 5,85 per la precisione.
C’è poi da notare che, se anche la tecnologia diventasse 1000 volte più potente, dati due
problemi P1 e P2 risolubili in ≈ n3 e ≈ 2n, rispettivamente, per n = 1000,
per P1 passeremmo ad istanze 10n, mentre per P2 ad istanze solo n+10
(dato che 210 ≅ 1000 = 103)
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Algoritmo come lente d’ingrandimento
Abbiamo visto che un algoritmo deve essere indipendente dai dati cui
viene applicato e che le regole che usa debbono essere molto semplici
e non ambigue, ora mostriamo come gli algoritmi fungano da lente di
ingrandimento per la comprensione di un problema, confermando
l’affermazione di Knuth:
Se è vero che un problema non si capisce a fondo finché non lo si
deve insegnare a qualcun altro, a maggior ragione nulla è compreso
in modo più approfondito di ciò che si deve insegnare ad una
macchina, ovvero di ciò che va espresso tramite un algoritmo.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Somma dei primi n numeri interi
…..ovvero costante meglio di n
Input: un numero intero n
Output: S = somma dei primi n numeri interi
Passo 1: Si pone S = 0;
Passo 2: Si ripete S = S + i per i = 1, …, n
Passo 3: Si fornisce S in output
----------------------------------------------------------------
Input: un numero intero n
Output: S = Somma dei primi n numeri interi
Passo 1: S = n (n+1) / 2
Passo 2: Si fornisce S in output
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Pervasività degli algoritmi
 prenotare un biglietto aereo;
 effettuare una transazione sicura tramite uno sportello
bancario elettronico;
 ricercare informazioni nel web;
comprimere o decomprimere file di musica o di immagini;
 garantire la firma digitale;
…………………………
Fino a dieci anni fa la parola algoritmo era sconosciuta alla maggior parte delle
persone colte e, in verità, era scarsamente necessaria. Lo sviluppo rapidissimo
dell’informatica, il cui punto focale è costituito dallo studio degli algoritmi, ha
modificato la situazione: attualmente la parola è indispensabile. (D. Knuth 1977)
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Ritornando al titolo: reti sociali
Una rete sociale identifica la presenza di una relazione tra
diverse entità sociali, dette attori. Gli attori non sono
necessariamente singole persone, ma possono essere gruppi di
persone, enti, città, nazioni, etc. Le relazioni possono essere
di tipo emozionale, formale, biologico (amicizia, autorità,
discendenza) oppure possono esprimere connessioni fisiche
(una strada, un ponte) o trasferimenti di risorse.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Social media
I social media (Facebook, MySpace, Twitter, Google+,
LinkedIn….) sono la versione di Internet delle reti sociali.
Queste hanno esteso la nostra “possibilità di stabilire legami di
amicizia” e hanno violato la regola dei 150, o numero di
(Robin) Dunbar, ovvero il numero massimo di persone con cui
ognuno di noi può mantenere relazioni sociali stabili.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Come rappresentare una rete sociale
L’antropologo J.A.Barnes, primo ad usare in un contesto
scientifico il termine reti sociali (1954), descrive le reti sociali
come un “insieme di punti congiunti da linee. I punti rappresentano
gli attori e le linee indicano quali attori stanno interagendo fra loro”.

GRAFO
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Grafi
Un grafo è un insieme di elementi detti nodi o vertici che possono essere collegati fra
loro da linee chiamate archi o lati o spigoli.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
2 problemi assai simili nella formulazione…..
Problema del cammino euleriano: esiste un cammino che passi
per tutti gli archi del grafo una e una sola volta?
Problema del cammino hamiltoniano: esiste un cammino che
passi per tutti i nodi del grafo una e una sola volta?
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Cammino euleriano (1736)
Nella città di Könisberg esiste un’isola A chiamata Kneiphof attorno a cui
fluiscono due rami del fiume Pregel. Vi sono sette ponti a, b, c, d, e, f, g che
attraversano i due rami. La questione è se una persona possa scegliere una
passeggiata che la porti ad attraversare ognuno dei ponti una volta ma non più
di una volta, tornando alla fine al punto di partenza.(pubblicazione
del’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo)
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Cammino hamiltoniano (1859)
Nel 1859 il matematico irlandese W.R. Hamilton mise in circolazione un
rompicapo di legno a forma di dodecaedro regolare. Ad ognuno dei 20 nodi del
dodecaedro era associato il nome di una città e il problema consisteva nel cercare
un itinerario lungo gli archi del solido che visitasse una e una sola volta le varie
città. Il percorso selezionato veniva memorizzato con uno spago che si arrotolava
intorno a dei chiodi fissati ai nodi.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
………ma profondamente diversi
Premessa: la soluzione di un problema modellato tramite un
grafo si ottiene analizzando se esiste e quale sia la proprietà
strutturale del grafo che risponde all’istanza del problema.
Cammino euleriano: un grafo connesso ammette un cammino
euleriano se tutti i gradi dei suoi nodi sono pari.
Cammino hamiltoniano: a tutt’oggi non è stata trovata, e non si
sa se esista, una proprietà strutturale del grafo rispondente al
problema.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Conseguentemente
 Esiste un algoritmo EFFICIENTE per determinare se un grafo
possiede un cammino euleriano perché verificare che i gradi di
un grafo siano pari è facile e dipende dal numero di nodi
(funzione lineare). Quindi il cammino euleriano è un problema
FACILE.
 Non esiste un algoritmo EFFICIENTE per determinare se un
grafo possiede un cammino hamiltoniano perché l’esistenza
di un ciclo hamiltoniano può essere verificata solo esaminando
in modo esaustivo tutti i possibili itinerari lungo gli archi del
grafo (funzione fattoriale). Quindi il cammino hamiltoniano è
un problema DIFFICILE.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Esempio per cammino hamiltoniano
(1, 2, 3, 4, 5)
(1, 2, 3, 5, 4)
(2, 1)
(2, 3, 4, 5)
(2, 3, 5, 4)
(5, 3, 2, 1)
(5, 3, 4)
(5, 4, 3, 2, 1)
(3, 2, 1)
(3, 4, 5)
(3, 5, 4)
(4, 3, 2, 1)
(4, 3, 5)
(4, 5, 3, 2, 1)
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Analisi delle reti sociali
Le reti sociali sono alla base di studi interculturali in sociologia e
in antropologia, dato che l’ uomo, lo diceva già Aristotele, è un
animale essenzialmente sociale. Analizzare una rete sociale vuol
dire studiare, misurare e rappresentare le relazioni sociali tra gli
attori nella rete.
Jacob Levi Moreno (psichiatra/psicologo) (1889-1974)
Stanley Wasserman (sociologo/statistico)
Katherine Faust (sociologa/antropologa)
Social Network Analysis: Methods and Applications (1994)
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Alcuni argomenti dell’analisi delle reti sociali
Densità: indica la correlazione fra gli elementi della rete quindi l’integrità
sociale
la sua misura è data dal numero di possibili archi.
Inclusività: indica gli elementi coinvolti nella relazione
la sua misura è data dal rapporto fra il numero totale di nodi meno i nodi
isolati e il numero totale di nodi nella rete.
Coesione sociale: quali e quanti gruppi sono completamente connessi
RICERCA DEI SOTTOGRAFI CRICCHE
Ricerca di pattern : individuazione di sottogruppi con caratteristiche simili
isomorfismo fra grafi
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Sottografi cricche
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Conteggio delle cricche di dimensione 3
Input: un grafo G (V,E) rappresentato per liste di adiacenza
Output: C = numero di cricche di dimensione 3 presenti in G
Passo 1: Si pone C = 0;
Passo 2: Si ripete per ogni vertice v di V
Passo 4:
Si ripete per ogni vertice u adiacente a v
Passo 5:
Si ripete per ogni vertice w adiacente a u
Passo 6:
se (v, w) è uno spigolo allora C = C + 1
Passo 7: Restituisci C/6 in output.
b
a
3 cicli annidati
ovvero n3
v= a,
v= a,
v= b,
v= b,
v= c,
v= c,
u=b
u=c
u=a
u=c
u=a
u=b
w=c
w=b
w=c
w=a
w=b
w=a
c
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
La “forza bruta”
Il metodo "forza bruta”, ovvero la ricerca di una soluzione effettuata
in modo esaustivo, è un algoritmo di risoluzione di un problema che
consiste nel verificare tutte le soluzioni teoricamente possibili fino a
trovare quella cercata, se esiste.
Questo metodo si applica come “extrema ratio”, quando non si ha
nessuna informazione sulla natura del problema (ciclo hamiltoniano).
In genere, quando si applica la forza bruta, si ottengono algoritmi non
efficienti e quindi si è in presenza di problemi difficili.
La ricerca delle cricche di dimensione k è un problema difficile.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
..e con i problemi difficili che si fa??
… allora si perseguono nuove strade
Algoritmi probabilistici
Algoritmi approssimanti
Algoritmi paralleli
....................................
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Riassumendo
Algoritmo è una parola di moda, ma non tutti ne conoscono il
vero significato.
Classifichiamo i problemi in facili o difficili a seconda che per
essi siamo in grado di trovare algoritmi efficienti o no.
La formalizzazione di un problema in forma algoritmica,
necessaria per tentare di trovare algoritmi efficienti, porta ad una
comprensione più approfondita dell’argomento trattato, rispetto ad
affrontarlo tramite un ragionamento tradizionale.
Concetti matematici come quello di grafi sono fondamentali per
formalizzare i problemi in forma algoritmica.
Gli algoritmi pervadono molti aspetti della nostra vita quotidiana.
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
L’anima dell’informatica
Con questa breve chiacchierata spero di aver convinto tutti voi
che l’algoritmica è l’anima dell’informatica, secondo la
definizione data da David Harel (1987) nel suo libro
Algorithmics:The Spirit of Computing, definizione che nessun
altro studioso di qualsivoglia disciplina abbia voluto e potuto
smentire.
GRAZIE E BUON SEGUITO DI ASCOLTO
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014
Ricerca di un elemento in un vettore ordinato
…..ovvero logn meglio di n
Input: A: vettore di n elementi in modo non decrescente; x: elemento noto
Output: j: 1 ≤ j ≤ n, se x = A(j), j = 0 altrimenti
Passo 1: Si pone j = 1
Passo 2: Si ripete j = j + 1 finché non si trova j > n o x = A(j)
Passo 3: Se j > n allora si pone j = 0
Passo 4: Si fornisce j in output
---------------------------------------------------------Input: A: vettore di n elementi ordinati in modo non decrescente; x: elemento noto
Output: j: 1 ≤ j ≤ n, se x = A(j), j = 0 altrimenti
Passo 1: Si pone j = 0, sx = 1, dx = n
Passo 2: Si ripete mezzo = (sx + dx) / 2
se x = A(mezzo) allora j = mezzo altrimenti se x < A(mezzo) allora dx = mezzo -1
altrimenti sx = mezzo +1 fintanto che valgono sx ≤ dx e j = 0
Passo 3: Si fornisce j in output
Accademia Nazionale dei Lincei
Roma, 06/05/2014